राजेश घासकडवी आणि रिकामटेकडा यांच्या साहसी प्रयत्नांबद्दल अनेक आभार. परंतु दोन्ही सिद्धता अचूक नाहीत असे आता सिद्ध झाले आहे.

__________
रिकामटेकडा यांचे उत्तरही बरोबर आहे. राजेश व त्यांची पद्धत जरी निराळी असली तरी अंततः तर्क एकसारखाच आहे.

_____________
राजेश घासकडवी यांचे उत्तर बरोबर आहे. त्यांनी दिलेली सिद्धता अतिशय खुबीदार आहे.

रिकामटेकडा यांनी 'प्रुफ बाय काँट्रॅडिक्शन' पद्धत वापरलेली आहे. त्यांची सिद्धता समजावून घेण्यास थोडासा विलंब होत आहे.

________________
आत्तापर्यंत रिकामटेकडा आणि राजेश घासकडवी यांची उत्तरे आलेली आहेत. दोन्ही उत्तरांमध्ये वेगवेगळ्या पद्धती वापरलेल्या आहेत. उत्तरे समजावून घेत आहे.
_______________

गुगलवर शोध घेतल्यास कोड्याचे उत्तर सापडते, असे एक उपक्रमी कळवतात. तो पर्याय उपलब्ध असूनही न वापरता कोडे सोडवण्याचा प्रयत्न करावा ही विनंती. ज्या सदस्यांनी गुगलवर उत्तर शोधले आहे त्यांना तिथे दिलेल्या तीन उत्तरांऐवजी दुसरी पद्धत शोधून कोड्याचा आनंद घेता येईल.
_____
डोन्ट आस्क डोन्ट टेल

कोड्याचे उत्तर केव्हा द्यावे याविषयी विचार करतोय. कोडे सोडवणार्‍यांपैकी ज्यांना अधिक अवधी हवा असेल त्यांनी कृपया व्यनिने कळवावे. भारतीय प्रमाणवेळ दिनांक १४ डिसेंबर (मंगळवार) रात्री ११:३० पर्यंत अवधीसाठी निरोप न आल्यास उत्तर प्रसिद्ध केले जाईल.
______________________
हिंट?

२४ तासाहून अधिक वेळ होऊनही कोड्याचे एकही उत्तर आलेले नाही.

सोमवारी हिंट द्यावी असा विचार करतोय.

_____
डोन्ट आस्क डोन्ट टेल

छोटे आयत मोठ्या आयतांशी प्रपोर्शनल आहेत का? आणि सर्व छोटे आयत समान आकाराचे आहेत का?

नितिन थत्ते

कोड्यात विचारलेली सिद्धता इंडक्टिव रिजनिंग वापरून करून दाखव असे मला सांगण्यात आले होते. इंडक्टिव नसलेले उत्तरही कोड्याबरोबरच होते. मी तशी सिद्धता अजुनही देऊ शकलेलो नाही पण प्रयत्न सुरू आहेत.

राजेश घासकडवी यांचे उत्तर
मोठ्या आयताचं एक टोक घ्या. (समजा डावीकडचं खालचं) तिथे एका छोट्या आयताचं टोक असेल. त्याची एक बाजू पूर्णांकात असेल. समजा डावी उभी बाजू. त्या बाजूने वरपर्यंत जा. जिथे असाल तिथून खालचा संपूर्ण आयत कापून टाका. (ती जर खालची आडवी बाजू असेल तर उजवीकडे जा व डावीकडचा संपूर्ण आयत कापून टाका) आता तुम्ही पुन्हा नवीन मोठ्या आयताच्या डावीकडच्या खालच्याच टोकावर असाल. पुन्हा हीच प्रक्रिया करा. असं करत गेलात तर शेवटी राहाणाऱ्या आयत हा मूळ आयताच्या वरच्या उजव्या कोपऱ्यातला आयत असेल किंवा त्याचा पूर्णांकात एक बाजू कापलेला भाग असेल. अर्थातच उरलेल्या आयताची एक बाजू पूर्णांकात असेल. तेव्हा तुम्ही मूळ आयताच्या दोन्ही बाजूंतून फक्त पूर्णांक वजा केल्यामुळे एक बाजू तरी पूर्णांकात आहे हे सिद्ध होतं.

रिकामटेकडा यांचे उत्तर
दोन्ही बाजू अपूर्णांक असलेला मोठा आयत असतो असे गृहीत धरू. त्यातील सर्व आयतांच्या पूर्णांक बाजूंना एक-एक एकक अंतरावर कापून १ जाडीच्या झिरमिळ्या बनवू. आता कोणत्याही एका कोपर्‍यातील झिरमिळी काढून टाकू. त्या आयताची एक संपूर्ण बाजूभर तिची लांबी असेल तर प्रश्नच नाही. नसेल तर, तिच्यापुढे, मोठ्या आयताची लांबी बनविणार्‍या काही समांतर झिरमिळ्या असतील तर काही लंबरूप. तिच्या 'पुढे असलेल्या' सर्व समांतर झिरमिळ्या काढून टाकू. लंब झिरमिळ्यांतून १x१ आकाराचे चौरस कातरू. अशा प्रकारे मूळ आयतातून आपण १ जाडीची एक पट्टी कातरली आहे. मूळ आयतातील प्रत्येक आयताची एक बाजू पूर्णांक असेल तर नव्या आयतातील प्रत्येक आयताची एक बाजू पूर्णांक असेलच (कारण तोही केवळ मूळ आयतातून उरलेल्या झिरमिळ्यांचाच बनला आहे) आणि जुन्या आयतातून पूर्णांक जाडी कातरलेली असल्यामुळे नवा आयतही अपूर्णांकxअपूर्णांक असाच असेल. परंतु त्यात किमान एक झिरमिळी कमी आहे. असे करताकरता आयतातून एकएक झिरमिळी कातरता येईल आणि शेवटी एकच झिरमिळी उरेल. परंतु असा आयत अपूर्णांकxअपूर्णांक असणे शक्यच नाही (कारण झिरमिळीची जाडी पूर्णांक आहे). QED.

दुवा*
या दुव्यावर कोड्याची तीन उत्तरे आहेत.

*उपक्रमी रिकामटेकडा यांचे दुव्याबद्दल आभार.

_____
डोन्ट आस्क डोन्ट टेल

पैकी दुसरी सिद्धता झिरमिळ्या कापणारी आहे. परंतु एका एककाच्या नव्हे, तर ०.५ एककाच्या झिरमिळ्या कापल्या जात आहेत! अतिशय सुंदर.

हे कोडे क्षेत्रफळाच्या हिशोबानेच सुटणारे आहे, अशी माझी आधीची अटकळ मी सांगून टाकतो. (त्या अटकळीनंतर सिद्धता केली नाही, म्हणजे काय? अटकळ बापुडी केवळ वारा.) पण क्षेत्रफळाचे सांख्यिक वैशिष्ट्य काय हे मला समजत नव्हते. पुस्तकातील दुसर्‍या सिद्धतेने ती गोम ओळखली. मोठी डौलदार सिद्धता आहे!

आणि माझी आदली चूक दुरुस्त करतो : रॅशनल-इर्रॅशनल-आयत हे या पूर्णांक कोड्याचे विशेष आणि मर्यादित रूप आहे. कोडे पूर्णांकाच्या हिशोबातच अधिक व्यापक आणि विलोभनीय आहे.

माझी सिद्धता चुकली आहे अशी अधूनमधून शंका येत होती. विशेषतः कोपरा तोच ठेवणं हे अधिकच मर्यादा घालणारं आहे. त्यात आयत कापून टाकला की उरलेल्या सर्व आयतांना अपूर्णांक - पूर्णांक बाजू असतील हे सिद्ध करावं लागेल. किंबहुना तसं होणार नाही याची काही उदाहरणं कल्पना करता येतात.

