क्रिकेट आणि स्टॅटिस्टिक्स - १ : तोंडओळख
स्टॅटिस्टिक्स - हा शब्द उच्चारला की लोकांच्या मनात वेगवेगळ्या प्रतिमा निर्माण होतात. बऱ्याच लोकांना सर्वात प्रथम मनात येतं ते 'देअर आर लाइज, देअर आर अटर लाईज अँड देन देअर इज स्टॅटिस्टिक्स', 'स्टॅटिस्टिक्स हे बिकिनीसारखं आहे, बरंच काही दाखवतं, पण महत्त्वाचं तेवढं झाकून ठेवतं'वगैरेसारखे क्लिशे. हे अर्थातच दुर्दैवाचं आहे. कारण योग्य पद्धतीने वापरलं तर स्टॅटिस्टिक्स खोटं बोलत नाही. ते वापरून माणसं खोटं बोलतात, अंतिम सत्य सांगितल्याचा आव आणून. आपल्या स्वार्थासाठी खोटं बोलून त्याला शास्त्राचा आधार आहे असं दाखवणारी माणसं असतात, हे सर्वांनाच ठाऊक आहे. पण त्यात स्टॅटिस्टिक्सचा दोष कसा काय? म्हणजे अणूबॉंब तयार करून हिरोशिमा-नागासाकीची अपरिमित हानी करण्याबद्दल भौतिकशास्त्राला जबाबदार धरण्यासारखं वाटतं. आणि बिकिनीबाबत बोलायचं तर स्टॅटिस्टिक्समुळे सत्याने पांघरलेला बुरखा फाडून निदान ते बिकिनीपर्यंत तरी अनावृत्त होतं हे कुठेच गेलं...
स्टॅटिस्टिक्स शब्दाच्या इतरही काही अर्थछटा आहेत. एकेकाळी व्हायटल स्टॅटिस्टिक्स नावाचा प्रकार असायचा. वेगवेगळ्या नट्यांची, मॉडेल्सची मापं ३६-२४-३६ वगैरे स्वरूपात लिहिणं. पोलिटिकल करेक्टनेसच्या लाटेमध्ये बहुधा ते मागे पडलं असावं. निवडणुकांच्या वेळी स्टॅटिस्टिक्सचा प्रचंड पूर येतो. ट्रेंड, जनमत पोल, स्विंग व्होट्स, प्रेडिक्शन्स वगैरे शब्दांचा मारा होतो. कधीकधी ठार चुकीचे निष्कर्ष काढून हे पोलिटिकल पंडित देखील स्टॅटिस्टिक्सला बदनाम करतात.
एकंदरीतच सध्या अस्तित्वात असलेल्या विद्यानुसार भविष्याबाबत निष्कर्ष काढण्यासाठी स्टॅटिस्टिक्सचा वापर होतो. ''आत्ता' वरून उद्याची विद्या' (पन इंटेंडेड) असा स्टॅटिस्टिक्सकडे बघण्याचा दृष्टिकोन असतो. तो अर्थातच पूर्णपणे चूक नाही. इतिहासावरून काही धडे घेता येतात, काही अटकळी बांधता येतात. सूर्य जर गेली शेकडो वर्षं पूर्वेकडे उगवत असेल तर उद्याही पूर्वेकडेच उगवेल असं अनुमान बांधता येतं. मात्र जोवर इतिहासाच्या घटनांचे नियम लक्षात येत नाहीत तोवर केवळ आत्तापर्यंतचा ट्रेंड बघून त्यावरून निष्कर्ष काढले तर ते साफ चुकीचे ठरू शकतात.
सप्टेंबर २००८. अमेरिकेत गेली काही वर्षं फुगत असलेला घरांच्या किमतींचा फुगा फुटला. आणि त्यांच्या किमतीच्या आधारे काढलेली कर्जं बुडित जायला लागली. त्या कर्जांवर बेतलेल्या सिक्युरिटीज मातीमोल ठरायला लागल्या. त्यांमध्ये गुंतवणुक करणाऱ्या आर्थिक संस्थांना हादरे बसायला लागले. अमेरिकन शेअर बाजार कोसळायला सुरूवात झाली. शेअर्सच्या किमतींची सरासरी दाखवणारा डाउ जोन्स इंडेक्स ४५ टक्क्यांनी आपटला. लाखो लोक बेघर झाले, दीड दोन कोटी लोकांच्या नोकऱ्या गेल्या.
