उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
वर फेकलेला चेंडू
विशाल.तेलंग्रे
November 18, 2010 - 5:31 pm
गेल्या दशकात होऊन गेलेल्या रिचर्ड फाइनमन—या अमेरिकन भौतिकी वैज्ञानिकाबद्दल व त्यांच्या संशोधनांबद्दलची माहीती आंतरजालावर भटकताना मला एके-स्थळी खालील प्रश्न निदर्शनास आला:
» प्रश्न असा,
समजा तुम्ही एक छोट्या आकाराचा चेंडू उदग्ररीत्या ऊर्ध्वदिशेने आकाशाकडे फेकला—त्या चेंडूला वर जाण्यासाठी जास्त कालावधी लागेल की खाली येऊन स्थिरावण्यासाठी?
प्रश्नाच्या उत्तराबाबत मी डोक्याला काहीच ताण न देता मनातल्या मनात लगेच उत्तरलो—वर जाण्यासाठी! या प्रश्नामध्ये विचार करण्यासारखे काहीही नाही अन् अत्यंत सोपा प्रश्न आहे असा स्वतःचाच गैरसमज करुन घेऊन मी त्या प्रश्नाच्या उत्तराकडे वळलो. उत्तरापर्यंत पोहोचताना मी कुठल्याचा वैज्ञानिक संकल्पनेचा वा सिद्धांताचा उपयोग करवून घेतला नाही, ना ही तसं काही करण्याचा विचार केला... हंऽ, गुरुत्व बलाबद्दल त्यावेळी डोक्यात चमकून गेले होते, त्याचीच परिणीती माझ्या उत्तरात झाली असावी. थोडावेळ प्रश्नातील परिस्थिती मनातल्या मनात कल्पित मी तो निष्कर्ष काढला. अजुनपर्यंत मी योग्य उत्तर बघितलेले नव्हते शिवाय माझे उत्तर बरोबरच असणार, याची मला खात्री वाटत होती. योग्य उत्तर बघताक्षणी मी मनातल्या मनात उद्गारलोच, "काऽय?"
ह्म्म, योग्य उत्तर माझ्या उत्तराच्या अगदी विरुद्ध होते. माझी खात्री पटेना. पण त्यावरील स्पष्टीकरणासहित निष्कर्ष पाहून मात्र मी अखेर हार पत्करली. पण ते कसे काय, हे जाणून घेण्याची सुप्त इच्छा नि उत्सुकता होतीच. नंतर गच्चीवर जाऊन प्रयोग करुन बघितला—मनाला बरं वाटलं तेव्हा खाली आलो नि हा लेख लिहिण्याचा प्रपंच (सुरु) केला. प्रकाशित करण्यास विलंब होण्यास सबब अशी—मी उबुन्टू वापरतो, लेख लिहित असतानाच डाउनलोड झालेले पॅकेजेस (खूप!) स्थापित करतेवेळी खूप वेळ लागला, म्हणजे किमान १ तास तरी (करणार काय, ५१२ MiB ची रॅम आहे माझी! :( ) आणि नंतर दूरदर्शन पाहणे, जेवन वगैरे करुन लेख लिहून पुर्ण केला.
» योग्य उत्तर,
एक छोट्या आकाराचा चेंडू उदग्ररीत्या ऊर्ध्वदिशेने आकाशाकडे फेकला असता त्या चेंडूला वरुन खाली येऊन स्थिरावण्यासाठी (त्या मानाने) जास्त कालावधी लागेल.
⟹ उत्तरासाठीचे स्पष्टीकरण क्र. १ (सिद्धतेसह):
⤇ जोवर चेंडू ऊर्ध्वदिशेने आकाशाकडे जात असेल, त्या काळात गुरुत्वीय आणि हवेतील खाली खेचणारी बले (air drag) अधोमुखी राहतील—म्हणजेच, त्याचे aऊर्ध्व > g (गुरुत्वीय बल) या/एवढ्या सरासरी परिमाणाने (किंवा अभिमितिने) अवत्वरण होत राहील.
जर v वेगाने (तो) चेंडू फेकला आणि h या (सर्वोच्च) उंचीपर्यंत जाण्यासाठी—जेथे चेंडूचा वेग शून्य असेल, त्याला tऊर्ध्व एवढा वेळ लागला, तर गतिकीय समीकरणाद्वारे आपण असे लिहू शकतो,
v२ - २ aऊर्ध्व h = ०,
आणि
v - aऊर्ध्व tऊर्ध्व = ०.
दोहोंमधील v वगळून,
tऊर्ध्व = √(२ h) / (aऊर्ध्व).
⤇ आता खाली येताना, हवेतील खाली खेचणारे बल (air drag) हे ऊर्ध्वमुखी असेल आणि गुरुत्वीय बल अधोमुखी असेल—त्यामुळे चेंडूच्या अधःत्वरणाचे परिमाण (किंवा अभिमिति) g पेक्षा कमी असेल, ते आपण aअधो < g एवढे मानू.
जर h या (एवढ्या) सर्वोच्च उंचीवरुन—जेथे चेंडूचा वेग शून्य होता, ती उंची पार करीत जमीनीवर येऊन स्थिरावण्यासाठी त्याला tअधो एवढा वेळ लागला, तर गतिकीय समीकरणाच्या आधारे आपण असे लिहू शकतो,
h = ½ aअधो t२अधो,
किंवा
tअधो = √(२ h) / (aअधो).
म्हणजेच,
tऊर्ध्व / tअधो = √(aअधो) / (aऊर्ध्व).
तसेच,
aऊर्ध्व > aअधो
∴
tअधो > tऊर्ध्व
⤇ निष्कर्ष: चेंडू उदग्ररीत्या ऊर्ध्वदिशेने आकाशाकडे फेकला असता त्या चेंडूला वरुन जमीनीवर येऊन स्थिरावण्यासाठी (त्या मानाने) जास्त कालावधी लागेल.