मी अजून दुव्यावर जाऊन उत्तरं बघितली नाहीत, माझं उत्तर अपूर्ण आहे याची खात्री पटली आहे. पण हाच प्रश्न रिकामटेकडा यांच्या सिद्धतेबद्दल देखील विचारता येतो. आख्खा आयत कापला काय आणि झिरमिळ्या कापल्या काय -दोन्ही पद्धती एकच तत्व वापरतात. (पूर्णांकाऐवजी प्रत्येक छोट्या आयताची एक बाजू १ लांबीची आहे असं म्हटलं तरी कोड्यात फारसा फरक पडत नाही. त्या स्पेशल केसला रिटेंची व माझी पद्धत समान होते) एका रेषेतल्या आयतांच्या एककाच्या झिरमिळ्या कायमच ओव्हरलॅप होतील असं नाही. अशी वेळ येऊ शकेल की आडवी झिरमिळी कापता येणार नाही कारण उभ्या 'रेषे'तल्या आयतांची उंची एकपेक्षा कमी अपूर्णांकाची असू शकेल. जाड स्वस्तिक सामावून घेणाऱ्या आयताची (खरं तर चौरसाची) कल्पना करा. मधले रिकामे चौकोन ५ बाय ५ चे आहेत. अगदी मधला चौरस १ बाय १ चा आहे. स्वस्तिकाच्या कोपऱ्यातले चार हातांचे आयत ५ बाय ०.५ आहेत. मग सलग झिरमिळी कशी कापणार? मुळात अशा झिरमिळ्या कापताना मोठ्या आयताची लांबी (वा रुंदी) स्पॅन करणारी (सलग नसली तरी चालेल) अशी झिरमिळी शोधता येते हे सिद्ध करायला हवं.

राजेश

द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी

हा प्रतिसाद "का" यांना आहे. तिरक्या प्रतिसादात चित्र मावणार नाही, म्हणून वेगळा प्रतिसाद लिहिला आहे. येथे चित्र बघावे :

aaa

राखेच्या रंगाचा मोठा आयत आहे. विशेष लक्ष कातरल्या जाणार्‍या पट्टीकडे द्यायचे आहे. आणि त्या पट्टीचा प्रभाव पडणारे वेगवेगळ्या प्रकारचे छोटे आयत दाखवलेले आहेत. आधीचे गडद निळे आयत छाटले जाऊन फिकट निळे आयत उर्वरित आहेत. पूर्णांक एकक रुंदीची पट्टी कापली जात आहे. लाल आयत असा आहे, की त्याची पट्टीच्या रुंदीतली मिती पट्टीच्या रुंदीपेक्षा कमी आहे. पट्टीत तो आयत पुरता कातरून बाजूला पडतो.

स्पेशल केस १ एकक रुंदीची मानावी. स्पेशल केसचे वैशिष्ट्य असे, की कातरलेल्या पट्टीपेक्षा अरुंद पट्टी ही अपूर्णांक मितीचीच असते. पूर्णांक मितीचा लाल आयत असला तर चित्र तुमचे तुम्ही काढा... कंटाळवाणे आहे :-) छो१ आणि छो२ आयतांच्या उदाहरणापेक्षा काही वेगळे नाही. छो१ आणि छो२ यांच्या आणि कडेच्या मध्ये पूर्णांक "०" रुंदीचा आयत आहे, ही स्पेशल केस समजली तर ते बिगरशून्य पूर्णांक रुंदीच्या लाल आयताचे गणित सोपे-स्पष्ट आहे, हे लक्षात येईल, आणि मला आणखी उपचित्रे काढली नाहीत, ते समजून घेऊन माफ कराल.

कोड्यावर समरसून झालेल्या चर्चेबद्दल धनंजय, रिकामटेकडा, घासकडवी आणि नितिन थत्ते यांचा ऋणी आहे. घासकडवी आणि रिकामटेकडा यांची उत्तरे कल्पक होती परंतू काही स्पेशल केसेसमध्ये ही वरवर पटू शकणारी उत्तरे अचूक नव्हती. त्यांच्या उत्तरात बदल करून सिद्धता होत असल्यास मला विशेष आनंद होईल पण मला तो प्रयत्न सोडून द्यावा लागत आहे. धनंजय यांनी फलदायी चर्चेसाठी केलेले सचित्र प्रयत्न विशेष कौतुकण्यासारखे आहेत. दोन्ही उत्तरे तपासतांना मी सखोल विचार केला नाही त्याबद्दल क्षमस्व.

_____
डोन्ट क्रिटिसाइज व्हॉट यु डोन्ट अंडरस्टँड

काल वाचताना ही उत्तरे चुकल्याचे जाणवत होते. पण प्रत्यक्षात चित्र काढल्याशिवाय ते सिद्ध करता येत नव्हते.
दुव्यावरील उत्तरे/सिद्धता रिडिक्युलस वाटली. (फारशा खोलात न जाता.) रात्री त्याचे उत्तर सुचले माझ्या मते या उत्तरात कुठेही चूक नाही.

पद्धतः मोठा आयत हा दोन अपूर्णांक संख्यांनी बनलेला आहे हे अशक्य आहे असे सिद्ध करणे.
गृहितक: सर्व आकडे हे पूर्णांक वा पूर्णांकाच्या विभाजनाने बनली (रॅशनल) आहेत. (इरॅशनल संख्यांची सिद्धता कदाचित जास्त सोपी असावी. पण येथे तो विचार नाही.)
(संगणकाच्या भाषेत त-न आणि त्यांचे विभक्ति प्रत्यय पूर्णांक आहेत. क ते ग हे नेहमीच अपूर्णांक आहेत. तर च-झ हे इरॅशनल?)

पहिल्यांदा मोठा आयताची लांबी आणि रुंदी समजा त+क आणि थ+ख आहे असे समजू.
हा आयत न विविधांगी आयतांनी बनलेला आहे असे समजू.

आता न विविधांगी आयतांचे तुकडे करायचे आहेत. हे तुकडे अशा रितीने करायचे आहेत की सर्व आयतांचे सर्व तुकडे सारखे असतील.
हे सहज शक्य आहे.
पहिल्यांदा पूर्णांकांना एककात तुकडे पाडा.

आता समजा ग गा... असे अपूर्णांक उरलेले अपूर्णांक आहेत. त्यांच्या विभाजकांचा लसावि काढा. हा लसावि समजा द आहे. तर १/द या आकाराचे सर्व अपूर्णांकाचे तुकडे पाडता येतात.
(हे आकडे देऊन समजवत नाही. पण बहुदा स्वाभाविक वाटावे.)

आता न विविधांगी आयतांचे ना तुकडे पडले (एन वन लिहिण्यापेक्षा हे जास्त सोपे आहे.) प्रत्येक तुकड्याची लांबी १ तर रुंदी १/द असेल.

या न विविधांगी आयतांचे क्षेत्रफळ ना एकरूप आयतां एवढे असेल म्हणजे ना/द.

आता मोठ्या आयताकडे जाऊ.
मोठ्या आयताचा जो क आणि ख भाग आहे तो स्वाभाविक पणे १/द च्या पटीत असेल.
समाजा या पटी आपण नि आणी नी अशा मानल्या. (त+क = त+नि/द आणि थ+ख = थ+नी/द)
या आयताचे क्षेत्र फळ = त गुणिले थ (गुणिले चिन्ह कसे आणायचे?) + तनी/द + थनि/द + (निनी)/दवर्ग (गुणिले काढल्यावर जास्त सोपे झाले)

ना/द बरोबर हे मांडून दोन्ही बाजूला द ने गुणून

ना = तथ + तनी + थनि + निनी/द

यातील डावीकडच्या आणि पहिल्या तिन्ही संख्या पूर्णांकात आहेत. म्हणजे निनी/द हे नेहमीच पूर्णांक हवेत. हे अशक्य आहे. (का?) फक्त नि/द वा नी/द पूर्णांक असतील तर.
निनी/द हे पूर्णांक नाहीत. द हा लसावी आहे म्हणून. हे कारण खरे वाटते पण नेमकी सिद्धता नाही.)