हे सर्व होणार हे सांगता आलं असतं का? जर कोणी डाउ जोन्स इंडेक्स च्या चढत्या आलेखाकडे बघितलं तर आदल्या पन्नास वर्षांत तो साधारण आठ-नऊ टक्क्यांनी वाढलेला आहे. अधनंमधनं खाली जातो, पण वरही येतो. २००८ आधीची डाउ जोन्सची आकडेवारी बघितली तरी सहा महिन्यात तो ४५% नी आपटेल असं कोणीही भाकित करू शकलं नसतं.
तेव्हा निव्वळ आकडेवारीवरून ढोबळ भाकित करणं चुकीचं ठरू शकतं. उदाहरणार्थ 'गेले सहा महिने क्ष स्टॉक दरमहा एक टक्क्याने वाढतो आहे. तेव्हा पुढच्या महिन्यातही तो एक टक्क्याने वर जाईल' असं म्हणणं धोकादायक ठरू शकतं. ती कंपनी फायदेशीर ठरण्यासाठी त्यांची उत्पादनं चांगली आहेत का, त्यांना मागणी आहे का, त्या कंपनीला स्पर्धा किती आहे, कंपनीची मॅनेजमेंट कशी आहे, कंपनीला कर्ज आहे का या सर्व गोष्टींचा विचार करावा लागतो, निव्वळ बॉटम लाईनचा विचार पुरेसा होत नाही.(त्यातही मेख अशी आहे की कंपनीची मूलभूत माहितीदेखील आकडेवारीतूनच घ्यावी लागते. म्हणजे स्टॅटिस्टिक्सपासून सुटका नाही) हे सगळं चांगलं असेल, आणि खरोखरच तिच्या शेअरच्या वाढीचा दर दरमहा एक टक्का असला तरीही ती वाढ त्याच गतीने कायम होईल असं नाही. पुढच्या महिन्यात दोन टक्के खाली जाईल, नंतरच्या महिन्या चार टक्के वर, असं खांबावर चढणाऱ्या माकडासारखं वर खाली करत वर जाऊ शकेल. नक्की किती माहितीवरून नक्की किती पुढची भाकितं किती निश्चितपणे करता येतील हा कळीचा मुद्दा आहे.
क्रिकेटच्या बाबतीत देखील हेच लागू होतं. एखादा खेळाडू सरासरी ४० धावा करत असेल, तर याचा अर्थ असा होत नाही की तो पुढच्या इनिंगमध्ये बरोब्बर ४० धावा करून बाद होईल. काही वेळा तो शून्यावर बाद होईल, तर कधी सेंचुरी मारेल. हे माहीत असूनही अनेक वेळा 'सचिन तेंडुलकरने गेल्या सहा इनिंग्समध्ये सरासरी १७ ने धावा केल्या. त्याचा फॉर्म गेला आहे. त्याने आता लवकरच रिटायर व्हावं' अशी विधानं वाचतो. म्हणजे वाचायचो. साहेबांना एवढ्यात तरी काही बोलण्याची हिंमत होऊ नये असा जबरदस्त फॉर्म आहे. पण सांगायचा मुद्दा असा की फॉर्मात असणं किंवा नसणं, हे नेहेमीच्या कमीजास्त रन होण्याचा भाग आहे की खरोखरच त्या खेळाडूच्या कौशल्यात काही कमी जास्त होतंय हे कसं ठरवायचं? मुळात फॉर्म म्हणजे काय? किंवा चांगला बॅट्समन नक्की कसा ठरवावा? निव्वळ गेल्या काही इनिंग्जमधली धावसंख्या पाहून हे ठरवता येईल का? हाच विचार बोलर्सविषयी करता येईल का? किंवा त्याहीपलिकडे जाऊन क्रिकेटचे काही मूलभूत 'स्थिरांक' आहेत का? ते बदलत आहेत का?