⟹ उत्तरासाठीचे स्पष्टीकरण क्र. २:
⤇ आरोही नि अवरोही घटनांमध्ये दिलेल्या कितीही उंचीवर खाली खेचणारी बले चेंडूवर कार्य करतील, जेणेकरुन अवरोही घटनेमध्ये त्याची एकूण ऊर्जा कमी असायला हवी व असेल; स्थितीज ऊर्जेमध्ये कसलाही बदल होणार नाही (त्याच उंचीवर), त्यामुळे अवरोही घटनेमध्ये चेंडूची गतिज ऊर्जा कमी असणे गरजेचे आहे व असेल. निष्कषार्थी—प्रत्येक उंचीवरुन चेंडू जात असताना तो आरोहापेक्षा कमी अवरोहीत होतो, आणि म्हणून त्याला खाली यायला (त्या मानाने) अधिक कालावधी लागतो.
» यालाच अनुसरुन असलेले(?) एक उदाहरण डोक्यात आत्ताच चमकून गेले—जर अत्यंत कमी कोनीय अवरोही उतार असलेल्या एका प्राकृतिक टेकडीच्या टोकावर जाण्यासाठी असलेल्या अगदी सरळ व गुळगुळीत रस्त्यावरुन हॅमिल्टनला त्याच्या मॅक्लेरिनच्या एफ वन कारने भरधाव वेगाने टेकडीवर जाण्यास सांगीतले; तो जेथून वर गेला होता, तेथून h उंचीपर्यंत तो चढला, अगदी काही क्षण थांबला, डोळ्याची पापणी लवते न लवते तोच तो उलट दिशेने खाली आला (ब्रेक दाबण्यास प्रतिबंध!), तर त्याला चढण्यापेक्षा उतरुन खाली येण्यास जास्त वेळ लागेल काय? (वरील सिद्धता असलेले उदाहरण जरी या उदाहरणाशी तर्कसमान वाटत असलेले तरी या ठिकाणी परिस्थिती वेगळी आहे, हे प्रथम लक्षात घ्यावे.)
धन्यवाद!
दुवे:
Comments
आभार...!
लेखन माहितीपूर्ण आहे.
-दिलीप बिरुटे
ऑब्व्हियस == माहितीपूर्ण ?
इंग्रजीतील ऑब्व्हियस ह्या शब्दाला मराठीत माहितीपूर्ण हा प्रतिशब्द आहे काय ?
--
|| बुद्धं सरणं गच्छामि ||
इंटरेस्टींग
विषय खूप छान आहे. आणि उत्सुकता वाटेल असे लिहीले आहे... फाईनमनचे अनेक वर्षांपूर्वी वाचल्याचे आत्ता त्या निमित्ताने आठवले. हे उदाहरण माहीत होते. आता हा विषय अनेक वर्षांमधे संबंध न आल्याने आऊट ऑफ टच वाटला.
अवांतरः "उपक्रम" संकेतस्थळाच्या ध्येयात बसणारे माहीतीपूर्ण लेखन इतर संकेतस्थळावर वावरताना लिहावेसे वाटणे दुर्लभ झाले आहे की काय, असे वाटत असतानाच हा सुखद धक्का दिल्याबद्दल धन्यवाद! :-)
उत्तम लेख, धन्यवाद
उत्तम लेख, धन्यवाद.
माझे गणित आणि प्रमाण भाषा कच्ची म्हणून पृच्छा करतो -
बोली मराठी भाषेत असे म्हणता येईल का? - "कि चेंडू वर जाताना गुरुत्वाकर्षण आणि हवेचा दाब चेंडूस खाली खेचत होता, पण चेंडू खाली येताना हवेचा दाब चेंडूस वर ढकलत होता व गुरुत्वाकर्षण खाली खेचत होते व ह्या खेचाखेचीत त्यास खाली येण्यास अथक परिश्रम करावे लागले व त्यात वेळ गेला".
छान
छान!
एक शंका : "गुळगुळीत" म्हणजे "फ्रिक्शनविरहित" असा अर्थ घ्यायचा आहे का? पण सामांतर्य राखण्यासाठी एअर ड्रॅग मात्र मानायचा आहे.
(आणखी एक शंका : मोटारगाडी इंधन जाळत आहे की नाही? टेकडीच्या पायथ्याशी मोटार-इंजिनचा जोरदार रेटा देऊन मग इंजिन थांबवलेले आहे आणि गाडी त्या रेट्यामुळे टेकडीमाथ्याला पोचली, की उलटपक्षी टेकडीपर्यंतच्या प्रवासात इंजिनचा रेटा चालू आहे?)
"गुळगुळीत" शब्द चुकीने वापरला गेला!
शब्दाचा योग्य अर्थ माहित असतानादेखील नकळत हा शब्द माझ्याकडून टंकला गेला, परिणामी प्रश्नातील एकूण परिस्थितीचा बराच विक्षिप्त अर्थ निघतोय.
"गुळगुळीत" असे म्हणण्याऐवजी मला "ज्या पदार्थाने इतर पदार्थाचा पृष्ठभाग गुळगुळीत (smooth) केला जातो असा—उदाहरणार्थ, सँडपेपर" म्हणजेच त्यावर बले लावणार्‍या वस्तू किंवा पृष्ठभागांमध्ये घर्षण (friction) घडवून आणू शकेल असा खरखरीत (मात्र विशिष्ट प्रमाणात!) पृष्ठभाग—उदाहरणार्थ, डांबरी सडक; असे म्हणायचे होते.
ही शंका नंतर मला देखील जाणवली, पण तुम्ही ती उपस्थित केली आहे त्याबद्दल आभार! मुळात ती मोटार वर जाण्यासाठी कुठल्यातरी यांत्रिक बलाचा (उदा. मोटारगाडीच्या इंजिनाद्वारे मिळालेला थ्रस्ट!) वापर करावा लागेल नाहीतर कुठल्यातरी बाह्यबलाद्वारे त्या मोटारीला टेकडीच्या पायथ्यापासून वर जाण्यासाठी ढकलावे लागेल. येथे आपण फक्त सुरुवातीलाच मोटार-इंजिनाचा जोरदार रेटा देऊन (अन् नंतर लगेच इंजिन थांबवून) तीला वर पाठवलेले आहे, असे गृहीत धरुया.
