गप्पा गणितज्ञाशी! (भाग: 1/5)
गप्पा गणितज्ञाशी! (भाग: 2/5)

आयुकाच्या कँटीनमध्ये कॉफी पीत असताना डॉ भास्कर आचार्यानी मला पाहिले. समोरच्या खुर्चीवर बसल्यानंतर माझ्या हातात त्यांनी एक चिठ्ठी सरकवली. नेहमीप्रमाणे त्यात दोन कूटप्रश्न होते.

प्रश्न 1:
500 किमी लांबीच्या रेल्वे मार्गावरील एका टोकाला एक इंजिन 'क्ष' आणि दुसऱ्या टोकाला अजून एक इंजिन 'य' उभे आहेत. क्ष इंजिन ताशी 150 किमी वेगाने व य इंजिन ताशी 100 किमी वेगाने धावू शकतात. क्ष इंजिनसमोर एक माशी बसलेली असून ती ताशी 200 किमी वेगाने उडू शकते. signal दिल्याक्षणी दोन्ही इंजिन्स समोरासमोर धावू लागतात व माशीसुद्धा सरळरेषेत य इंजिनच्या दिशेने उडू लागते. य इंजिनापर्यंत पोचल्यानंतर माशी पुन्हा क्ष इंजिनच्या दिशेने उडते. क्ष पर्यंत पोचल्यानंतर पुन्हा य इंजिनकडे.... शेवटी दोन्ही इंजिन्सची समोरासमोर टक्कर झाल्यावर माशी मरून पडते. मरण्यापूर्वी माशीने किती अंतर कापले असेल?

प्रश्न 2:
अदिती व अशोक आपल्या भावंडाबरोबर एकाच कुटुंबात राहतात. अशोकला जितके भाऊ आहेत तितक्याच बहिणी आहेत. आणि अदितीला बहिणींच्या दुप्पट भाऊ आहेत. त्या कुटुंबात एकंदर भाऊ व बहिणी किती आहेत?

गंमतीशीर कोडी आहेत. चिठ्ठी मी खिशात सरकवली.

डॉ. भास्कर आचार्य एक - दोन मिनिटं स्तब्ध बसून नंतर बोलू लागले.
मला एक कळत नाही की तुम्हा लोकांना गणितातलं काही कळत नाही असे सांगण्यात अभिमान का वाटतो? आपल्या अज्ञानाचे एवढे उघड प्रदर्शन कशासाठी? मला आकडेमोड जमत नाही, मला त्यातलं काही कळत नाही यात काही तरी जिंकल्यासारखे वक्तव्य असते. हे असे का?

बहुतेक जण गणित विषयाला घाबरत असावेत. गणित मुळात अमूर्त असल्यामुळे त्यापासून दूर राहणे पसंत करत असावेत.

कित्येक सुशिक्षितसुद्धा गणितांच्या प्राथमिक नियमाविषयी अनभिज्ञ असतात. खरे पाहता त्यांच्या कामात, रोजच्या व्यवहारात, भाषेच्या वापरात, सामान्यपणे विचार करण्यात गणिताला पर्याय नाही. परंतु त्यांचे वर्तन मात्र तर्काला धरून नसते. आता हेच पहा ना, 1999 च्या डिसेंबर 31 तारखेला जगभर उत्सव साजरा केला गेला. त्यादिवशी कुठला उत्सव होता?

दुसऱ्या सहस्रकाचा शेवटचा दिवस म्हणून ...

कसला हा मूर्खपणा. पहिल्या सहस्रकातील पहिला वर्ष क्रि.श. 1 ची सुरुवात 1 जानेवारी 1 रोजी झाली व त्या वर्षाचा अखेर 31 डिसेंबर रोजी. क्रि.श. 2, 1 जानेवारी 2 ते 31 डिसेंबर 2 पर्यंत. त्याचप्रमाणे 3,4,5.. याच हिशोबाने क्रि. श. 1999, 1 जानेवारी 1999 ते 31 डिसेंबर 1999 पर्यंत असणार. आणि 2000 साल 1 जानेवारी 2000 ते 31 डिसेंबर 2000 पर्यंत असणार. त्यामुळे दुसरा सहस्रक 31 डिसेंबर 2000 रोजी संपतो, 31 डिसेंबर 1999 रोजी नव्हे. परंतु इलेक्ट्रॉनिक माध्यमांनी धुमाकूळ घातला व लोकांनी चक्क त्याला साथ दिली. लोकांच्या कसे काय ही गोष्ट लक्षात आली नाही व तथाकथित तज्ञ मूग गिळून गप्प का बसले? याच्या विरोधात आवाज का उठविला नाही?