या व अशा इतर प्रश्नांची उत्तरं शोधण्याचा या मालेत प्रयत्न आहे. विशिष्ट खेळाडूंकडे न बघता संपूर्ण खेळाकडे बघण्याचा उद्देश आहे. विश्वचषक स्पर्धा चालू असल्यामुळे मी फक्त वन डे इंटरनॅशनल खेळांकडे बघणार आहे. त्यामुळे मी 'क्रिकेट'विषयी चर्चा करत असलो तरी विशिष्ट आकडेवारी केवळ त्याच फॉर्मॅटला लागू आहेत. आशा अशी आहे की मांडलेला दृष्टिकोन इतर फॉर्मॅटनाही लागू होईल, फक्त आकडे बदलतील. शक्यतोवर तांत्रिक शब्द न वापरता चर्चा करण्याचा विचार आहे. आकडेवारीमध्येदेखील तीन दशांश स्थळांपर्यंत अचूक उत्तर काढण्यापेक्षा सोपी, साधारण ठोकताळ्याची गणितं करण्याकडे माझा कल राहील.
जाताजाता एक प्रश्न. या विश्वचषकात एकोणपन्नास चुरशी होणार आहेत. तर या एकोणपन्नासांपैकी बरोब्बर एक मॅच टाय होण्याची शक्यता किती? बरोब्बर दोन मॅच टाय होण्याची शक्यता किती? हे उत्तर तुम्ही कसं काढलंत?
Comments
लेखमालेकरिता चांगला प्रसंग
आकडेशास्त्राबद्दल लेखासाठी क्रिकेटच्या विश्वचषकाचा मुहूर्त उत्तम साधला आहे.
("जाताजाता" प्रश्नाचे उत्तर देण्याइतपत क्रिकेटचे ज्ञान नाही. पण उत्तराबद्दल कुतूहल आहे.)
वापर
साधनं चांगली का वाईट हा प्रश्न त्यांचा वापरातूनच ठरतो, जर अणू-उर्जेचा वापर लोकोपयोगी कामासाठी जास्त झाला तर अणू उर्जा चांगली असे सार्वमत बनेल. त्याचप्रमाणे स्टॅटिस्टिक्स चांगले किंवा वाईट हा प्रकार आहे.
पण मुळात त्याचा उपयोग करणारा चांगला किंवा वाईट(बहुमत संदर्भ चौकटीत)असतो हेच तत्व आहे आणि सगळ्याच गोष्टींच्या बाबतीत ते लागू पडते.
पण माझे स्टॅटिस्टिक्स तेवढे चांगले नसल्या कारणाने मी आपल्या प्रश्नांचे उत्तर देऊ शकत नाही, पण ते उत्तर आणि त्याची पद्धत जाणून घ्यायची इच्छा आहे.
हेतू
बरोबर. वापर कसा होतो यावरून चांगलीवाईट मतं ठरतात. पण वापरण्यामागचा हेतू व मुळात त्या साधनाची क्षमता या दोन गोष्टी कधी कधी वेगळ्या काढता येऊ शकतात. तसं असतानाही तो हेतू साधनालाच चिकटतो हे दुर्दैव.
साधन या शब्दाचा आवाका मोठा आहे. भौतिकशास्त्र, संख्याशास्त्र वगैरेंना साधन म्हणता येतं, आणि रणगाड्यालाही साधन म्हणता येतं. ज्या साधनांचा वापर करून अनेकविध उपयोग करता येतात त्यांना मी म्हणेन. रणगाड्याच्या रचनेतच विनाशाची क्षमता भरलेली आहे.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
मान्य
मान्य, पण कदाचित तुमचे साधनाप्रती असलेले भावनिक मत/प्रेम ह्या चिकटण्याला दुर्दैवी समजत असेल, वास्तविक पाहता साधन जेवढे क्षमतावान तेवढा त्याचा दुरुपयोग होणे साहजिक वाटते. जास्त सोय असण्यातच जास्त गैरसोय होण्याची शक्यता असते तसं काहीसं.
पण माहितीचे इतके प्रभावी सादरीकरण स्टॅटिस्टिक्स शिवाय दुसरे काही करू शकत नाही असे माझे मत आहे.
:) हो, हे खरं आहे पण तो रणगाडा आत्मविश्वास वाढवतो हे देखील खरं आहे. मॉर्फिनचा उपयोग कर्करोगाच्या उपचारात केला जाऊ शकतो तसेच मानसिक युफोरिया-आनंद मिळवण्यासाठी देखील केला जाऊ शकतो.
