नुकतेच 'द इक्वेशन दॅट कुडन्ट बी सॉल्व्ड' हे मारिओ लिविओ यांचे पुस्तक पाहिले. गणितातील विशेषतः ग्रुप थियरीतील तपशील फारसा न वाचल्यामुळे हे पुस्तक वाचले असे म्हणता येणार नाही. याच दरम्यान 'द ओपन युनिवर्स' हे पॉपरचे पुस्तक वाचत होतो. धनंजयांनी अनुवादित केलेल्या रसेलच्या 'कारण' विषयक निबंधानंतर हे पुस्तक (पॉपरचे) वाचण्याची उत्सुकता होती. मात्र त्याविषयी पुन्हा कधीतरी.

या पुस्तकाचा विषय आहे मुख्य विषय आहे बीजगणीत. मला यातले जे भावले ते म्हणजे त्यातील इतिहासाचा भाग. आणि विशेषतः एबल (Niels Henrik Abel) आणि गॅलोईस (Galois) (उच्चार शब्दकोशातून ताडून घेतलेला नाही.) या दोघांच्या कथा. आपल्या शाळेतल्या बीजगणितात सहसा दोन वा प्रसंगी तीन माहित नसलेल्या संख्यांचे गणित (अननोन्स) आणि द्विघाती (क्वाड्रॅटीक) समीकरणे सोडवतो. त्रिघाती (क्युबिक) समीकरण कसे सोडवावे हे मी एका पुस्तकात वाचले होते. त्यानंतरचे म्हणजे अधिक उच्चघातीय समीकरणांचे काय होते हे मला माहित नव्हते. हल्लीच्या संगणकतंत्राने व न्युमरिकल पद्धतीने अशी समीकरणे पटापट सोडवता येतात. पण त्यांचे उत्तर जसे न्युमरिकल (अंकगणितीय?) पद्धतीने काढले असल्याने उत्तर क्लोजडफॉर्म (समीकरणात्मक? ) येत नाही.

कथा आहे ह्या हायर ऑर्डर समीकरणांची.

त्रिघाती समीकरणे

पंधराव्या शतका पर्यंत त्रिघाती समीकरण कोणी फारसे सोडवू शकत नव्हता. म्हणजे अगदी साधी त्रिघाती समीकरणे सुटत होती (क्ष^३ =२७ ). पण सर्व त्रिघाती समीकरणे सोडवण्याचा मार्ग माहित नव्हता. Luca Pacioli या गणिततज्ञाने (१४९४) असे लिहून ठेवले होते की अजून कोणाला ही समीकरणे सुटली नाहीत. Sciopione dal Ferro ने त्यानंतर काही वर्षात अ क्ष^३+ ब क्ष + क =० हे समीकरण कसे सोडवायचे हे शोधून काढले. मात्र गंमत अशी (असे त्यावेळी बरेचदा घडत होते.) की त्याने आपला हा शोध गुपित म्हणून राखला. पुढे त्याच्या मृत्युनंतर काही वर्षांनी ते संशोधन Maria Fiore याच्याकडे आली. Niccolo (निकोलो) Tartaglia हा याचा समकालीन. निकोलोने १५३० साली अशी समीकरणे कशी सोडवायची याची पद्धत काढली. आणि गंमत म्हणजे त्यानेही हा शोध गुप्त ठेवला. निकोलो हा अत्यंत गरीब घरातून आला होता. त्यामुळे त्याने स्वयंशिक्षण करत मोठी मजल मारली. हळू हळू बातमी पसरली की निकोलोने काही त्रिघाती समीकरण सोडवलीत. ही बातमी Maria Fiore पर्यंत पोचली ज्याच्याकडे वरील पद्धतीचे समीकरण कसे सोडवायचे याची माहिती होती. निकोलोच्या कमी शिक्षणामुळे तो बढाया मारतो असे Fiore ला वाटले. मग काय झाले की त्याने असे ठरवले की निकोलेला आव्हान द्यायचे. दोघात असे ठरले की प्रत्येकाने दुसर्‍याला ३० गणिते द्यायची. जो आधी सोडवेल तो जिंकला. आसपासचे गणिती बघे म्हणून सामिल झाले. १२ फेब्रु. १५३५ मधे हा सामना झाला. निकोलेने ३० वेगवेगळे प्रश्न काढून दिले होते. तर Fioreने तीसच्या तीस प्रश्न त्रिघाती समीकरणावर (फेरो ने सोडवलेल्या पद्धतीचे) काढले होते. झाले असे की निकोलोने ते सर्व दोन तासात सोडवून टाकले. आणि Fiore त्या दरम्यान काहीच करू शकला नाही ! हे सर्व घडूनही निकोलोने आपली पद्धत जाहीर केली नाही.

पुस्तकात यापुढची कथा आहे. पण ती जरा जास्त होईल म्हणून देत नाही. निकोलोने आपली पद्धत एकास सांगितली पण अट घातली की ती गुप्त ठेवायला हवी पण नंतर ती वेगळ्या मार्गाने प्रकाशात आली. असे करत करत त्रिघाती समीकरणे सोडवण्याची रीत सापडली. आता लक्ष लागले लोकांचे त्याहून जास्त मोठी समीकरणे सोडवायची.

ऍबलः

आता आपण एकोणिसव्या शतकाकडे वळू या. ऍबलचा जन्म १८०२ सालचा नॉर्वेतला. वडील पाद्री परिस्थिती साधारण. नॉर्वे हे देखील गणिताविषयी फारसे प्रगत नव्हते. १८१६-१७ पर्यंत ऍबल शाळेतल्या शिक्षणात यथातथाच होता. त्यांचे गणिताचे मास्तर हे मारकुटे असावे. वर्गातील एका विद्यार्थ्याचा त्यांनी मारल्यामुळे मृत्यु झाला असा आरोप त्यांच्यावर आला आणि त्यांची नोकरी गेली. मारकुटे मास्तरांच्या ऐवजी जे दुसरे गणित शिक्षक आले त्यांनी मात्र ऍबलचे पाणी जोखले. १८१९ साली त्याची गणिताची प्रगती जिनियस स्वरुपापर्यंत येऊन पोचली. शाळेच्या शेवटच्या वर्षी ऍबल ला वाटले की त्याने पाचव्याघाताचे (Quintic) समीकरण सोडवले. वर्गशिक्षकांना त्याने ते दाखवले त्यांना आणि अजून काही जणांना त्यात काही चूक आढळले नाही. मग ते एका गणितज्ञाकडे पाठवले. त्याने केलेल्या सूचनेनुसार शोध घेतल्यावर ऍबलला आपली चुक उमजली. यादरम्यान वडीलांवर बालंट आले आणि १८२० सली त्यांचा मृत्यु झाला. ऍबलची परिस्थिती अधिक खालावली.

या पूर्वी अशा समीकरणाचे उत्तर शोधण्याचे खूप असफल प्रयत्न झाले होते. पण ऍबलच्या ते गावी नसल्यासारखे तो त्यामागे होता. १८२३ मधे वयाच्या एकविसाव्या वर्षी तो हे सिद्ध करू शकला की 'पंचमघातीय समीकरणाचे सूत्र सापडणे अशक्य आहे.' आता पर्यंतच्या पूर्वीच्या प्रयत्नात असे काही सिद्ध झाले नव्हते. आणि असे सिद्ध झाल्यावर त्यामागे लागणे हे मुर्खपणाचे झाले असते. या दोन्ही कारणांनी 'अशक्यतेची सिद्धता' ही मोठी मोलाची होती. त्याचे शिकवणारे प्राध्यापकपण त्यावर खुश होते. मात्र अशा संशोधनाची खरी किंमत पॅरीसमधेच कळली असती. नॉर्वे सरकारने नॉर्वे ते पॅरीस प्रवासखर्चासाठी ऍबलची तरतूद केली. आपले सत्तावन पानांची सिद्धता घेऊन ऍबल पॅरिसला आला. (१८२६). फ्रेंच ऍकडमी ऑफ सायन्सला त्याने आपला निबंध सादर केला. फोरियर त्यावेळी संस्था सचीव होता त्याने कॉची आणि लिजेन्ड्रे (ही तिनही नावे गणितात आज येत असतात.) या दोघांना तपासायला दिला. ऍबलला खूप आशा होती. पण कॉचीने आपल्या अहंतेच्या धुंदीत होता तर लिजेंड्रे त्यावेळी ७४ वर्षाचा होता. पुढे असे झाले की कॉचीने ते कागद हरवले. लिजेंड्रे म्हणाला की ते हस्ताक्षर चांगले नाही म्हणून वाचू शकलो नाही. १८२७ साली निष्कांचन अवस्थेत ऍबल परतला. १८२९ साली त्याचा आजारात आणि हलाकीत मृत्यु झाला. याच सुमारास जॅकोबीने (अजून एक माहितीचे नाव) या संशोधनाची खूप तारिफ केली. १८३० साली फ्रेंच ऍकडमीने त्याला मरणोत्तर पारितोषिक दिले.