परंतु चूक उमगल्यानंतर आम्ही 2000 सालाचे स्वागत करत आहोत असे म्हणत होतोच की.

परंतु हे सर्व उशीरा सुचलेले शहाणपण व लंगडे समर्थन. तीसुद्धा कुणीतरी चूक दाखवली म्हणून. अजून एक गंमत सांगतो. काही वेळा बोलण्याच्या भरात अमुक अमुक स्पर्धेसाठी मी माझे 110 टक्के योगदान देण्यास तयार आहे असे छातीठोकपणे सांगताना मी ऐकलेले आहे. मला हे कळत नाही की आपल्या विश्वातील कुठलीही वस्तु वा तिचे अस्तित्व (entity) 100 टक्केच असते. हे वरचे 10 टक्के आले कुठून?

ती एका प्रकारची बोलण्याची पद्धत आहे. त्यांना पूर्ण ताकतीनिशी प्रयत्न करणार आहे हे सांगायचे असते.

तरीसुद्धा माझ्या मते 100 टक्क्यापेक्षा जास्त असे काही असू शकत नाही. जर तुम्ही त्याच प्रकारच्या गोष्टीशी तुलना करत असल्यास ती गोष्ट वेगळी. उदाहरणार्थ, मागच्या वर्षी पडलेल्या पावसाची या वर्षी पडलेल्या पावसाबरोबर तुलना करत असल्यास 110 टक्के वा 120 टक्के होऊ शकते. परंतु एक स्वतंत्र घटक म्हणून विधान करत असल्यास ती 100 टक्केपेक्षा जास्त असू शकत नाही. शिक्षक टक्केवारी शिकवत असताना या गोष्टी स्पष्ट का करत नाहीत? याच टक्केवारीच्या संबंधातील एका घटनेचा मी साक्षीदार होतो.

दिवाळीचा मोसम होता. एका दुकानात सेल होता. बाहेर लटकवलेल्या पाटीवर मोठ्या अक्षरात फॅक्टरीतर्फे 50 टक्के सूट आणि (फक्त) आजच्या दिवशी दिवाळी निमित्त आमच्या दुकानातर्फे आणखी 50 टक्के सूट. त्वरा करा. असे लिहिले होते. एक ग्राहक दुकानात शिरला व हजार रुपयाची एक वस्तू उचलून बाहेर जावू लागला. काउंटरवर त्याला अडविण्यात आले व 250 रु भरण्यास सांगितले. ग्राहक अवाक झाला. व चिडून मोठ-मोठ्याने भांडू लागला.
तुम्हीच बाहेरच्या पाटीवर येथील वस्तूवर फॅक्टरीतर्फे 50 टक्के व दुकानातर्फे 50 टक्के असे एकूण 100 टक्के सूट देणार आहात. त्यामुळे ही वस्तू आम्हाला फुकट मिळायला हवी. तुम्हाला एवढे साधे गणित येत नाही का?

काउंटरवरचा सेल्समन शांतपणे त्याला समजावून सांगू लागला.फॅक्टरी डिस्कौंट 50 टक्के म्हणजे या वस्तूची किंमत 500 रुपये आणि दुकानाचे 50 टक्के डिस्कौंट म्हणजे या वस्तूची आजची किंमत 250 रुपये. ग्राहक निमूटपणे 250 रुपये भरून निघून गेला.

म्हणूनच आजकाल असले काहीही लिहिताना * अशी खूण करून जाहिरातीच्या खाली काही अटी लागू अशा डिस्क्लेमरचा उल्लेख करतात. त्यामुळे दुकानदार कोर्टाच्या भानगडीत अडकत नाहीत.

जाऊ द्या हो. कुठे आहेत तुमचे विनोदी किस्से?