वापर
"अगदी! अगदी!! :-)
आवाहनः
कृपया सर्वांनी घासकडवींच्या लेखाला अवश्य प्रतिसाद द्यावेत. घासकडवींनी दोन्ही ठिकाणी हा लेख टाकल्याने, जमल्यास येथे लेखकाला शंकांची उत्तरे देण्यास प्रवृत्त करावे. अन्यथा, कदाचित त्याचा वापर कुणी खाजगीवाले प्रगल्भता मोजण्यासाठी करू शकतात. ;-)
("जाताजाता" प्रश्नाचे उत्तर देण्याइतपत स्टॅटिस्टिक्सचे ज्ञान नाही. पण उत्तराबद्दल कुतूहल आहे.)
द्राक्षे आंबट आहेत
ही लेखमाला चांगली असू शकते परंतु या प्रस्तावनेलाही भरघोस प्रतिसाद देणार्यांना प्रगल्भता लखलाभ असो.
?
घासकडवी यांनी एक लेखमाला उत्तम लिहिल्याचे उदाहरण आहे, अजून एक लेखमाला लिहिली होती पण ती मला कळण्याच्या विषयातली नव्हती म्हणून त्यावर मत व्यक्त करता येत नाही.
त्या 'स्टेटिस्टिकस'च्या जोरावर प्रस्तावनेला प्रतिसाद आले असणार. त्यावरून सदस्यांची प्रगल्भता जोखण्याची गरज नाही. :)
नितिन थत्ते
जखम ?
आवाहन करण्याइतपत खोल जखम झाली आहे कि काय? ;)
अवांतरः खोल जखम?
जखम खोल असती तर बाकीचे उपाय सोडून आवाहन केले नसते. समझनेवालोंको इशारा काफी होता है| :-)
असो. उपक्रमाच्या धोरणांनुसार अवांतर प्रतिसादांसाठी खरडवह्यांचा वापर करणे अधिक योग्य दिसते.
खेळपट्टीचे कसे?
क्रिकेट आणि स्टॉकमार्केटची तुलना रोचक आहे.
कॅनडा, बांगलादेश, केन्यासारख्या कमकुवत संघविरुद्ध सेन्च्युर्या ठोकणे आणि पर्थसारख्या भरपूर उसळी असणाऱ्या खेळपट्टीवर तिखट वेगवान माऱ्याला धैर्याने सामोरे जात किंवा इंग्लडच्या ढगाळ वातावरणात गवत इंचभर गवत राखलेल्या स्विंगणार्या, सीमणार्या खेळपट्टीवर शतक काढणे किंवा ज्या खेळपट्टीवर चेंडू हातभर वळतो आहे, उसळीही असमान आहे अशा खेळपट्टीवर शतक झळकाविणे ह्यातला फरक आकडेवार्या बहुधा दाखवीत नाहीत. त्यामुळे पाटा खेळपट्ट्यांवरच्या शतकवीरांना किती भाव द्यायचा हाही प्रश्न आहे. थोडक्यात खेळपट्टीही विचारात घ्यायला हवी.
त्यामुळे श्री. घासकडवी ह्यांनी उपक्रमाच्या खेळपट्टीवरही हा लेख टाकला हे बरे केले. लेख आवडला.
"तुझं वाचन किती? तू बोलतोयस किती?"
"तुझा पगार किती? तू बोलतोयस किती?"
पातळी
दाखवू शकतात, तशी माहित असते पण हि खेळपट्टी सगळ्याच खेळाडूना कधी न कधी लाभतेच मग कोणीतरी एकच शतकवीर होतो हा 'नशिबाचा' भाग आहे काय? मुद्दा असा कि खेळपट्टी/हवामान/प्रेक्षक संख्येचा दबाव ह्या गोष्टी जरी खेळावर परिणाम करणाऱ्या असल्या तरी त्या एका पातळीवर सगळ्यांसाठी समान असल्याने त्या संदर्भ चौकटीत हे फॅक्टर जमेस धरणे थोडे अनुचित वाढते.
दर्जा म्हणाल तर तोही तसा सापेक्षच आहे कि, दोन्ही खेळपट्ट्यांवर शतक ठोकणारयाना भाव द्यावा हे अगदी निर्विवाद पण सामना जिंकण्याच्या संदर्भात ह्या पाटा खेळपट्टीवरच्या शतकाला महत्व आहेच.
