छान कोडं आहे.

√०-√०-√०- ... चं उत्तर काढलं तर x^२ = x असं समीकरण मिळतं. त्यावरून जर x ची किंमत काढायची असेल तर दोन्ही बाजूंना x ने भागता येतं हे गृहितक आहे. x ची किंमत मुळात ० आहे, त्यामुळे इथे ० ला x मानून मग समीकरण तयार करण्यातून ही विसंगती निर्माण होते. जर x ची किंमत ० आहे असं खात्रीलायकपणे म्हणता येत नसेल तर विसंगतीच उरत नाही.

असंच कोडं वर्गमुळाऐवजी १/(१-x) घेऊन करता येईल बहुतेक. मग त्यात वर्गमुळाच्या एकास अनेक ची अडचणही राहाणार नाही.

राजेश

द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी

मला असे वाटते की शेवटच्या दोन करण्यात शून्याने भागाकार होतो.

x२ = x (क्ष वर्ग = क्ष) यातील एक उत्तर बरोबर धरले (०) तर क्ष = १ पोचण्यास शून्याने भागावे लागते.

ही करणी मांडल्याबद्दल धन्यवाद.

यावरून आठवले.
माझ्या आठवणीत लॉग २ = २ लॉग २ अशी फॅलसी होती. नेमका दुवा मिळाला नाही.

प्रमोद

√०+√०+√०+ ... या करणीची किंमत १ समजून काय बिघडते? उलट, १ हे उत्तर स्वयंसिद्ध आहे! (म्हणजे, "√०+√०+√०+ ... = १" असे मानून √०+√०+ ... च्या ऐवजी १ असे लिहिले तर √०+१ याची किंमत पुन्हा १ हीच येते.)
शिवाय, ते तसे मानल्याने इतर काही 'ज्ञात' माहितीला विरोध होतानाही दिसत नाही.
--------
हिशोबतक्त्यात (स्प्रेडशीट) अवास्तव (वास्तव+काल्पनिक किंवा शुद्ध काल्पनिक यांपैकी कोणत्याही) संख्यांची वर्गमुळे काढण्यासाठी मी पुढील पद्धत वापरली.
तक्त्याच्या खणांत पुढील सूत्रे लिहिली:
A1=-0.25
B1=A1
C1=0
D1=0
E1=0.5
A2=A1
B2=A2+D1
C2=E1
D2=SQRT((B2+SQRT(B2*B2+C2*C2))/2)
E2=C2/(2*D2)
त्यानंतर, दुसरी ओळ तक्त्यात बरीच खालपर्यंत चिकटविली. दोनशे ओळींनंतर D स्तंभातील किंमत बीजगणिती उत्तराच्या २% पेक्षा कमी वेगळी उरली.
म्हणजे, √-०.२५ = ०.५i अशी सुरुवात झालेल्या √-०.२५+√-०.२५+√-०.२५+ ... या करणीचे उत्तरही ०.५ या उत्तराकडेच झुकते. बीजगणिताने ०.५ हेच उत्तर मिळते आणि "समजा √-०.२५+√-०.२५+√-०.२५+ ... = ०.५ आहे" अशी सुरुवात करून √-०.२५+√-०.२५+ ... याजागी ०.५ लिहिले तर √-०.२५+०.५ याचे उत्तर पुन्हा ०.५ हेच मिळते. म्हणजे ०.५ हे उत्तर स्वयंसिद्धही आहे.

या करणीची बीजगणिती उत्तरे ० आणि १ अशी येतात!
१???
ते समीकरण सोडविताना, 'शून्याने भागणे', इ. काहीही हातचलाखी मला सापडली नाही.

या विधानावरून तुम्हाला त्यात विसंगती वाटली, निदान तुम्ही आश्चर्यचकित झालात असं वाटलं. म्हणूनच 'जर x ची किंमत ० आहे असं खात्रीलायकपणे म्हणता येत नसेल तर विसंगतीच उरत नाही.' असं विधान केलं होतं. तुम्हाला ती किंमत १ असू शकेल असं वाटतं तर तुमच्यासाठी अर्थातच विसंगती नाही.

राजेश

द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी

बीजगणितात गफलत कुठलीच नाही.

एक-पायरी करणी
√(०-(-१)) = √(१) = -१

दोन पायरी करणी
√(०-(√०-(-१)) = -१

वगैरे.

अडचण काय आहे ते समजत नाही. गफलतीची शंका काय म्हणून वाटावी?

- - -

(असे दिसते की चर्चाप्रस्तावक त्यांच्या "१-पायरी" करणीत प्रथम अप्रॉक्सिमेट रूट "०" असे घेत आहेत. ते का? हे माहीत नाही. तिथपासून इटरेशने केलीत तर दोन रूट्सपैकी एकच रूटकडे प्रवास होणार. त्यात आश्चर्य ते काय?
अवांतर : क्वाड्रॅटिक समीकरणाची न्यूटन-अप्रॉक्सिमेशने केओटिक असू शकतात काय? अति-अवांतर : श्री. यनावाला यांना विनंती - "क्वाड्रॅटिक समीकरणाची न्यूटन-अप्रॉक्सिमेशने केओटिक"चे सुयोग्य मराठी रूप द्यावे.)