नाही. आपण असे गृहीत धरतो आहोत की टेकडीच्या पायथ्याशी असतानाच, म्हणजेच सुरुवातीलाच मोटारीला मोटार-इंजिनाचा जोरदार रेटा/प्रणोद (thrust) देऊन (अन् नंतर इंजिन लगेच थांबवून) तीला वर पाठवलेले आहे. केवळ या रेट्यामुळे ती h उंचीपर्यंत कशीबशी पोहोचेल व नंतर अगदी किंचीत क्षण थांबून ती पुनः घरंगळत खाली येईल. इंजिनाद्वारे मिळालेल्या उर्ध्वप्रणोदामुळे मोटार कमी होत जाणार्‍या वेगाने टेकडी माथ्याकडे जात असताना इतर कसल्याही कुरापती (उदाहरणार्थ, गीअर टाकणे, ब्रेक दाबणे इत्यादी) ज्यांद्वारे मोटारीला वर जाण्यात आणि त्याचप्रमाणे वरुन खाली येतेवेळी अडथळा निर्माण होऊ शकतो, त्या करण्यास प्रतिबंध आहे.
ह्म्म, आपण निर्वात जागी हा प्रयोग करणार नसल्याने "एअर ड्रॅग" मानावाच लागेल.
चांगला मुद्दा
हा मुद्दा पटकन लक्षात आला नव्हता. (बलांच्या विरुद्धतेतून आलेला.)
पटकन मला उत्तर तुमच्या उलटे वाटले होते. त्याचे कारण वर जाताना सुरुवातीचा वेग आणि खाली आल्यावरचा शेवटचा वेग यांची मी तुलना केली. यातील वर जातानाचा वेग हा खाली आल्यावरच्या वेगापेक्षा साहजिक जास्त आहे. (याला आपण फ्रिक्शन लॉस म्हणू शकतो.) म्हणजे खाली येताना तो सरासरी कमी वेगाने येतो हे देखिल साहजिक वाटले. अर्थात बलांचे गणित जास्त अचूक आहे.
प्रमोद
उत्तरासाठी हे सुद्धा एक स्पष्टीकरण आपण मानू शकतो
नक्कीच! घर्षणऱ्हास (friction loss) झाल्यामुळे खाली येतेवेळी चेंडूचा सरासरी वेग वर जातेवेळच्या सरासरी वेगापेक्षा कमी होणार असल्यामुळे परिणामी त्याला खाली येऊन स्थिरावण्यात (त्या मानाने) अधिक कालावधी लागेल असे आपण म्हणू शकतो.
चेंडूऐवजी कागद
चेंडूऐवजी कागदाचा एक चतकोर तुकडा वर फेकण्याचा प्रयत्न प्रथम करावा म्हणजे गुरुत्वाकर्षणाच्या बलाच्या प्रभावाकडे दुर्लक्ष करता ये ईल व फक्त हवेच्या दाबाच्या बलाचे पृथ:करण करता ये ईल. . त्या नंतर बॉल बेअरिंगची गोळी फेकून किती वेळ लागेल याचे पृथ:क्करण करावे म्हणजे हवेच्या दाबाच्या प्रभावाकडे दुर्लक्ष करता ये ईल व फक्त गुरुत्वाकर्षणाच्या बलाचा प्रभाव काय आहे ते कळेल.
चंद्रशेखर
Learning is not compulsory... neither is survival.
एक शंका, बाकीचे बरोबर
तत्सम वस्तूचे वजन (weight) म्हणजेच गुरुत्वाकर्षण बल असे आपण मानून हे विधान केले आहे का, कारण जर असे असेल, तरच आपण गुरुत्वाकर्षण बलाच्या प्रभावाकडे दुर्लक्ष (~ बल असेल, कमी प्रमाणात, त्यामुळे त्याला तितकासा भाव न देता!) करुन हवेच्या दाबाच्या बलाचे पृथःकरण करु शकू; त्याचप्रमाणे वस्तूचे वजन जास्त असताना हवेच्या दाबाच्या प्रभावाकडे दुर्लक्ष करणे (समजण्यासाठीची सोपी सोय म्हणून) शक्य असेल व गुरुत्वाकर्षणाच्या बलाचा म्हणजेच तत्सम वस्तूच्या वजनाचा प्रभाव काय आहे तो कळेल, नाही?
मल्टिपल फोर्सेस
जेंव्हा एखाद्या वस्तूवर मल्टिपल फोर्सेस कार्य करत असतात तेंव्हा त्या सगळ्यांचा एकदम न विचार करता एक एक बलाचाच प्रभाव काय पडतो याचे पृथ:करण करून मग शेवटी सर्व बलांचे एकत्रिकरण करून काय घडेल हे तपासायचे ही सर्वमान्य पद्धत आहे. म्हणून मी हे उदाहरण दिले होते. कागदाला काहीच वजन नसल्याने त्याच्यावरील गुरुत्वाकर्षणाचे बल विचारात घेण्याची गरज नाही. त्याचप्रमाणे आपण जी गती विचारात घेतो आहोत त्या गतीला बॉल बेअरिंगच्या गोळीवर येणारा हवेचा दाब सुद्धा विचारात घेण्याची गरज नाही. त्यामुळे या दोन गोष्टींची समीकरणे मांडून नंतर त्यातून एक डिफरन्शियल समीकरण बनवता आले व त्याचे सोल्यूशन करता आले तर तुमचे पृथ:करण अचूक होईल असे वाटते.
चन्द्रशेखर
Learning is not compulsory... neither is survival.
अडचणी.
इंट्युटीव्हली तुम्ही म्हणता ते खरे आहे, पण काही अडचणी आहेत्.
कागदाची घनता हवेच्या घनतेपे़शा फार जास्त नसल्याने, बायोंसी फोर्सला इथे नगण्य मानता येणार नाही. उलट कागदाच्या कपट्याच्या हळु वेगामुळे हवेचा अवरोध कमीच असु शकेल्. (अवरोध वेगाच्या वर्गाच्या पटीत असतो)
त्याउलट चेंडुच्या बाबतीत बायोंसीने पडणारा फरक नगण्यच असेल्. त्याशिवाय, वेळेचे गणित लिनिअर नसल्याने (तुम्ही म्हणताय ते मला समजले असेल् तर) सुपर-पोसिशन प्रिंसीपलने जमणार नाही.
-Nile
फेकलेली वस्तू
आता आपण जास्त वरच्या पातळीची चिकित्सा करू लागलो आहोत. या प्रकारचे प्रॉब्लेम्स हैड्रॉलिक्स किंवा एअरॉनॉटिक्स मधे नहमीच येतात. यात खालील पद्धतीने पुढे जावे लागते. प्रथम ही सर्व गणिते अशा वस्तूंसाठी सोडवायची असतात ज्यांचा आकार तर आपल्याला पाहिजे तोच असतो परंतु त्याची मोजमापे अतिशय सूक्ष्म(लिमिट टेन्डिन्ग टू झीरो) असतात. उदाहरणार्थ चेंडू साठी ही समीकरणे स्फिरिकल एलेमेंट साठी सोडवावी लागतात. यासाठीची पार्शल डिफ. समीकरणे एकदा मांडता आली की मग ती पूर्ण आकारासाठी वापरणे शक्य होते. चेंडू हा फार सोपा आकार झाला. एअरो फॉइल्सना ही समीकरणे खूपच क्लिष्ट बनतात.
मी दिलेली उदाहरणे आपला ऍप्रोच काय असावा म्हणून दिली होती. कागद हवेत कसा फेकता येईल? हे सरळ आहे. माझा मुद्दा एवढाच होता की जेंव्हा अनेक बले कार्यरत असतात तेंव्हा एकाच समीकरणाने उत्तर मिळणॆ अशक्यच असते. चेंडूच्या उदाहरणात 3 प्रकारची बले आहेत. चेंडू फेकण्याचे बल, गुरुत्वाकर्षणाचे बल व हवेच्या दाबाचे बल. या शिवाय चेंडूचा एअरो प्रोफाइल ही महत्वाचा आहे. चेंडू कशा प्रकारे हवेत उड्डाण करेल हे माहिती करून घेणे अत्यंत किचकट काम आहे व त्यासाठी संग़णक़ाचाच आधार घेणे आवश्यक ठरेल.
चन्द्रशेखर
Learning is not compulsory... neither is survival.
मस्त
तुमचा पहिलाच लेख आहे त्यामुळे अभिनंदन.
चांगला विषय दिल्याबद्दल धन्यवाद. अनेक शालेय प्रश्नांमध्ये खूप सुलभीकरण असते. विद्यार्थांना विषय समजाविण्यासाठी असे सुलभीकरण आवश्यक असले तरी त्याच्या पलिकडे स्वतः विचार करून अधिक अचूक उत्तर शोधण्यात गंमत असते.
लेखातील स्पष्टीकरणे पटली. हे संस्थळ कोणते?
माझे स्पष्टीकरण (हे काहीसे सहस्रबुद्धे यांच्या स्पष्टीकरणासारखे आहे): हवेत चेंडूला जी टर्मिनल वेलॉसिटी असू शकते तिच्यापेक्षा अधिक वेगाने जरी वर फेकले तर तो बिचारा त्या वेगाने जाईलच. (भले, तसा वरवर जाताना त्याचा वेग झपाट्याने कमी होईल.) पण एकदा वर पोहोचल्यावर मात्र, खाली येताना त्याचा वेग कधीही टर्मिनल वेलॉसिटीपलिकडे पोहोचू शकणार नाही. QED.
--------
दुसरे कोडे:
गुळगुळीत या शब्दाचे दोन विरुद्ध अर्थ लावता येतात. नेहमीचा अर्थ 'घर्षणविरहीत' असा आहे. पण, पृष्ठभाग अत्यंत गुळगुळीत केल्यास घर्षण वाढूही शकते.
धनंजय यांचीच शंका मलाही आहे. वर जाताना गाडी घरंगळते की यांत्रिक बलाने रेटली जाते? "गुळगुळीत रस्त्यावर मुळीच घर्षण नाही" असा अर्थ घेतला तर केवळ यांत्रिक बल लावून गाडी वर चढणारच नाही. केवळ मूळच्या (टेकडी सुरू होण्यापूर्वी प्राप्त) संवेगामुळे गाडी घरंगळत चढणार असेल तरच गुळगुळीतपणाचा उपयोग होईल.
गुळगुळीत म्हटले की मला लालूप्रसाद यांचे वचन स्मरते.
टर्मिनल वेलॉसिटी
टर्मिनल वेलॉसिटीची चेंडूच्या नि मोटारीच्या या उदाहरणांबाबत व्याख्या कशी कराल किंवा इतर संदर्भ दुवे दिले तर समजण्यास अडचण येणार नाही.
तसे पाहिले तर, कुठलीही वस्तू जेव्हा पृथ्वीच्या वातावरणातून पृष्ठभागाकडे येत असताना माझ्यामते तीच्यावर दोन बले कार्यान्वीत असतात, एक म्हणजे गुरुत्वाकर्षण बल—जे आपण त्या वस्तूचे वजन (weight) म्हणून मानू शकतो आणि दुसरे बल म्हणजे हवेचा त्या वस्तूला होणारा रोध—वातरोध (air drag). जर वस्तूचे वस्तुमान (mass) स्थिर असेल, तर न्युटनच्या गतिविषयक दुसर्‍या नियमाद्वारे त्या वस्तूची गति (motion) आपण ठरवू शकतो. समजा अशा कमी-अधिक वजनाच्या दोन वस्तू खाली पडत असल्या तर अधिक वजन असलेल्या वस्तूची गति अधिक असेल, असे टर्मिनल वेलॉसिटी च्या आधारे दाखवता येईल का?
धनंजय यांना दिलेल्या या प्रतिसादात तुमचे शंकासमाधान होईल, अशी आशा आहे.
आणखी एक संभावना: जर तो रस्ता "गुळगुळीत"च ठेवला म्हणजेच "त्या रस्त्यावर मुळीच घर्षण नाही"; तर काय परिणाम पाहायला मिळतील?
टर्मिनल व्हेलॉसीटी
मला वाटते, टर्मिनल व्हेलॉसीटीच्या व्याख्येप्रमाणे वर जाताना टर्मिनल व्हेलॉसीटीचा प्रश्नच येत् नाही. कारण् वरती जाताना सर्वोच्च बिंदु सोडला तर बले 'इक्वीलिब्रीयम'मध्ये(मराठी?) नसतातच. खाली येताना दोन्ही बले वेगळ्या दिशेला असल्याने. एक्विलिब्रीयममुळे एक अवस्था अशी येउ शकते ज्यामुळे गुरुत्व बल् आणि अवरोध हे विरुद्धदिशेला पण् समान एककाचे असतील. त्या क्षणी चेंडुवर कुठलेही एकुण बल नसल्याने तत्क्षणीचा वेग(व्हेलॉसीटी) चेंडु कायम ठेवुन् खाली येईल्. (म्हणजेच त्वरण्=शुन्य)
-Nile
त्वरण = शून्य!
या विधानाची मी अशी सिद्धता केली:
चेंडू खाली येतेक्षणी त्यावरील एकूण बल (F) हे एअर ड्रॅग (D) वजा चेंडूचे वजन (W) एवढे असेल,
F = D - W
कुठेतरी मी असं ऐकलंय की एखादी वस्तू खाली येत असताना वस्तूला खाली पडण्यास रोध करणारा वातरोध (air drag) वस्तूच्या वेगाच्या वर्गाच्या समप्रमाणात वाढत जातो. जेव्हा हा ड्रॅग त्या वस्तूच्या वजनासमान होईल, तेव्हा त्या वस्तूवरील एकूण बल शून्य होते, जसे की आपल्या चेंडूच्या उदाहरणात आपण लिहू शकतो,
F = D - W = ० (कारण, चेंडूवरील ड्रॅग हा त्याच्या वजनासमान झाला)
आणि न्यूटनच्या गतिविषयक दुसर्‍या नियमानुसार,
F = चेंडूचे वस्तूमान * त्वरण
पण
F = ०
म्हणून,
चेंडूचे त्वरण शून्य होईल!
यावरुन आता मला सांगा जे की मी रिकामटेकडा यांना देखील विचारले आहे: समजा अशा कमी-अधिक वजनाच्या दोन वस्तू खाली पडत असल्या तर अधिक वजन असलेल्या वस्तूची गति अधिक असेल, असे टर्मिनल वेलॉसिटी च्या आधारे दाखवता येईल का? जर हे दाखवले तर "निरनिराळ्या वजनाच्या वस्तू खाली पडत असताना त्यांचा खाली पडण्याचा वेग (म्हणजेच टर्मिनल व्हेलॉसिटी का?) देखील निरनिराळा असेल" असे दाखवणे देखील सोपे जाईल (मुळात तशी गरज देखील पडणार नाही!)
समजा अशा
हो, सहज शक्य आहे.
इथे गृहितक असे आहे की दोन्ही वस्तुंवर समान वेग असताना ड्रॅग समान् आहे, पण् वस्तुंचे वजन वेगवेगळे आहे. (पहिलीचे अ दुसरीचे अ+ब् मानु)
समजा या दोन वस्तु अवकाशातुन् एकाच वेळी खाली सोडल्या. दोन्ही वस्तु सुरुवातीला ९.८१ त्वरणाने खाली येतील. पहिल्या वस्तुवर, 'अ', काही क्षणांनंतर ड्रॅग ही अ एव्हढाच असेल. तेव्हाची व्हेलॉसीटी 'क्ष' मानुयात. याच वेलॉसीटीला दुसर्‍या वस्तुवरही ड्रॅग 'अ'च असेल. (म्हणुन एकुण बल=> अ+ब-अ=ब्)
बल शुन्य नाही म्हणुन 'क्ष' वेग असताना दुसर्‍या वस्तुवर "त्वरण् आहे". म्हणजेच दुसर्‍या वस्तुचा वेग वाढत जाईल्, एका क्ष+य् वेगाला अवरोध वाढुन् वजनाएव्हढा होईल् (=अ+ब) तेव्हा जड वस्तुला टर्मिनल व्हेलॉसीटी मिळेल.
टर्मिनल व्हेलॉसीटी आणि खाली पडण्याचा वेग(त्वरण असताना) वेगळ्या गोष्टी आहे. एकदा टर्मिनल वेलॉसीटी मिळाली की वस्तु त्याच वेगाने खाली येते. (गोंधळ् राहु नये म्हणुन पुन्हा स्पष्ट करतो आहे, गोंधळ् नसल्यास ह्या दोन ओळी वगळाव्यात)
-Nile
उदाहरण आवडले. हेच या प्रकारे लिहता येईल का?
वरील उदाहरणात (चेंडु) हवेचा अवरोधाच्या(ड्रॅग) परिणामामुळे चेंडु वर जाताना गुरुत्व बल+ अवरोध खालच्या दिशेने आणि चेंडु खाली येताना गुरुत्व बल खालच्या दिशेने मात्र हवेचा अवरोध वरच्या दिशेने. थोडक्यात, न्युटनच्या तिसर्‍या नियमाप्रमाणे (बल=वस्तुमान*त्वरण) चेंडु वर जाताना बल हे जास्त म्हणुन त्वरण जास्त (पण् विरुद्ध दिशेने, वेग मंदावतो) पण् खाली येताना मात्र बल हे कमी (वर जाताना पेक्षा) असल्याने त्वरण कमी असेल.
त्वरण कमी= वेळ जास्त. हे स्पष्टीकरण पटण्यासारखे आहे का?
-Nile
तेच तर सांगीतलंय
लेखातील चेंडूच्या उदाहरणाच्या सिद्धतेत देखील हेच तर सिद्ध करुन दाखवले आहे:
आणि म्हणूनच,
सहसा समीकरणे तपासायचे टाळतो.
मी सहसा समीकरणे तपासायचे टाळतो. ;-)
गुड.
-Nile
उत्तर
माझ्या मते मोटारगाडीचे उदाहरण चेंडूच्या उदाहरणाशी पुरते समांतर आहे.
रस्त्यावरच्या प्रत्येक ठिकाणी मोटारगाडीचा माथ्याच्या दिशेला जातानाचा वेग (ऍब्सोल्यूट व्हॅल्यू ऑफ व्हेलॉसिटी) उतरतानाच्या वेगापेक्षा अधिक असेल.
(माथ्यावरतीचा शून्य वेग चढताना आणि उतरताना ० इतकाच आहे, या एका बिंदूबाबत "अपवाद" आहे - खरे तर अपवाद नाही...)
चढण्याचे/उतरण्याचे अंतर मात्र समसमान आहे. वेग नेहमी कमी, अंतर तितकेच, म्हणजे उतरायला अधिक वेळ लागेल.
(मात्र हीच बाब चेंडूबद्दलही खरी आहे - चेंडू वर जायला जितका वेळ लागतो त्यापेक्षा खाली येताना अधिक वेळ लागेल. मार्गातल्या प्रत्येक ठिकाणी वेगांबाबत तर्कसुद्धा अगदी तसाच आहे. लेखात मात्र म्हटले आहे की मोटारीबाबत तर्काच्या दृष्टीने परिस्थिती चेंडूपेक्षा वेगळी आहे...)
शक्यतांशी काही-अंशी सहमत पण
मान्य पण साशंकता आहेच!
सुरुवातीला मोटारीचा माथ्याकडे जाण्याचा वेग (सदिश) ० असेल, तसेच h उंचीवर असताना देखील वेग ० एवढाच असेल आणि पुन्हा खाली येऊन स्थिरावल्यानंतरदेखील तो वेग ० एवढाच असेल. याअर्थी h पर्यंत वर जाण्यात आणि तेथून खाली परत येण्यात काही भौतिकीय बलांच्या कमी-अधिक ओढाताणीमुळे मोटारीस खाली येण्यास वर जाण्यापेक्षा (त्या मानाने) अधिक कालावधी लागेल. (हे जर असे असले तरी याची गणितीय सिद्धता मिळेपर्यंत अंगिकारणे मला अवघड जाईल!)
मोटारीची चढतानाची प्रत्येक ठिकाणची द्रुतता/अॅबसोल्युट व्हॅल्यू ऑफ व्हेलॉसिटी (अदिश) ही उतरतेवेळच्या द्रुततेपेक्षा अधिक असेल, असे धनंजय म्हणतात, पण हे कशावरुन—यासाठी प्रयोग करुन-निरिक्षणे घेऊन आपली शक्यता पडताळून पाहणे औचित्याचे ठरेल. (माझ्याकडे २चाकी देखील नाही, त्यामुळे मला हा प्रयोग करुन बघणे शक्य नाही किंवा झेपणारे नाही.)
कसलीच प्रायोगिक निरिक्षणे येथे उपलब्ध नसल्यामुळे तरी फक्त एवढे प्रतिपादन करता येऊ शकते की, मोटारीचा—वेग-काळ आलेख हा य-अक्षावर धन पासून ऋण होत जातानाचा असेल. (या आलेखात काळ, क्ष-अक्षावर आणि वेग, य-अक्षावर घेतेलेले आहे.) माथ्यापासून h पर्यंत जाताना मोटारीचा वेग कमी-कमी होत जाऊन शुन्य होतो, त्याचप्रमाणे खाली h पासून खाली येताना हा वेग वाढत जातो, फक्त त्याचे परिमाण ऋण असते.
हे चेंडूच्या उदाहरणात देखील (सिद्धतेसह) सांगितले आहे. पण या उदाहरणाबाबत मोटारीची प्रत्येक ठिकाणची उतरातानाची द्रुतता ही चढतानाच्यापेक्षा कमी होती, हेच सिद्ध झालेले नाही वा तशी प्रयोगाअंति हाती पडलेली निरिक्षणे देखील (माझ्याकडे) उपलब्ध नाहीत, जर हे तुम्ही पटवून देऊ शकलात तरच मोटारीला उतरायला अधिक वेळ लागला, असे आपण काहीअंशी म्हणू शकू.
असे या उदाहरणाबाबतीत म्हणणे म्हणजे काही कोड्यात मी बोललेलो नाही, उदाहरण ठरविताना मला रस्त्याचे घर्षण, मोटारीचे वजन अन् या मुळे उद्‍भवू शकणार्‍य़ा परिस्थितींकडे आपले लक्ष वेधायचे होते, एवढाच त्या वाक्याच्या लिहिण्यामागचा माझा हेतू होता. (उदाहरणार्थ, वर जातांना मोटारीच्या अधिक वजनामुळे अन् गुरुत्वाकर्षणामुळे मोटारीचा वेग मंदावू शकेल, उलटपक्षी खाली येतेवेळी हेच मोटारीचे वजन मोटारीला अधिक वेग प्राप्त करुन देऊ शकण्यास महत्वाची भूमिका बजावू शकेल, असे मला वाटते. यासंदर्भात कमी-अधिक वजामुळे वेगावर काही परिणाम होऊ शकतो, यासाठी [या] प्रतिसादातील खाली पडणार्‍या कमी-अधिक वजनाच्या दोन वस्तूंबाबतीत मी उपस्थित केलेल्या तळाकडील प्रश्नाकडे पहावे.)
पुन्हा खाली येऊन "स्थिरावणे"
पुन्हा खाली येऊन "स्थिरावणे" हा शब्दप्रयोग आधीसुद्धा समजलेला नव्हता. चेंडूचे लेखात दिलेले गणित बघता :
जर aअधो = ० नाही (नाहीच), तर या गणिताच्या मर्यादेत चेंडूची द्रुतता खाली येऊन शून्य कधीच होणार नाही.
जर aऊर्ध्व = ० नाही (की आहे?), तर या गणिताच्या मर्यादेत चेंडूची द्रुतता कमाल उंचीवर पोचण्यापूर्वी शून्य कधीच नव्हती.
प्रत्यक्षात वर फेकलेला चेंडू खाली येऊन "स्थिरावतो" कसा? हाताने टाकलेला चेंडू पुन्हा हातात पकडल्यावर हातात स्थिर राहातो म्हणून "स्थिर" असतो काय? हाताच्या मऊपणात, किंवा हाताची बोटे चेंडूवर आवळल्यामुळे तो "रुततो" (इनिलॅस्टिक कोलिजन). हात आणि चेंडू गरम होतात, असा ऊर्जेचा हिशोब लागतो.
टेनिसचा चेंडू जमिनीवर पडला तर टप्पे घेत-घेत थोड्या वेळानंतर स्थिरावतो. चेंडू आणि जमीन गरम होतात. चेंडू-जमिनींची टक्कर नेमकी कितपत-इलॅस्टिक आहे? त्यावर टप्पे स्थिर होण्यास लागणारा वेळ अवलंबून आहे.
प्रत्यक्षात वर जाण्यापूर्वी चेंडू "स्थिर" असतो, तो कसा? हाताने त्याला रेटा दिलेला नसतो तेव्हा स्थिर असतो. मात्र रेटा देताना वाढणार्‍या द्रुततेचा, काळाचा काहीच हिशोब केलेला नाही. त्यामुळे या कोड्यासाठी तो हिशोब नि:संदर्भ असावा, असा माझा कयास आहे.
- - -
मोटारीच्या बाबतीत असेच वाटले. वर चढताना रेटा दिला तो कसा, रेटा द्यायला किती वेळ लागला हे बहुधा नि:संदर्भ असावे. पण आता तुम्ही पूर्वस्थितीची द्रुतता दिली, आणि हिशोबात घ्यायला सांगितली आहे. तुम्ही म्हणता :
जर असे होते, तर गाडी टेकडीवर चढण्यासाठी हलू लागली त्या प्रक्रियेचे कालमापनही अपेक्षित आहे, असे दिसते. म्हणजे गाडीला वर जाण्यासाठी रेटा दिला त्या इंजिनाबद्दल माहिती पाहिजे. काही गाड्यांची इंजिने "० टु ६० इन् ३ सेकंद" जात असतील, तर काही गाड्यांची इंजिने "० टु ६० इन् १० सेकंद" जात असतील. माझ्यासारखा अति-काळजीपूर्वक चालक असेल, तर घाबरून "० टु ६० इन् ३०० सेकंद" असा रेटा देईल!
आणि टेकडीपायथ्याला (जिथून गाडीचे इंजिन बंद केले) तिथेच खाली येताना गाडी स्थिरावणार हे कशावरून? (फ्रिक्शन नेमकी "अमुक" असली तर त्याच ठिकाणी स्थिरावू शकेलही.) ब्रेक लावण्यास प्रतिबंध केलेला आहे. गाडी बहुधा घरंगळत जाईल सपाट भागावरती पुढे कुठेतरी. किती वेळ घरंगळत राहील, ते सपाट भागावरील फ्रिक्शनवर अवलंबून आहे.
म्हणजे तुमच्या पूर्वस्थितीपासून (० द्रुतता) ते तुमच्या पश्चात्-स्थिती (० द्रुतता) पर्यंत येण्यासाठीच्या वेळेचा हिशोब करण्यासाठी बरीच काही माहिती लागेल (इंजिनचा रेटा, सपाट भागावरचे फ्रिक्शन वगैरे).
अंदाजपंचे आपण मानले समजा : "इंजिनाचा रेटा द्यायला खूप कमी वेळ लागतो, आणि सपात भागावर घरंगळत स्थिर व्यायला त्या मानाने अधिक वेळ लागतो. तर पुन्हा उत्तर देता येते. टेकडीपुरते काळाचे गणित आपण ऊर्जेच्या हिशोबाने केलेलेच आहे :
आता मानलेला अंदाज :
दोन्ही असमीकरणांची बेरीज करून :
आदली ० द्रुतता ते टेकडीमाथ्यावरील ० द्रुतता हा वेळ < टेकडीमाथ्यावरील ० द्रुतता ते खाली कुठेतरी ० द्रुतता हा वेळ
- - -
"ऊर्जेचा हिशोब" म्हणून तुमची चेंडूचीच सिद्धता वापरली.
पायथ्यापासून वर, पण माथ्यापासून खाली असे कुठलेही "ठ" ठिकाण घ्या. हे पायथासपाटीपासून "उ" उंचीवरती आहे.
वरती जाताना मोटारीची द्रुतता "द्रुवर" इतकी आहे. खाली घरंगळताना मोटारीची द्रुतता "द्रुखाली" इतकी आहे. मोटार माथ्यावर पोचते, मग पुढे पायथ्याशी अशी कथावस्तू आहे, म्हणजे मधल्या कुठल्याही "ठ" ठिकाणी |द्रुतता|>० अशी आहे.
मोटारीचे वस्तुमान "व" इतके आहे. कथाप्रसंगाच्या काळात होणारी मोटारीची झीज नगण्य मानलेली आहे. म्हणजे वर जातानाचे, आणि खाली येतानाचे वस्तुमान "व" इतकेच आहे. "व">०, असे सामान्य आयुष्यातील अनुभवांनी मानलेले आहे.
"ठ" ठिकाणी गुरुत्वाकर्षणाचे त्वरण "ग" इतके आहे
"ठ" ठिकाणहून वरती जाताना "ठ" ठिकाणपर्यंत खाली येईस्तोवर घर्षणामुळे उष्णतेत बदललेली ऊर्जा = ऊ; ऊ > ० (चेंडूच्या बाबतीत घर्षणात गेलेली ऊर्जा धन असते, शून्य किंवा ऋण नसते असे मानलेले आहे, सिद्धता सांगितलेली नाही. त्याची सिद्धता आधीच ठाऊक आहे, असे दिसते.)
- - -
आता "ठ" ठिकाणी :
वरती जाताना मोटारीची कायनेटिक एनर्जी आहे : ०.५*व*द्रुवर२
वरती जाताना मोटारीची पोटेन्शियल एनर्जी आहे : व*ग*उ
खालती जाताना मोटारीची कायनेटिक एनर्जी आहे : ०.५*व*द्रुखाली२
खालती जाताना मोटारीची पोटेन्शियल एनर्जी आहे : व*ग*उ
वरती जाताना "ठ" ठिकाणीचा ऊर्जेचा हिशोब :
०.५*व*द्रुवर२ + व*ग*उ
खालती जाताना "ठ" ठिकाणीचा ऊर्जेचा हिशोब :
०.५*व*द्रुखाली२ + व*ग*उ + ऊ
ऊर्जेच्या कन्झर्वेशनच्या कायद्याने :
तस्मात्
ऊ>०, तस्मात् :
व>०, तस्मात् :
वर्गमूळ धन घेतल्यास
दोन्हीकडील राशी ०पेक्षा अधिक तस्मात् :
तस्मात् (स्पष्ट आहे ना? मधल्या पायर्‍या टंकायचा कंटाळा आला आहे.)