हेच म्हणतो
दाखवू शकतात, तशी माहित असते पण हि खेळपट्टी सगळ्याच खेळाडूना कधी न कधी लाभतेच मग कोणीतरी एकच शतकवीर होतो हा 'नशिबाचा' भाग आहे काय?
अशा खेळपट्टींवर शतक ठोकणे हा 'नशिबाचा भाग' आहे असे तुम्हाला म्हणायचे आहे काय?
दोन्ही खेळपट्ट्यांवर शतक ठोकणारयाना भाव द्यावा
हेच म्हणतो. बाकी पाटा खेळपट्ट्यांवर भरपूर धावा होता आणि प्रेक्षकांचेही भरपूर मनोरंजन होते हे खरे आहे. तिथे तंत्र आणि कौशल्य उन्नीस-बीस असले तरी चालून जाते. मात्र पाटा खेळपट्ट्यांवरील शतकवीर इतरत्र खेळू लागले की त्यांच्या उणिवा उघड्या पडतात. त्यांची भंबेरी उडते. त्यातही हल्ली लोकांना २०-२० क्रिकेट जास्त आवडते हेही खरे आहे. (२०-२० क्रिकेटला क्रिकेट म्हणायचे की नाही पुन्हा वेगळा विषय. ) तिथे तंत्राला कोण पुसतंय?
आता व्हीव्हीएस लक्ष्मणच्या धावांची सरासरी अनेक सुमार दर्जाच्या फलंदाजांपेक्षा कमी आहे. त्यावरून काय निष्कर्ष काढायचा?
"तुझं वाचन किती? तू बोलतोयस किती?"
"तुझा पगार किती? तू बोलतोयस किती?"
बायस, प्रायर्स?
>> मात्र पाटा खेळपट्ट्यांवरील शतकवीर इतरत्र खेळू लागले की त्यांच्या उणिवा उघड्या पडतात. त्यांची भंबेरी उडते. <<
काही अंपायरही बायस्ड असतात. नोबॉल, लेग-बिफोर असे निर्णय घेताना तिसर्या पंचाच्या दृष्टीतून हा बायस दिसून येतो.
राजेश, लेखमालेची वाट पहात आहे.
सहमत
काही खेळपट्ट्यांवर 'आधिकारीक' कारण न देता रेड कार्डे दाखवितात आणि लाईफटाईम बंदीही घालतात.
फरक
स्टॉक मार्केट व क्रिकेट यांची तुलना करण्याचा हेतू नाही. 'मार्केट चढतंय म्हणून चढत राहाणार' हा विचार चुकीचा, व तसाच चुकीचा विचार क्रिकेटमध्येही होऊ शकतो हे दाखवायचं होतं.
खेळाच्या बाबतीत स्टॅटिस्टिक्स हा शब्द (दुर्दैवाने) दोन अर्थांनी वापरला जातो - संख्याशास्त्र व आकडेवारी. मी इथे स्टॅटिस्टिक्स हा शब्द संख्याशास्त्र या अर्थाने वापरतो आहे. हा फरक मूळ लेखात स्पष्ट झाला नव्हता. या प्रतिसादानिमित्त झाला हे बरं झालं.
जे सर्वमान्य सरासरीचे आकडे असतात (स्टॅट्स) त्यांत अशा अनेक गोष्टी गाळून टाकल्या जातात. बहुतेक वेळा पुरेशा मॅचेस खेळलं की हे फरक कमी होत जातात - पण पूर्णपणे जातीलच असं नाही.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
सदृशता
स्टॉक मार्केट व क्रिकेट यांची तुलना करण्याचा हेतू नाही.
तुमचा तो हेतू आहे असे म्हणायचे नव्हतेच. सदृशता (ऍनलजी) रोचक आहे असे म्हणणे कदाचित योग्य ठरावे.
खेळाच्या बाबतीत स्टॅटिस्टिक्स हा शब्द (दुर्दैवाने) दोन अर्थांनी वापरला जातो - संख्याशास्त्र व आकडेवारी.
मीही सोयीचा अर्थ घेतला हे खरे.
"तुझं वाचन किती? तू बोलतोयस किती?"
"तुझा पगार किती? तू बोलतोयस किती?"
छान
लेखमालेची कल्पना चांगली आहे. क्रिकेट वगैरे उदाहरणातून अगदी स्टॅटीस्टीकल मेकॅनीक्स वगैरे संकल्पनाही समजावून सांगितल्या तर उत्तम!