केऑस = कोलाहल हा शब्द गणितीय परिभाषेत वापरात आहे.

माझ्याजवळ "अपूर्णमिती आणि कोलाहल" नावाचे एक पुस्तकच आहे. "फ्रॅक्टल्स अँड केऑस" या अर्थाने.

आपण ज्या करणीची उकल शोधताहात त्यबद्दल दोन गोष्टी आहेत त्यांचा योग्य वापर करून आपले उत्तर मिळेल (अशी आपेक्षा).

१. आपण जी करणी दिली आहे, तिला गणितामध्ये करणी (surd) न म्हणता sequence असे म्हणतात (माफ करा, मराठीमधे योग्य प्रतिशब्द माहीत नाही.. तात्पुरते रांग म्हणू, लिहायलाही सोपे, नि अगदीच बाळबोध..!!!). आपण, जर शालेय गणिताची पुस्तके नीट पाहीलीत तर लक्षात येईल की गणित बेरीज, गुणाकर या क्रिया करायला केवळ दोनच संख्या एकावेळी लागतात. Associativity चा नियम वापरून (म्हणजे (अ+ब)+क = अ+(ब+क) हा नियम, नि गुणाकारासाठीही तसेच) आपण तीन संख्याची बेरीज (गुणाकार) करू शकतो. हिच प्रक्रीया जर करायची असेल तर जास्तीत जास्त काही "मर्यादीत" संख्या आपण वापरू, म्हणजे जास्तीच जास्त काही मर्यादीत संख्याची बेरीज करणे शक्य आहे. (गणितामध्ये मर्यादीत म्हणजे एक कोटीचा शंभर लाखवा घात हे ही मर्यादीतच आहे, कारण कधी ना कधी तरी ती बेरीज करून पूर्ण होईन, finite time मधे ). गणिताचे नियम अमर्यादीत संख्यांस लागू होत नाहीत, ना बेरजेचे, ना गुणाकाराचे ना घातांकाचे...! आपण जी सारी गणिते दिली आहेत, त्यात मात्र अमर्यादीतपणे घातांक नि बेरीज ह्या दोन्ही प्रक्रीया आल्या आहेत. त्यामुळे गणिताचे सर्वसाधारण नियम आपण वापरू शकत नाही. अशा प्रकारची गणिते सोडवण्यासाठी "Limit" (पुन्हा माफ करा, याचे मराठी भाषांतर कधीच वाचनात आले नाहीये... सध्यास मर्यादा म्हणू.... :P) म्हणून एक खास पद्धती वापरली जाते. भारतीय गणित्यांनी ही पद्धत पायची किंमत काढायला वापरली होती. माधवाचार्य नामक केरळातील प्राचीन पंडीतांनी ही पद्धत वापरून कलनशास्त्र (Calculus) विकसित केले होते (ज्याचे श्रेय आपण न्यूटन नि लाईबनित्झला देतो.... x-( , अस्तू). कोशी (Cauchy) व वायरस्ट्रास (Weirstrass = Weirstraẞ) या युरोपियन गणित्यानी या मर्याचेच्याशास्रास नवी दिशा दिली.

आपण अमर्यादीत संख्याची बेरीज/ गुणाकार/ कोणताही घात काढू शकत नाही... पण आपण त्यांची एक शृंखला बनवून तिला संख्यारेषेवर मांडून पाहू शकतो की ही शृंखला एखाद्या "एकमेव" (Unique) वास्तव संख्येच्या खूप खूप जवळ जाते का, जर अशी वास्तव संख्या अस्तित्वात असेल, तर या रांगेचे (वा शृंखलेचे) उत्तर ती संख्या आहे असे म्हणतात.

उदा. आपले पहिले उदा घेऊ √२+√२+√२+ ... , याची एक शृंखला बनवू, ती अशी,
शृंखलेचा पहिला अंक √२

शृंखलेचा दुसरा अंक √२+ √२

शृंखलेचा तिसरा अंक √२+ √२ + √२
.
.
शृंखलेचा "य"वा अंक √२+ √२ +... √२ ("य" वेळा)
.
.

आता संख्यारेषेवर हे अंक मांडावे नि पहा की कोणत्या वास्तव संख्येच्या ते "खूप खूप खूप" जवळ जाताहेत. संख्या रेषा न काढता हे करण्यासाठी काही सोप्या पद्धती आहेत. त्या करीता केवळ बीजगणितातील मूलभूत आकडेमोड नि थोडे डोके लागते. परंतू दुर्दैवाने आपल्याकडे त्या बी.एस्सी. गणित घेतल्याशिवाय शिकवत नाहीत...!! :-(
माझ्या द्न्यानाप्रमाणे आपल्या सर्वच रांगांना उत्तरे आहेत, म्हणजे त्या एका खास वास्तव संखेकडे पळतात... (गणिताच्या भाषेमधे all the sequences you have given are "convergent").

आता ती उत्तरे कशी शोधावीत...? याकरीता दुसरा मुद्दा लिहावा लागेल

२. आपण जी पद्धत वापरलीत म्हणजे अ = √२+ √२ +√२... मानू नि मग अ^२ = २ + अ हे समीकरण सोडवू, तिच योग्य पद्धत आहे..!!
पण मग दोन उत्तरे कशी नि योग्य उत्तर कोणते...?

आपणास जे समीकरण सापडले ते बैजीक आहे, Quadratic Equation, म्हणजे त्यातील सर्वात मोठा घात दोन आहे. अशा समीकरणांना कायमच (अ) दोन वास्तव उत्तरे असतात (ब) वा वास्तव उत्तरच नसते (उदा. अ^२ + १ = ०, याला वास्तच उत्तर नाही).

या उत्तरांचा अर्थ असा की, या दोन्ही संख्या पैकी कोणतीही एक संख्या समीकरणाचे समाधान करते. मात्र जेव्हा भौतिकस्थिती असते, तेव्हा यातील "योग्य" संख्येची निवड करायची असते. आपल्या समीकरणास -१ नि २ अशी उत्तरे आली. परंतू त्यातील -१ हे उत्तर ग्राह्य नाही, कारण आपल्या रांगेतील सार्याच संख्या धन आहेत, सारे काही धन असताना, त्या ऋण उत्तर देउ शकत नाहीत. म्हणून २ हे उत्तर योग्य होय.

तसेच आपल्या बर्याच चर्चीलेल्या शून्याच्या उदाहरणात √०-√०-√०- ... आपणास दोन उत्तरे मिळाली, -१ नि ०. परंतू, यांची वरिल प्रमाणे शृंखला बनवली तर कळेल की सार्या संख्या "ऋणेतर" आहेत. सारे ऋणेतर असताना ऋण उत्तर मिळणे शक्य नाही. म्हणून उत्तर ० आहे.
याच उदाहरणासाठी दुसरे उत्तर तसे की जर आपण शृंखला बनवलीत, तर,

शृंखलेचा पहिला अंक √० = ०

शृंखलेचा दुसरा अंक √० = ०

शृंखलेचा तिसरा अंक √०-√०-√०- = ०
.
.
शृंखलेचा "य"वा अंक √०-√०-...√० ("य" वेळा) = ०

याप्रमाणे सारेच अंक ० आहेत. नि संख्यारेषेवर हे मांडले तर ते सारेच शून्य येतात..!! नि केवळ ० या वास्तव संख्येच्या सर्वात जवळ (खुप खुप जवळ) ते आहेत, त्यामुळे त्याचे उत्तरही ० च.

थोडक्यात बैजिक समीकरण दोन उत्तरे कायमच देते, पण योग्य उत्तर परीस्थिती नि तर्क लावून निवडावे.
(बैजिक ऐवजी त्रैराशी केली, Cubic Equation, तर तीन Complex उत्तरे मिळतात, तोच घात चार केला तर चार Complex उत्तरे मिळतात, नि त्याचप्रमाणे, परंतू वास्तव उत्तरे किती असतील, ते सांगणे अवघड आहे...!!)

मी जमेल तेवढे सोपे करून सांगायचा प्रयत्न केला आहे, आपेक्षा आहे सारेच काही कळणार नाही असे होणार नाही, किंवा खुपच गहन लिहिले असे होणार नाही (झाले तर नवीन नाही.. नेहमीच होते..!!! ;-) ). जर असा प्रश्न पडला असेल की ही शृंखला बनवणे वगैरे खुपच किचकट आहे नि कृत्रिम वाटते, तर तसे नाही. मात्र ते ईथे लिहीणेही खूप अवघड (नि लांबलचक) काम आहे.

आणि अशा अशा गणितांकरीता स्प्रेडशीड वापरणे शक्य नाही. कारण १/१+१/२+१/३+१/४.... ह्या रांगेला उत्तर नाही (हा सिद्धांत आहे). आश्चर्य वाटेल पण ही बेरीज अनंत वाढते..!!! हे उपरोधृत पद्धतींनी सिद्ध करणे म्हणजे चार ओळी खरडणे आहे. मात्र महासंगणक वापरून ही बेरीज १०,००० पेक्षा मोठी होते, हे जर दाखवायचे असेल, तर तो तीन दिवस काम करत राहतो..!!!!
अधिक माहीतीसाठी खालील पुस्तके पहा:
१. Apostol, Calculus vol.1 (यातील Sequences and Series हे प्रकरण खुपच सुंदर आहे.)
२. Bartle and Sherbert, Introduction to Real Analysis (हे फारच तांत्रिक पुस्तक आहे, महासंगणाकाबद्दलची माहिती यातच सापडली.)

- आपलाच चिंटू... :D