उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
सिद्ध करा
यनावाला
August 30, 2007 - 4:43 pm
(अ,ब,क) या तीन वास्तव संख्या (रियल नंबर्स) असून त्यांची बेरीज तीन (३) आहे.
{(अ+ब+क)}=३} .तर :
१.सिद्ध करा की (अब+बक+कअ) ही बेरीज साडेचार पेक्षा कमी आहे.
२. सिद्ध करा की (अब+बक+कअ) ही बेरीज ३ अथवा त्याहून (३ हून) कमी आहे.
(इथे अब=अ गुणिले ब इ.)
यांतील १. सिद्ध करणे सोपे आहे. २. अवघड आहे. पण २. सिद्ध झाले तर १. वेगळे सिद्ध करायला नकोच.
दुवे:
Comments
वास्तव संख्या
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
हो.( अ,ब, क ) यांतील कोणतीही संख्या धन अथवा ऋण असू शकेल.
सिद्ध
भाग १. सांगितल्याप्रमाणे खूपच सोपा आहे.
(अ^२ + ब^२ + क^२) + २(अब+बक+कअ) = (अ+ब+क)^२
(अ^२ + ब^२ + क^२) + २(अब+बक+कअ) = ९
२(अब+बक+कअ) = ९ - (अ^२ + ब^२ + क^२)
पण (अ^२ + ब^२ + क^२) > ० (कारण अ, ब, क तीनही ० नाहीत, एकतरी ० पेक्षा वेगळी आहे)
म्हणजे :
२(अब+बक+कअ) < ९
(अब+बक+कअ) < ४.५
भाग २ : शॉर्टकट
मी म्हणतो "बाय सिमेट्री" अ=ब=क=१ असे असता
(अ^२ + ब^२ + क^२) ही संख्या सर्वाधिक (मॅक्सिमम) असेल किंवा सर्वात कमी (मिनिमम) असेल, नाहीतर (अ^२ + ब^२ + क^२) ही कधीच न बदलणारी (कॉन्स्टंट) असेल.
कधीच न बदलणारी (कॉन्स्टंट) नाही
सर्वात अधिक (मॅक्सिमम) नाही, म्हणून सर्वात कमी (मिनिमम)
म्हणजे (अ^२ + ब^२ + क^२) >=३
पुन्हा :
(अ^२ + ब^२ + क^२) + २(अब+बक+कअ) = (अ+ब+क)^२
(अ^२ + ब^२ + क^२) + २(अब+बक+कअ) = ९
२(अब+बक+कअ) - ९ = -(अ^२ + ब^२ + क^२)
२(अब+बक+कअ) - ९ <= -३
(अब+बक+कअ) <= ३
शॉर्टकट नाही चालत म्हणता?
लांब रस्ता :
जेथे (अ^२ + ब^२ + क^२) सर्वात कमी (मिनिमम) आहे, असे एक तरी मिनिमम ठिकाण आहे ते उघडच आहे.
त्यापैकी कुठल्याही मिनिमम ठिकाणी क चे जे मूल्य आहे ते स्थिर (कॉन्स्टंट) धरा.
अशा परिस्थितीत (अ^२ + ब^२) हे सर्वात कमी (मिनिमम) असणार
ब = (३ - क) - अ
f(अ) = (अ^२ + ब^२) = अ^२ +{(३-क) - अ}^२ =
= २(अ)^२ - २(अ)(३-क) + (३-क)^२
कलन (कॅल्क्युलस)ने
f'(अ) = ; जिथे f'(अ) = ० = ४(अ) - २(३ - क) ;
अ = (३ - क) - अ ; अ = ब
f''(अ) = ४ (धनसंख्या म्हणजे मिनिमम, ताळा लागला)
अशाच प्रकारे एक एक स्थिर ठेवून
ब = क ; अ = क
अर्थात जिथे (अ^२ + ब^२ + क^२) सर्वात कमी (मिनिमम), तिथे
अ = ब = क = १
(अ^२ + ब^२ + क^२) = १+१+१ = ३ ही सर्वात कमी (मिनिमम) संख्या
म्हणजे (अ^२ + ब^२ + क^२) >=३
पुन्हा :
(अ^२ + ब^२ + क^२) + २(अब+बक+कअ) = (अ+ब+क)^२
(अ^२ + ब^२ + क^२) + २(अब+बक+कअ) = ९
२(अब+बक+कअ) - ९ = -(अ^२ + ब^२ + क^२)
२(अब+बक+कअ) - ९ <= -३
(अब+बक+कअ) <= ३
गणितानुभव
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.धनंजय यांनी लिहिलेल्या दोन सिद्धता वाचून थक्क झालो.अचंबित झालो. ते लिहितात :
"मी म्हणतो "बाय सिमेट्री" अ=ब=क=१ असे असता
(अ^२ + ब^२ + क^२) ही संख्या सर्वाधिक (मॅक्सिमम) असेल किंवा सर्वात कमी (मिनिमम) असेल.
असे धाडसी विधान हे त्यांच्या गणितविषयाबद्दलच्या आत्मविश्वासाचे द्योतक आहे.
...दुसर्‍या पद्धतीत त्यांनी कॅलक्युलस मधील "मॅक्झिमा-मिनिमा" संकल्पनेचे अचूक उपयोजन केले आहे.ते पाहून वाटते की आम्ही गणित शिकलो तर श्री. धनंजय यांनी गणित जाणले.त्यांना गणिताचे ज्ञान झाले .'ज्ञान होणे' याच्या पुढची पायरी 'अनुभवणे' अशी ' असते काय? तसे असेल तर धनंजय यांनी गणित अनुभवले असे म्हणावे लागेल. ज्ञानेश्वरी विषयी संत नामदेव यांनी म्हटले आहे :"नामा म्हणे ग्रंथ श्रेष्ठ ज्ञानदेवी | एकतरी ओवी | अनुभवावी ||"
यात 'अनुभवणे' म्हणजे काय? ते बुद्धीच्या कोणत्या पातळीवर होते? काही समजत नाही.( असो. ज्याचा त्याचा परीघ असतो.)
.....तिकडे संस्कृत,व्याकरण, मराठी भाषा या विषयांत श्री. धनंजय यांची अप्रतिहत बुद्धी उंच भरार्‍या घेत आहे. असे हे धनंजय आहेत तरी कोण ? ते कोणीही असोत त्यांच्या या ज्ञानापुढे नतमस्तक होणे हेच उत्तम.
मिनिमम....
श्री. धनंजयजी,
सुंदरच..!!!
मला सर्वांत जास्त आवडलेले निरिक्षण म्हणजे...
"एक तरी मिनिमम ठिकाण आहे ते उघडच आहे." :-) ... हे पाहणे सोपे नाही...
लय भारी...!!!
- चिंटू
अतिशय सोपे
प्रारंभी अवघड वाटलेला प्रश्न धनंजयांनी अगदी सोपा करून टाकला. मी सोडवायला याच धर्तीवर सुरुवात केली होती, परंतु सिद्धता पूर्ण करता आली नाही. --वाचक्नवी
सिद्ध करा
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.धनंजय यांचे उत्तर वाचल्यावर वेगळी रीत लिहिणे प्रशस्त वातत नाही. पण मूळ प्रश्न माझा असल्याने उत्तर दायित्व पार पाडायला हवे.
.......................................................................................................................
(अ+ब+क)= ३
म्ह. अ^२ +ब^२ +क^२ +२(अब+बक+कअ)= ९
म्ह्. २(अब+बक+कअ) = ९ - (अ^२+ब^२ +क^२).........(|)
समजा : अ= ( म+१), ब= (न+१), क= (प+१)
.....म्ह. अ+ब+क=३= (म+न+प) +३....म्ह. (म+न+प)=०
वरील (|) च्या उ. बा.ला (अ,ब,क) च्या किंमती घालून,
२(अब+बक+कअ) = ९-[(म+१)^२ + (न+१)^२ +(प+१) ^२]
.........,,....... =९-[(म्^२+न^२ +प^२)+२(म+ न+प) +३]
.........,,........=९-३ -(म^२+न^२+प^२)........ कांकी (म+न +प) =०
..........,,........=६ -(म^२+न^२+प^२)
म्ह. (अब+बक+कअ)=३-(म^२+न^२+प^२)/२
आता, म, न, प वास्तव संख्या. म्ह. (म^२+न^२+प^२ ) ची किंमत ० अथवा त्याहून अधिक.म्ह.उ.बा=३ किवा त्याहून कमी.
म्हणून (अब+बक+क अ)=३ किंवा त्याहून कमी. सिद्ध.
जास्त आवडली
ही पद्धत कलनशास्त्राचा उपयोग न करता, बीजगणितानेच सगळे सिद्ध करते. त्यामुळे सुटसुटीत आणि "एलेगंट" वाटली. आवडली.
यनावाल्यांची रीत
श्री. यनावाल्यांची रीत श्री. धनंजयांच्या लांबच्या रीतीपक्षा जास्त सोपी आहे. हीसुद्धा आवडली. यनावाल्यांनी धनंजयांबद्दल अगदी आमच्या मनातले लिहिले आहे. --वाचक्नवी
खरंय
यनावाल्यांनी धनंजयांबद्दल अगदी आमच्या मनातले लिहिले आहे
एकदम खरंय
हा प्रश्न आणि उत्तरे उशिराच वाचली !!