स्टॅटिस्टिक्स आणि प्रॉबबलिटी
संख्याशास्त्र आणि शक्याशक्यतेचे शास्त्र ही एकमेकाला जवळची शास्त्रे. मात्र ती एक नाहीत. पहिल्यात केवळ सत्याची मांडणी केली जाते तर दुसर्यात भविष्यात घडू शकणार्या गोष्टींची शक्यता वर्तवली जाते. याशिवाय एम्पिरिसिज्म ही तिसरी गोष्ट येते. ज्यात 'भूतकाळात विशिष्ट परिस्थितीत जे घडले तेच भविष्यकाळात त्याच परिस्थितीत घडते' असे गृहितक असते. भविष्यवेत्तेपणाची जबाबदारी संख्याशास्त्रावर टाकणे चुकीचे ठरते.
लेख नुसता स्टॅटिस्टिक्सवर नाही तर त्यात एम्पिरिसिज्मची गृहितके आणि प्रॉबबलीटीची गणिते अंतर्भूत आहेत. लेखात लिहिल्याप्रमाणे संख्याशास्त्र सत्याची ओळख करून देते. ते बरोबरच आहे. पण पूर्ण सत्य आणते का? तर त्याचे उत्तर ठाम नाही असेच येईल. सत्याचे संक्षिप्तीकरण करणे हे स्टॅटिस्टिक्सचे महत्वाचे अंग आहे. हे संक्षिप्तीकरण करताना कित्येक गोष्टी गाळल्या जातात. कुठल्या गोष्टींना महत्व द्यायचे आणि कुठल्यांना नाही हे संख्याशास्त्रज्ञ ठरवतो.
क्रिकेटच्या बाबतीत तर हे अधिक कठीण ठरते. नुसत्या फलंदाजीचे उदाहरण घेतले तर. अगदी जोडीदारापासून, विकेट, विरुद्ध संघातील खेळाडू, परिस्थिती यामुळे बनणार्या धावांमधे बदल घडू शकतो. पण 'सरासरी' या संख्याशास्त्रीय संकल्पनेत या गोष्टींना महत्व दिले जात नाही. जर खेळाडुने अनेक सामने खेळले असतील तर या पॅरामिटर्सची देखिल सरासरी होऊ शकते. पण ती नेहमीच होते असे नाही.
एखादा जण फॉर्मात आहे की नाही हे दर्शवण्यासाठी साधारण पणे तो चेंडू बॅटीच्या मधोमध किती वेळेला घेतो. किती वेळेला बीट होतो. या गोष्टी महत्वाच्या. (यात जर सुसुत्रता आढळून आली तर फॉर्मात असणे नसणे याबद्दल बोलता येते.) 'सरासरी' या घटकाने हे सांगता येणे कठीण जाते.
संगणकाच्या सहाय्याने कदाचित जास्तीत जास्त पद्धतीने हे सगळे गोळा केल्यावरही सत्याचे संक्षिप्तीकरण घडवावेच लागते. त्यातही काही महत्वाच्या बाबी राहू शकतात. त्या लक्षात आल्यावर नवीन घटकांच्या समानीकरणाने नवीन विदा काढल्या जातील.
लेखात यातील बरेच मुद्दे आले आहेत आणि येणार आहेत (पुढील भागांच्या प्रतिक्षेत.)
प्रमोद
प्रतिसाद अतिशय आवडला
सरासरी काढताना सत्याचं संक्षेपीकरण होतं हे मान्य. तसं करण्याचे फायदे असतात, व काही तोटेही.
मान्य. मात्र काही वेळा बायस नसलेला फासा टाकल्यावरही लागोपाठ मोठं दान येतं, काही वेळा बऱ्याच वेळा लहान दानंच पडतात. या दोनपैकी कुठच्याही वेळेला 'फासा फॉर्मात आहे, किंवा फाशाचा फॉर्म गेला' असं म्हणणं योग्य नसतं. सरासरीबरोबरच वितरण (डिस्ट्रिब्यूशन) काय आहे हे पाहिलं तर चित्र स्पष्ट होतं. तसं झालं तरी आकडेवारीवरून चुकीचे निष्कर्ष काढणं कमी होऊ शकेल.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी