हल्लीच्याच एका "तर्कक्रीडा" सदरात "जर-तर" वाक्यांबद्दल चर्चा झाली होती. त्यावरून असे लक्षात आले, की व्यवहारातल्या "जर-तर" विधानांचे तर्कशास्त्रातल्या गणिती भाषेत रूपांतर करण्याचे दोन वेगवेगळे प्रकार रूढ आहेत.

- - -
पहिले भाषांतर
तर्कक्रीडेच्या संदर्भात श्री. यनावाला यांनी एक गणिती-भाषांतर सांगितलेलेच आहे :

विधान P: अ च्या हातात ससा आहे.
Q; अ पारधी आहे.
P--->Q :जर अ च्या हातात ससा आहे तर अ पारधी आहे.
या जोड विधानाचा अर्थ असा की ज्याच्या हाती ससा आहे तो पारधी आहेच.मात्र तोच पारधी आहे असे नव्हे. हाती ससा नसलेले अनेक पारधी असतील.
* वरील वाक्यांत P & Q सत्य असतील तर P--->Q सत्य असते हे स्पष्ट आहे.
* P सत्य , Q असत्य असेल तर P----> Q असत्य असते.
* P असत्य , Q सत्य असेल तर P--->Q सत्य असते.
*P &Q दोन्ही असत्य असतील तरीही P---->Q, सत्य असते.

आता आपण हे विधान घेऊया :
(अ) ज्याच्या P{हातात रेड्याचे दूध आहे} तो Q{वांझ मायबापांचा औरसपुत्र आहे}.
(शेती-गोठे यांच्याशी फार संबंध आजकाल येत नाही. म्हणून येथे स्पष्टीकरण देऊया - रेड्यांपासून दूध मिळत नाही. शिवाय "वांझ मायबाप" म्हणजे "औरस-अपत्य नसणारे" असेच लोक असतात. येथे P नित्य असत्य आहे आणि Q नित्य असत्य आहे.)
*P &Q दोन्ही असत्य असतील तरीही P---->Q, सत्य असते.
या गणिती मांडणीतून आपल्याला दिसते, की वरील विधान सत्य आहे.

थोडा अधिक विचार करता आपल्याला दिसते, की "ज्याच्या हातात रेड्याचे दूध आहे तो वांझ मायबापांचा औरसपुत्र आहे" अशा प्रकारचे वाक्य माहितीपूर्ण विधान म्हणून व्यवहारात वापरलेले आपल्याला फारसे ऐकू येत नाही. इतकेच काय :
(आ) "जर माणसाच्या हातात रेड्याचे दूध आहे तर माणूस माणूस आहे
(इ) "(आ) ज्याच्या हातात रेड्याचे दूध आहे तो गवळी आहे
अशी विधानेही व्यवहारात वापरलेले आपल्याला फारशी ऐकू येत नाही.

वरील गणिती मांडणीप्रमाणे बघूया :
(आ) P नित्य असत्य आहे आणि Q नित्य सत्य आहे. P---->Q, सत्य आहे.
(इ) P नित्य असत्य आहे आणि Q कधीकधी सत्य आहे. P---->Q, सत्य आहे.

- - -
दुसरे भाषांतर : "व्याप्ती"

(अ), (आ), (इ) ही विधाने माहितीशून्य आहेत, असे आपण व्यवहारात म्हणतो. आपल्याला असे दिसते, की गणिती मांडणीचा व्यवहारातील उपयोगाशी फारकत आहे. श्री. यनावाला यांनी दिलेल्या गणिती मांडणीत व्यवहारातल्या विधानाच्यापेक्षा काहीतरी कमी-अधिक माहिती आहे, असे दिसून येते. हे तर्कशास्त्राचा अभ्यास करताना आपणा सर्वांना शिकवतात ^१ .

अर्थात तर्कशास्त्राची चौकट एक्सियोमॅटिक मानली, तर त्याचा व्यवहाराशी काहीच संबंध नसला तरी चालतो. (म्हणजे आधी काही स्वयंसिद्ध विधाने "आक्सियम" मानायची. वेगवेगळ्या गणित-ऑपरेशनच्या व्याख्या सांगायच्या. ऍक्सियमे-ऑपरेशनांमधून थियरम-सिद्धांतांच्या सिद्धता मांडायच्या.)