आता २००२ साली नॉर्वेजीयन सरकारने गणितात संशोधन करणार्‍यांसाठी नोबेल तोडीचे ऍबल प्राइज देण्याचे ठरवले आहे.

गॅलोइस

गेलोईस हा १८११ साली फ्रांसमधे जन्मला. घरची सुस्थिती होती. पण हा मुलगा (मृत्यु १८३१) विद्रोही विचारांचा (उदारमतवादी). याच्या आयुष्याच्या दरम्यान फ्रांस मधे खूप उलाढाली झाल्या त्याचा तो शिकार झाला. ऍबलप्रमाणे शाळेत असताना यानेही पंचघातीय समीकरणांची उत्तरांचा शोध घेतला. त्यालाही वाटले की आपण हे समीकरण सोडवले. ऍबल प्रमाणे त्यालाही कळले की त्याचे काय चुकले होते. गणितात त्याची इतकी रुची होती की इतर विषय त्याला आवडायचे नाहीत. इतके की नापास व्हायची पाळी. कॉलेजला जाण्यासाठी त्याने एंट्रंस टेस्ट दिली त्यात तो नापास झाला. कसाबसा दुय्यम दर्जाच्या कॉलेजमधे प्रवेश मिळाला.

१८२९ साली त्याने असे सिद्ध केले की त्रिघातापूढील कुठलेच समीकरण सूत्रमय रितीने सोडवणे अशक्य आहे. ऍबलच्या फक्त पंचघातीय समीकरणाच्या असिद्धतेपेक्षा ही एक मोठी उडी आहे. आणि हे सिद्ध करण्यासाठी त्याने ज्या पद्धतीचा वापर केला ती पद्धत त्यावेळी खूप नवीन होती (गुप थियरी). त्याचा निबंध कॉचीकडेच आला. आणि काही दिवसांनी कॉचीने कळवले की यावर तो रिपोर्ट देणार होता पण तो नंतर कधीतरी देईल. त्यानंतर गेलोइसने तो निबंध परत लिहून पाठवला. तो निबंध फोरियर आपल्या घरी घेऊन गेला आणि काही दिवसात त्याचा मृत्यु झाला. या गडबडीत गॅलोईसचा निबंध कुठेतरी हरवला.

याच दरम्यान फ्रांस मधे सत्तापालट होत होती. या राजकीय उलाढालीत व आपल्या राजकीय चळवळींमुळे गॅलोईसला दोनदा अटक झाली एकदा सहा महिन्यांची शिक्षा झाली. त्यानंतर एकाशी केलेल्या द्वंद्वयुद्धात तो जखमी झाला आणि मरण पावला. त्याच्या राजकीय चळवळींमुळे तो थोडा लोकप्रिय होता. मात्र त्याच्या गणिती शोधांची अजून दखल घेतली नव्हती. त्याचा भाऊ आणि मित्र यांनी प्रयत्नपूर्वक त्याचे कागद एकत्र केले. १८४३ साली त्यांच्या प्रयत्नांना यश लाभले. फ्रेंच ऍकॅडमीत त्याच्या निबंधाचा चांगला उल्लेख केला. १८५६ मधे त्याने सुरु केलेल्या पद्धतीचा गणिताच्या शिक्षणात वापर केला जाऊ लागला.

----

दोन कारुण्यमय जीवने वाचून त्यावर लिहावेसे वाटले. म्हणून एवढे.

प्रमोद