"क मजली इमारत आणि ख घड्याळे फोडून क्ष शोधण्यासाठी काय सामान्यीकृत पद्धत वापरावी?" हे विधान "इमारत क मजली असल्यास ख घड्याळे फोडून क्ष शोधण्यासाठी काय सामान्यीकृत पद्धत वापरावी?" असे वाचावे.
'घड्याळ फेकणे' याऐवजी कोड्यात 'घड्याळ सोडणे/टाकणे/पडणे' असे वाचावे.
तीन व्य.नि. आले तरी किमान दोन दिवस उत्तर प्रसिद्ध करणार नाही.
अवांतर प्रश्नाला अनेक उत्तरे शक्य आहेत. त्यांत गांभीर्यापेक्षा कल्पकता महत्वाची आहे.

प्रयोग करण्यापूर्वी "प्रत्येक मजला फुटण्याची सीमा असण्याची संभवनीयता प्रयोगाशिवाय समसमान मानावी" असे गृहीतक घेतले पाहिजे ना? (गृहीत संभवनीयता काही विवक्षित घेतल्याशिवाय कोडे सोडवता येणार नाही, असे वाटते. आणि ती पूर्वगृहीत संभवनीयता प्रत्येक मजल्यासाठी समसमान आहे, अशी काहीशी कोड्याची भाषा वाटते आहे.
स्पष्ट असावे, म्हणून प्रश्न विचारून घेतला.

धनंजय, धक्का, विशाल.तेलंग्रे, स्मिता१, चंद्रशेखर, राजेशघासकडवी, का, यनावाला यांनी उत्तरे कळविली आहेत.
धक्का, विशाल.तेलंग्रे, राजेशघासकडवी, का यांची उत्तरे मला अपेक्षित उत्तरासारखी आहेत.
--
दोनच घड्याळे फोडून किमान प्रयत्नांमध्ये क्ष हा मजला शोधण्यासाठी कमाल किती प्रयत्न लागतील?
उत्तर
१३ (१४ हे उत्तरसुद्धा स्वीकारार्ह आहे कारण ते डायमेन्शली समानच (वर्गमूळसदृष) आहे.)
पद्धत
१४, २७, ३९, ५०, ६०, ६९, ७७, ८४, ९०, ९५, ९९ या मजल्यांवरून पहिले घड्याळ टाकावे. ज्या मजल्यावरून टाकल्यावर ते फुटेल त्याच्या आधीच्या संख्येपेक्षा दोन अधिक क्रमांकाच्या मजल्यावरून दुसरे घड्याळ टाकण्यास सुरुवात करावी. म्हणजे, ५० व्या मजल्यावरून पहिले घड्याळ फुटले तर दुसरे ४१, ४२, ४३, ... , ४९ या मजल्यांवरून टाकावे.
सहभागी झालेल्या सर्वांचे आभार. सर्वांना विनंती आहे की उत्तरांविषयी चर्चा सुरू करावी. विशेषतः, २ ऐवजी ख घड्याळे फोडण्याची अनुमती देणार्‍या सामान्यीकरणासाठीच्या नियमाचे नेमके स्वरूप मी तपासलेले नाही. कृपया सामान्यीकृत कोड्याच्या सूत्राविषयी मते मांडावीत.
या प्रतिसादात पुन्हा बदल करण्याची आवश्यकता उद्भवणार नाही असे वाटते.

घड्याळ फुटण्या ऐवजी बंद पडेल (नाहीतर घड्याळ कशाला हवे?) आणि मेकॅनिकल घड्याळ असेल तर.
या प्रयोगात सोडतानाची वेळ आणि बंद पडल्याची वेळ मोजली तर कितवा मजला हे पायर्‍या न मोजता काढता येते.

प्रमोद

शंका:

१. फेकण्यासाठी केवळ दोनच घड्याळे दिली आहेत काय, म्हणजे जर उत्तर शोधण्याआधीच ती दोन्ही फुटली तर मला आपल्याकडे उपलब्ध असलेल्या अनेक घड्याळांपैकी आणखी घड्याळे प्रयोगासाठी मिळणार नाहीत का?

२. १०० मजल्यांपैकी 'क्ष'वा मजला शोधणे आहे का?

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
(श्री. रिकामटेकडा यांची संमती गृहीत धरून)
.
*दोनच घड्याळे घेऊन योग्य पद्धतीने क्ष मजला शोधताना केवळ एकच घड्याळ फुटले तर
क्ष=?
* वरील प्रमाणे शोध घेताना एकही घड्याळ फोडावे लागले नाही तर क्ष=?
*दोन घड्याळांची अट न मानता कितीही घड्याळे फोडून किमान प्रयत्नांमध्ये क्ष हा मजला शोधण्यासाठी कमाल किती प्रयत्न लागतील? फुटणार्‍या घड्याळांची कमाल संख्या किती असेल?
( इमारतीचे वरचे चार मजले हे अवैध बांधकाम आहे.ते पाडून टाकल्यास कोडे सोपे व्हावे.)

उत्तर पटले.

तपशील समजायचा प्रयत्न करत आहे :
**
३९व्या मजल्यावर घड्याळ फुटले नाही, ५०व्या मजल्यावर फुटले, आणि ४१व्या मजल्यावर फुटले, तर "क्ष"वा मजला कुठला - ४०वा की ४१वा?
**

दोन घड्याळांचे कोडे सोडवण्याची एक रीत दिसते. पहिल्या घडाळ्याचे टाकण्याचे प्रयोग ज्या मजल्यावरून सुरु करतो त्यानंतरच्या प्रयत्नात त्यापेक्षा एक कमीची वाढ करून पुढचा मजला गाठायचा (न, २न-१, ३न-३..) सध्या १४ उत्तरावरून ही चढण (फरकाच्या उतरंडीसकट) १०५ ला जाऊन ठेपते. उलटीकडून विचार केला तर न(न+१)/२ असा शेवटचा मजला होतो.
समजा ९१ मजले असते तर उत्तर १३ आले असते वगैरे.

आता तीन घड्याळांकडे जाऊ.

विचार असा की पहिले घड्याळ काही फोडण्यातून फुटले आहे. आता आपल्या समोर प्रश्न उरला आहे की क्ष मजल्यांची रांग शिल्लक आहे. तर दोन घड्याळांच्या मदतीन आपण पुढील उत्तर घेऊ शकतो.

उरलेले प्रयत्न १३ असतील तर क्ष ९१ चालेल (एकाची चुकी द्या घ्या)
१२ साठी ७८, ११ साठी ६६, १० साठी ५५, ९ साठी ४५

आता मला पहिल्या घड्याळाच्या प्रयत्नात किती गट करता येतील. पहिले घड्याळ एकदाच प्रयत्न करायचा असेल ५०वर प्रयत्न केल्यास दोन गट पडतात. २ दा प्रयत्न केल्यास ३४,६७ असे गट पडतात. ३ प्रयत्वांसाठी २७,५३,७८ असे भाग पडतात (आणि पुढे).

शेवटच्या ५५ मजल्यांसाठी दोन घड्याळांचे उत्तर १० + १ (पहिल्या घड्याळाचा एकच प्रयत्न)
शेवटच्या ३६ मजल्यांसाठी दोन घड्याळांचे उत्तर ८ +२ (पहिल्या घड्याळाचे दोन प्रयत्न)
शेवटच्या २८ मजल्यांसाठी दोन घड्याळांचे उत्तर ७ + ३
शेवटच्या शेवटच्या २१ मजल्यांसाठी ६ +४
शेवटच्या १५ मजल्यांसाठी ५ + ६ (हे बाद ठरते.)

म्हणजे ३ घड्याळांसाठीचे उत्तर १० होते.

यावरून ३ घड्याळांचे कोष्टक करून ४ घड्याळांचे गणित करता येईल.

प्रमोद

प्रमोद

उत्तर:
मला जास्तीत जास्त १४ प्रयत्न करावे लागतील, असे वाटते.

मी खालील गृहीतके धरून चाललो आहे:
१. माझ्याकडे दोन घड्याळे आहेत, अन् केवळ ती दोनच मी वापरु शकतो.
२. घड्याळ जोपर्यंत फुटत नाही, तोपर्यंत मी ते वापरत राहीन. ते फुटले तरच मी दुसरे घड्याळ वापरायला सुरुवात करेन.

उत्तर मिळवण्यासाठीची रीत:
समजा—मी इमारतीच्या असलेल्या खालून १४ व्या मजल्यावरुन पहिले घड्याळ फेकले आणि ते नाही फुटले तर मी तेथून आता आणखी १३ मजले वर चढेन म्हणजेच २७ व्या (१४+१३) मजल्यावरुन तेच पहिले घड्याळ पुन्हा फेकेल. समज ते येथेही नाही फुटले, तर मी आता तेथून आणखी १२ मजले वर चढेन म्हणजेच ३९ व्या (१४+१३+१२) मजल्यावरुन तेच पहिले घड्याळ पुन्हा फेकेल. आत्ता समजा जर ते घड्याळ ३९ व्या मजल्यावरुन फेकल्यानंतर फुटले, तर माझ्याकडे आणखी दुसरे एक घड्याळ आहे. त्याचा वापर करुन मी २७ ते ३९ पर्यंत 'खालून-वर' यानुसार घड्याळ फेकत येईन, जेथे ते फुटेल तोपर्यंतचे (दोन्ही) चेंडू फेकण्याचे एकूण सर्व प्रयत्न हे ० < क्ष ≤ १४ या मर्यादेत राहतील. याचा अर्थ १४ किंवा १४ पेक्षा कमी अशी या सर्वांची बेरीज असेल.