प्रमोद
(प्रतिसाद विचार करता करता लिहिला. विचार करून लिहिला नाही. याबद्दल क्षमस्व.)

प्रमोद

प्रमोद सहस्त्रबुद्धे यांचे उत्तर रॅशनल अपूर्णांकांबाबत अचूक आहे अशा निष्कर्षापर्यंत* पोहोचलो आहे. मूळ कोड्यात अपूर्णांक कसे असावेत यावर बंधन नव्हते. तरीही प्रमोद यांचे प्रयत्न कौतुकास्पद आहेत.

अपडेट ३
प्रमोद सहस्त्रबुद्धे यांची सिद्धता किमान रॅशनल संख्यांकरता लागू होते असे माझे मत होत आहे. मला असलेल्या बर्‍याचशा शंका अधिक विचार करता दूर झालेल्या आहेत. असे असूनही सध्या तरी या सिद्धतेला अचूक म्हणू शकत नाही. अधिक विचार करतो आहे.

_____
डोन्ट क्रिटिसाइज व्हॉट यु डोन्ट अंडरस्टँड

दुव्यातील कोडे सोडवण्याची दुसरी रीत समजली.

उत्तर काढायची पद्धत निश्चित विलोभनीय आहे.
पहिले मत मागे घेतो.

(प्रतिसाद् दोनदा संपादित)

प्रमोद

पहिल्यांदा दिलेल्या उत्तरात प्रत्येक छोट्या आयतांचे एक सारखे १/द आणि १ मापाचे तुकडे पाडले होते.
हे रॅशनल संख्येला लागू होते. त्यानंतर क्षेत्रफळाचे गणित मांडले होते.
आता लक्षात आले की हे करण्याची गरज नाही.

हे उत्तर आता पूर्णपणे देता येत आहे. मधल्या स्टेपस ची सिद्धता न देण्या एवढ्या त्या सोप्या आहेत.

लेमा १. विविधांगी आयतांचे १ आणि १/द बाजूचे तुकडे पाडता येतात. (संदर्भ: मागील सिद्धता) सहजतेने यांना काड्या म्हणता येईल. आणि पुढील खेळ आगपेटीच्या काड्यांनी सहज करता येईल.

लेमा २. आडव्या बाजूला जे गणित होते तसेच उभ्या बाजूचे होते. (सिमेट्री)

लेमा ३. अशा कुठल्याही आयताची कुठलीही एक बाजू न + ना/द (यातील न ना पूर्वीपेक्षा वेगळे आहेत.) याच स्वरुपात राहिल.

लेमा ४. कुठलाही एकक चौरस आडव्या न काड्या वा उभ्या नद काड्याच होतात.

लेमा ५. कुठलाही लहान एकक चौरसाहून लहान आतत हा १ आणि ना/द (ना/द <१) याच स्वरूपात असू शकतो.)

प्रमेय:
न + ना/द आडवी आणि ध + धा/द उभी बाजु असलेला (१, १/द) आयत काड्यांमधे मांडणे अशक्य आहे.

आयताचे चार भाग करा. न ध बाजू असलेला आयत. ध आणि ना/द बाजू असलेला आयत. न आणि धा/द बाजू असलेला आयत. शेवटी ना/द आणि धा/द बाजू असलेला आयत.

यातील पहिले तीन आयत लेमा ४ आणि ५ प्रमाणे काही आयतांचे बनू शकतात. पण शेवटचा चौरस काड्यांनी कधीच बनू शकत नाही. (लेमा ५)

म्हणजे ही मांडणी अशक्य आहे. प्रमेय सिद्ध.

(कुणी काळजीपूर्वक याकडे बघेल तर ही मांडणी आणि काळ्या पांढर्‍या चौरसांच्या मांडणीत लक्षणीय साम्य दिसेल.)

खरे तर इर्रॅशनल बाजू असल्यावर काही अधिक लेमा टाकावे लागतील. मला मार्ग सहज दिसतो आहे. पण येथे मांडत नाही. (एनी टेकर्स?)

प्रमोद