काही वैज्ञानिक, अभियंते व इतर काही तज्ञ एका ठिकाणी जमले होते. या तज्ञांना गणिताचे कितपत ज्ञान आहे याची चाचणी घेण्यासाठी त्यांना फक्त एकच प्रश्न विचारला गेला.
सर्व विषम संख्यांना अविभाज्य संख्या (prime numbers) असे म्हणता येईल का?
या तज्ञ मंडळीनी नोंदविलेल्या उत्तरात नक्कीच विविधता होती.
त्यातील काही मासलेवाईक नमूने -
रसायन शास्त्रज्ञ - अविभाज्य संख्या म्हणजे नेमके काय?
भौतशास्त्रज्ञ - 3 ही अविभाज्य संख्या, 5 ही अविभाज्य संख्या, 7 सुद्धा अविभाज्य संख्या, 9 सुद्धा.... नसेल परंतु प्रयोगातील चूक म्हणून त्याकडे दुर्लक्ष करता येईल. 11 ही अविभाज्य संख्या, 13 ही अविभाज्य संख्या..... यावरून सर्व विषम संख्या अविभाज्य असू शकतात.
प्राध्यापक - 3 प्राइम संख्या, 5 ही प्राइम संख्या, 7 सुद्धा प्राइम संख्या.... आता या नंतरच्या बाकीच्या गोष्टी विद्यार्थ्याना होमवर्कसाठी देण्यात आलेले आहेत.
राजकीय विश्लेषक - काही विषम संख्या आहेत हे मला (आता) कळले. परंतु ही विषमता समाजातून उखडून टाकली पाहिजे. व ज्या संख्या अविभाज्यतेकडे जात आहेत त्यांचा विकास झाला पाहिजे.
अभियंता - 3,5, 7, 9 हे सर्व अविभाज्य आहेत. त्याचप्रमाणे 11, 13, 15, 17, 19 .... अविभाज्य आहेत. त्यामुळे सर्व विषम संख्या अविभाज्यच असणार.
संगणक तज्ञ - 01 प्राइम, 10 प्राइम, 11 प्राइम, 101 प्राइम.....
जीवशास्त्रज्ञ - 1 अविभाज्य, 3 अविभाज्य, 5 अविभाज्य... ठीक आपण हे पेपर पब्लिश करून टाकू या.
मायक्रोसॉफ्ट वैज्ञानिक - 1 ही अविभाज्य संख्या, 3 हीसुद्धा अविभाज्य संख्या, 5, 7 बद्दल आपण पुढच्या रिलीजच्या वेळी अनौन्स करू या.
संख्याशास्त्रज्ञ - आपण काही random संख्या घेऊ या, 23, 31, 67.... यावरून सर्व विषम संख्या अविभाज्य आहेत असे म्हणता येईल.
कायदातज्ञ - 3 ही अविभाज्य संख्या, 5 ही अविभाज्य संख्या, 7 सुद्धा अविभाज्य संख्या, 9 सुद्धा.... या भक्कम पुराव्यावरून इतर विषम संख्या अविभाज्य आहेत असे म्हणता येईल.
मानसतज्ञ - 3 ही अविभाज्य संख्या, 5 ही अविभाज्य संख्या, 7 सुद्धा अविभाज्य संख्या, 9 सुद्धा.... आपण ही संख्या लक्षातच घ्यायचे नाही.....
व्यवस्थापन तज्ञ - 3 ही अविभाज्य संख्या, 5 ही अविभाज्य संख्या, 7 सुद्धा अविभाज्य संख्या, 9 सुद्धा.... आपण यासाठी MOU वर सही करावी का?

हे सर्व तथाकथित तज्ञ नेहमीच गणिताला शिव्या का देतात हे या सर्वेक्षणातून नक्कीच कळू शकेल.
मला धन्यवाद देत डॉक्टर निघून गेले. (संदर्भ)

प्रश्न 1चे उत्तर :
रेल्वेच्या रुळावर दोन इंजिन्स समोरासमोर कशा काय धावू शकतात, वा हा अपघात टाळता आला नसता का किंवा त्या गरीब माशीचा जीव का घेता.... असल्य़ा शंका-कुशंका बाजूला ठेऊन आपल्याला उत्तर शोधायचे आहे.
मुळात, अंतर = वेग x वेळ
माशीने कापलेले अंतर यासाठी माशीच्या उडण्याचा वेग (200 किमी/तास) व वेळ म्हणजे दोन्ही इंजिन्सची टक्कर होण्यासाठी लागलेला वेळ प्रथम शोधावे लागतील.
दोन्ही इंजिन्सचा सापेक्ष वेग 150+ 100 = 250 व अंतर = 500
यावरून अपघात होण्यासाठी लागलेला वेळ 500/250 = 2 तास एवढा असेल.

त्यामुळे माशी अपघातात मरण्यापूर्वी 200x2= 400 किमी अंतर धावली होती. (बीजगणितीय पद्धतीनेसुद्धा याचे उत्तर काढता येईल.)

प्रश्न 2 चे उत्तर :
त्या कुटुंबात क्ष भावंडे व य बहिणी आहेत असे गृहित धरल्यास
क्ष - 1 = य आणि
य - 1 = क्ष/ 2
अशी दोन समीकरणं मिळतील.
य = क्ष/ 2 + 1
∴ क्ष - 1 = य = क्ष/ 2 + 1
∴ क्ष - क्ष/ 2 = 2
∴ क्ष/ 2 = 2
∴ क्ष = 4 व य = 3

यावरून त्या कुटुंबात 4 भाऊ व 3 बहिणी आहेत.