वरील पद्धत समजण्यासाठी एक उदाहरण घेऊ. समजा '३८ व्या' मजल्यापासून सर्व वरच्या मजल्यांवरुन घड्याळ फेकले की ते फुटते. तर हा ३८ वा मजला शोधण्यासाठी आपण वरील पद्धतीचा अवलंब करुयात.
१. मी १४ व्या मजल्यावरुन पहिले घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४=१४)
२. मी २७व्या मजल्यावरुन तेच पहिले घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३=२७)
३. मी ३९ व्या मजल्यावरुन तेच पहिले घड्याळ फेकले, यावेळी ते फुटले. (मजले १४+१३+१२=३९)
४. मी २८ व्या मजल्यावरुन आता दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१=२८)
५. मी २९ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१=२९)
६. मी ३० व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१=३०)
७. मी ३१ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१=३१)
८. मी ३२ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१=३२)
९. मी ३३ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१+१=३३)
१०. मी ३४ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१+१+१=३४)
११. मी ३५ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१+१+१+१=३५)
१२. मी ३६ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१+१+१+१+१=३६)
१३. मी ३७ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१+१+१+१+१+१=३७)
१४. मी ३८ व्या मजल्यावरुन आता तेच दुसरे घड्याळ फेकले, ते नाही फुटले. (मजले १४+१३+१+१+१+१+१+१+१+१+१+१+१=३८)

तर अशा प्रकारे ३८ वा मजला शोधण्यासाठी मला जास्तीत जास्त १४ वेळा घड्याळे फेकण्याची प्रक्रिया करावी लागेल. तसेच जर मला २ रा माळा हवा असेल तर ३ वेळा घड्याळे फेकावी लागतील. अशाच प्रकारे ९८ वा माळा शोधण्यासाठी १३ वेळा प्रयत्न करावे लागतील.

---

२ घड्याळांऐवजी जर 'फ' घड्याळे असतील, तर काय सूत्र वापरावे, यासाठी प्रयत्न करीत आहे. इतरांची उत्तरे जाणून घेण्यासाठी उत्सुक आहे.

समजा न मजले असतील तर दोन घड्यळांचे उत्तर असा कमीत कमी द आहे की
द(द+१)/२ > न हे आहे.

याला बदलले तर आणि ऍप्रॉक्सिमेट केले तर

द = वर्गमूळ (२न) होईल. ...... १

तिसर्‍या चौथ्या घड्याळाचे (वापरायचे मात्र दोघांच्या आधी) गणित हे साधारणपणे मोठ्या संख्येचे किती भाग करायचे असे असेल.

म्हणजे मजले न असतील तर दा प्रयत्नात तिसरे (चौथे वगैरे घड्याळ वापरले) दा भाग पडतील (हे देखील ऍप्रॉक्सिमेशन झाले.) आणि मजल्यांचा गट शिल्लक राहील तो न/दा.

असे धरून चालू की जेवढी घड्याळे जास्त तेवढे जास्त भाग (दोन पलिकडली हे अजून ऍप्रॉक्सिमेशन झाले)

म्हणजे न मजल्यासांठी २ घड्याळांना दि दी प्रयत्नात

ना (विभागलेले मजले) = न/(दिदी) ........ २

किंवा

ना (विभागलेले मजले, ख घड्याळांसाठी) = न/(दिदी....)

काही कारणाने (हंच वरून) असे धरले की दि,दी ... इत्यादीत वस्तुत: फरक नाही
तर हेच समी करण

ना = न/(दि घात ख) ............. ३

आता समीकरण १ मधे न ऐवजी वरील ना घातला तर

द = वर्गमूळ (२न/(दि घात ख) ) ..... ४

होईल.

प्रयत्नांची एकूण संख्या

द (वरील उत्तरातील) + ख(दि-१) असे राहील. यात द ४ पासून घातला तर

एकूण प्रयत्न = वर्गमूळ (२न/(दि घात ख) ) + ख(दि-१) ...... ५

(५ मधील चूक सुधारली.)
वरील समीकरणात दि सोडल्यास सर्व ज्ञात आहेत. म्हणजे मिनिमायजेशन सोपे आहे.

(पुढील गणित मी करत नाही.)

प्रमोद

ख ही संख्या खूप जास्त असेल तर काही मर्यादेनंतर लागणार्‍या प्रयत्नांची संख्या कमी होणार नाही.

पूर्वीच्या प्रतिसादातून (३) वरून

ना = न/(दि घात ख) ........ ६

जर ना २ राहिले तर एकाच प्रयत्नात पुढचे उत्तर काढता येईल. म्हणजे ना = २ घेऊन पुढे जायला हरकत नाही. (ख खूप जास्त असले तर.)

वरील समीकरण त्याप्रकारे मांडले आणि सुधारले तर.

दि = (न/२) घात (१/ख) ..... ७

आणि एकंदर प्रयत्न = ख(दि-१).

जर खदि कमीत कमी हवे असल्यास. दि २ हवा.

असे धरल्यास स ७ चा अर्थ असा होईल.

न = २ घात (ख-१) (चु.भु.द्या.घ्या.)

म्हणजे यावरचा ख निरुपयोगी आहे.

न १०० साठी ख ६ येईल. आणि जास्तित जास्त प्रयत्न ७ येतील.

(वरील प्रतिसादातील एक छोटी चूक सुधारून)

प्रमोद