तरी व्यवहाराशी अर्थी-अर्थी संबंध असलेल्या शास्त्राबद्दलही आपल्याला कुतूहल असू शकते. "जर-तर" वाक्यांचा व्यवहारात जो अर्थ असतो, त्या प्रकारे तर्कशास्त्रात त्याचे भाषांतर करणे शक्य आहे काय? गंमत म्हणजे सहज शक्य आहे, आणि असे भाषांतर झालेलेही आहे.

"जर-तर" विधानांना भारतीय तर्कशास्त्राच्या भाषेत "व्याप्ती"-विधाने म्हणतात.
"जर ठिकाणावर धूर आहे तर ठिकाणावर आग आहे" = "धुराचे ठिकाण संकल्पना आगीचे ठिकाण संकल्पनेने व्यापलेली आहे."
व्याप्तीच्या दोषांमध्ये (म्हणजे व्याप्ति-विधानाचे ट्रुथ-टेबल म्हणा ना) एक दोष आहे "अतिव्याप्ती" : उदाहरणार्थ "जर हवा धूसर तर आग" धूर-आग हे ठीक, पण धुके-आग-खोटे ही अतिरिक्त व्याप्ती सांगितली जाते, हा दोष आहे.
... यातून वरील ट्रूथ टेबल सांगितले जातेच. परंतु व्याप्तीचा "अप्रसिद्ध व्याप्ती" हा दोषसुद्धा सांगितला जातो. ^२
म्हणजे जर व्याप्तीमधील पूर्वपक्षाचे किंवा उत्तरपक्षाचे एकही उदाहरण सापडत नसेल, तर व्याप्तिविधान तर्कदुष्ट (ट्रुथ-टेबलात "फॉल्स") ठरते.
"हातात रेड्याचे दूध आहे" याचे उदाहरण मुळीच सापडत नाही. म्हणून वरील (अ), (आ), (इ) ही सर्व विधाने अप्रसिद्ध व्याप्तीच्या दोषाने ग्रस्त आहेत. म्हणून तर्कदुष्ट आहेत. असे स्पष्टीकरण आपल्याला मिळते.

आता "जर-तर" या व्यवहारातल्या शब्दप्रयोगाचे आपल्याला सुयोग्य तार्किक विश्लेषण मिळालेले आहे. अतिशय सोयीस्कर आणि उपयोगी चिह्नित-तर्कशास्त्रात आपण हे कसे म्हणू शकू?
P->Q ऐवजी आपण व्यवहारातील या संबंधासाठी एक नवे चिह्न देऊया
P>जरतर>Q असे चिह्न देऊया.

P->Q =
{(P आणि Q) किंवा (P-नाही आणि Q) किंवा (P-नाही आणि Q-नाही)}

P>जरतर>Q =
{(P आणि Q) किंवा (P-नाही आणि Q) किंवा (P-नाही आणि Q-नाही)} आणि {∃(P)} आणि {∃(Q)}

∃(P) म्हणजे "एकतरी P आहे"
- - -
सारांश / चर्चाप्रस्ताव :
"जर-तर" शब्दप्रयोगाचा वरील P>जरतर>Q अर्थ लावला, तर चिह्न-तर्कशास्त्रातली गणिते व्यवहारातील विधानांना लावता येतात. "जर-तर" शब्दप्रयोगाचा P->Q अर्थ लावला तर व्यावहारिक उपयोगाची गणिताशी तफावत येते. अर्थात या तफावतीने मनोरंजन होऊ शकते, ते मस्तच असते. मात्र ही तफावत जाणणे प्रत्यक्ष उपयोगाचे नसते, याबद्दल नजर ढळू नये.

- - -
संदर्भ :
१ (बूलियन तर्कशास्त्राचे पाठ्यपुस्तक सध्या माझ्याकडे नाही. मात्र व्यवहारातल्या if-then विधानांत ∃() अवयव अध्याहृत असतात, ही चर्चा वाचल्याचे आठवते.)
२ "अप्रसिद्ध्याव्याप्ति"= nonpervasion because one of the terms is unexampled. (स्रोत : David Ingalls: Materials for the Study of Navya-Nyaya Logic, पुनर्मुद्रण-प्रकाशक मोतीलाल बनारसीदास, १९८८, पृष्ठ ८१. मूळ प्रकाशन हार्वर्ड ओरिएंटल सीरीज १९५१)