(कालमापनाच्या सोयीसाठी टेकडीमाथ्यावरचा समय "०" म्हणून घेतला तर बरे. वेगळा काही घेतले तर पायर्‍या अधिक होतात.)
{
जर द्रुवर आणि द्रुखाली यांची ऍब्सोल्यूट व्हॅल्यू घ्यायची नसेल, तर वरील असमीकरण असे :
}
मध्यंतरीच्या कुठल्याही "ठ" ठिकाणहून माथ्यापर्यंत जायचा वेळ माथ्यापासून "ठ" ठिकाणी उतरण्याच्या वेळेपेक्षा कमी असतो. सिद्धता पूर्ण.
चेंडूच्या बाबतीत तरी "ऊर्जेच्या हिशोबाची" यावेगळी काय सिद्धता आहे? त्या उदाहरणातसुद्धा "सिद्धता स्पष्ट आहे" असे थोडक्यात म्हटले म्हणजे हीच सिद्धता "स्पष्ट" असते.
सुधारणा, आभार
सुधारणा: मोटारगाडीच्या उदाहरणाबाबत आपण मानलेली
पायथ्यापासून वर, पण माथ्यापासून खाली असे कुठलेही "ठ" ठिकाण घ्या. हे पायथासपाटीपासून "उ" उंचीवरती आहे.
अशी साधी-सोपी अद्ययावत सुधारणा करणे आवश्यक वाटते. शिवाय चेंडूच्या उदाहरणाबाबत देखील—"स्थिरावण्यापेक्षा" जेथून चेंडू वर फेकला, खाली पडतानादेखील त्याच ठिकाणापर्यंतचा वेग व त्यासाठी लागलेला कालावधी यांची गणना करणेच मुळ प्रश्नाशी समर्पक आहे, जेणेकरुन त्यानंतर विचार कराव्या लागणार्‍या इतर (व येथे ही संकल्पना समजून घेतेवेळी अभिप्रेत नसलेल्या) गोष्टींचा (जसे की, झेलतानाचा हातावरील प्रघात, इलॅस्टिक कोलिजन, किंवा जमिनीवर पडल्यानंतर जमिन नेमकी कुठल्या पदार्थांपासून बनली आहे, इलॅस्टिसिटी काय, इत्यादी इत्यादी) विचार करणे टाळता येईल!
इथेच सिद्ध होते की वर जातानाची द्रुतता ही खाली घरंगळत येतानाच्यापेक्षा अधिक आहे, म्हणजेच त्या मानाने मोटारीला खाली येण्यास अधिक कालावधी लागेल, हे सिद्ध होते!
प्रस्तुत सिद्धतेबद्दल (तेही ऊर्जेच्या अगदी सोप्या हिशोबाच्या आधारे!) आणि इतर अनेक शंकांचे समाधान केल्याबद्दल आपले मनःपूर्वक आभार! :)
मोटारगाडीचे गणित
मोटारगाडीचे गणित नीटसे मांडले गेले नाही. नुसतेच अंतर एक असून चालणार नाही तर दोन्ही बिंदूंची (चढण्याची सुरुवात आणि उतरतीचा शेवट) पातळी सारखी असली पाहिजे. उतार दोन्ही कडे सारखाच असला पाहिजे (सिमेट्रिकल कंडिशन).
अशा वेळी कुठलाही उर्जापात (एनर्जी लॉस) होणार नसेल तर पहिला आणि शेवटचा वेग सारखा असेल. (के.ई.+पी.ई. = बदलत नाही.) ऍक्सररेशनचे गणित मांडता येते पण त्याची गरज येथे राहत नाही. अशावेळी दोन्ही वेळ समसमान हवेत (कुठल्याही सिमेट्रिक कंडिशन मधील ही बाजु आणि ती बाजु वेगा साठी सारखीच राहणार.) उर्जा पात होणार असेल तर उतरतानाचा वेग कमीच असणार.
असे नसले तर (उतार समसमान नसणे वा पातळी समसमान नसणे) यासाठी कुठलेच उत्तर देता येणार नाही.
अवांतर: कित्येकदा बलांच्या गणिता पेक्षा उर्जेची गणिते सोडवायला सोपी जातात.
प्रमोद
परिपूर्ण विधान
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
"मध्यंतरीच्या कुठल्याही "ठ" ठिकाणहून माथ्यापर्यंत जायचा वेळ माथ्यापासून "ठ" ठिकाणी उतरण्याच्या वेळेपेक्षा कमी असतो. "
श्री.धनंजय यांच्या प्रतिसादातून.
.....हे विधान सत्य तसेच बव्हंशी योग्यही आहे.ठ ते माथा ते ठ या कालावधीत गाडीचे इंजीन बंद आहे.हे उदाहरण आणि चेंडूचे उदाहरण यांत पूर्ण सामंतर्य आहे. चढ/उतार रस्त्यावर गुरुत्वाकर्षणीय त्वरणाची किंमत जी*साईन अल्फा एव्हढी असते इतकेच.
..
सुधारित विधानः
ख स्थानापासून ऊर्ध्व दिशेने फेकलेला चेंडू अधिकतम उंचीवर व बिंदूपर्यंत जाऊन परत ख कडे येतो.खव या रेषीय मार्गाच्या दरम्यान अ, ब असे दोन बिंदू असून ब हा अ पेक्षा अधिक उंचीवर आहे . तर त्या चेंडूला अब हे अंतर वर जाण्यासाठी लागणारा वेळ हा बअ हे अंतर खाली येण्यासाठी लागणार्‍या वेळा पेक्षा कमी असतो.
हाच नियम गाडीसाठीही जसाच्या तसा लागू आहे. मात्र ख ते व ते ख या प्रवासा दरम्यान गाडीचे इंजीन बंद असले पाहिजे. ( ख स्थानापासून गाडी चढणीला लागायच्या आधी क स्थानापासून ती चालू करून पुरेसा वेग आला की ख बिंदूला इंजीन बंद करायचे. कखव सरळ रेषा मार्ग.)