उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
तर्कक्रीडा:६७: सौ.सालंकृता साने विरोध करतात.
यनावाला
September 17, 2008 - 5:19 am
”अध्यक्ष महाशय, या ठरावाला माझा विरोध आहे.मुलींवर हा अन्याय आहे." सौ.सालंकृता साने ताड्कन उठून सात्त्विक संतापाने बोलल्या.
"बुद्धिमानोत्तेजक मंडळ” या संस्थेच्या कार्यकारिणीच्या सभेत वरील प्रसंग घडला.पुण्यातील काही निवडक विद्यालयांतून इयत्ता नववीच्या वार्षिक परीक्षेत प्रथम क्रमांकाने उत्तीर्ण होणार्‍या विद्यार्थी-विद्यार्थिनींना ही संस्था प्रतिवर्षी पारितोषिके देते.आजच्या सभेत पुढील ठराव मांडण्यात आले :
१.या वर्षीच्या पारितोषिकांसाठी एकूण निधी रु.१००००/(रु. दहा हजार) असावा.
२.पुढील एकोणीस मुला-मुलींना पारितोषिके देण्यात यावी.(यादी जोडली आहे).
३.प्रत्येक पारितोषिक दहा रुपयांच्या पूर्ण पटीत रोख रकमेच्या स्वरूपात असावे.
४.प्रत्येक विद्यार्थिनीला मिळणारे पारितोषिक समान असावे.
५. प्रत्येक विद्यार्थ्याला प्रत्येक विद्यार्थिनी पेक्षा तीनशे (३००) रुपये अधिक मिळावे.:
२.पुढील एकोणीस मुला-मुलींना पारितोषिके देण्यात यावी.(यादी जोडली आहे).
३.प्रत्येक पारितोषिक दहा रुपयांच्या पूर्ण पटीत रोख रकमेच्या स्वरूपात असावे.
४.प्रत्येक विद्यार्थिनीला मिळणारे पारितोषिक समान असावे.
५. प्रत्येक विद्यार्थ्याला प्रत्येक विद्यार्थिनी पेक्षा तीनशे (३००) रुपये अधिक मिळावे.:
"पण मी म्हणते,मुलगी आणि मुलगा यांत असा भेद का?” सानेबाईंनी आपला विरोध चालू ठेवला.
शेवटी कार्यकारिणीच्या अन्य सभासदांना नमावे लागले.विद्यार्थी- विद्यार्थिनीची परितोषिके अगदी सम समान झाली नसली तरी फ़रक ३०० रु होता तो १९० रुपयांनी कमी होऊन एकशे दहा (११०) रुपये झाला. तर
(अ) पारितोषिकप्राप्त विद्यार्थिनींची संख्या किती?
(ब)प्रत्येक विद्यार्थिनीला किती रुपये मिळाले?
***********************************************************************
दुवे:
Comments
काही काळापूर्वी -
उत्तर व्यनिने पाठवले आहे.
व्यनि. उत्तरः१
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
विद्यार्थिनींची संख्या, प्रत्येकी पारितोषिक इ.उत्तरे श्री विसुनाना यांनी कळवली आहेत.ती सर्व बरोबर आहेत. मात्र त्यांनी रीत लिहिली नाही. ती लिहावी अशी अपेक्षा आहे.
व्यनि उत्तरः२
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.धनंजय यांनी विद्यार्थिनींची संख्या आणि आणि प्रत्येकी परितोषिक ही उत्तरे अचूक काढली आहेत.
डायोफंटी समीकरण
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
"सौ. सालंकृता साने....." हे कोडे बीजगणिती पद्धतीने सोडविणे अपरिहार्य आहे.(असे वाटते).
पण अव्यक्तांच्या संख्येपेक्षा समीकरणांची संख्या १ ने कमी येते.मात्र विद्यार्थिनींची संख्या धनपूर्णांक,पारितोषिकाची रक्कम १० च्या पूर्ण पटीत या अटी अव्यक्तांवर आहेत. त्यामुळे हे डायोफंटी समीकरण सोडवता येते.त्यासाठी केवळ ट्रायल- एरर करीत बसायला पाहिजे असे नव्हे.
व्यनि.उत्तरः४
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.विनायक यांनी या कोड्याचे अचूक उत्तर पाठ्विले आहे. तसेच त्यांनी सविस्तर रीतही दिली आहे.ती ट्रायल-एररला जवळची आहे;डायोफंटी समीकरणाच्या सोडवणुकीची प्रमाणित(स्टॅण्डर्ड्) रीत नव्हे.
उत्तर
निरोपातून उत्तर दिले आहे.
व्यनि.उत्तरः ५
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
**********************************
मुलींची संख्या आणि प्रत्येकी पारितोषिक ही उत्तरे अचूक शोधण्यात श्री. वैभव कुलकर्णी यशस्वी झाले आहेत. मात्र रीत लिहिलेली नाही.
व्यनि.उत्तरः ६
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री. वाचक्नवी यांनी या कोड्याचे उत्तर पाठविले आहे ते पुढील प्रमाणे:
...................................................
"समजा मुलींची संख्या म, म्हणून मुलांची (१९-म). मुलींचे प्रत्येकी पारितोषिक समजा, क्ष, म्हणून मुलांचे प्रत्येकी (क्ष+११०)रुपये. म्ह. मक्ष+(१९-म)(क्ष+११०)=१००००. सोडवून, १९क्ष=७९१०+११०म. ७९१०ला १९ने भागले तर बाकी उरते ६. ११०ला भागले तर उरते १५. म्ह. १५म+६=१९ने भाग जाणारी संख्या. म्ह. म(मुलींची संख्या)=११. क्ष(त्यांचे प्रत्येकी पारितोषिक)=(७९१०+११*११०)/१९=४८० रुपये.-QED"
......................................................
त्यांचे उत्तर रीतीसह बरोबर आहेच. (१५म+६) ही १९ ने भाग जाणारी संख्या. हे अगदी बरोबर.पण " म्ह. म=११ " हे सहजी लक्षात येणारे नाही. ते पुढीलप्रमाणे अधिक सोपे करता येईलः
.......१५म+६ =१९न....(न पूर्णांक)
....म्ह.म=(१९न-६)/१५ ..म्ह.म=न +(४न-६)/१५=२(२न-३)/१५ म्ह.(२न-३) ही संख्या १५ च्या विषम पटीत.
....म्ह. (२न-३)= १५, ४५ ..इ म्ह. न=९. आता १५म +६=१९x९ म्ह.म=११ (मुलींची संख्या)
सोपे की किचकट आणि लांबट?
(१५म+६) ही १९ ने भाग जाणारी संख्या. हे अगदी बरोबर.पण " म्ह. म=११ " हे सहजी लक्षात येणारे नाही. ते पुढीलप्रमाणे अधिक सोपे करता येईलः.. यापुढे जे केले आहे त्याने रीत सोपी झाली आहे की किचकट आणि लांबट? शिवाय, म्ह.(२न-३) ही संख्या १५ च्या विषम पटीत. ....म्ह. (२न-३)= १५, ४५ ..इ . म्हणजे परत 'मांडा आणि खोडा' आलेच. तेच १५ चा अकरापर्यंत पाढा मोजून झाले असते. (किंवा १९चा नऊपर्यंत मोजून! खरे तर, त्याचीही फारशी गरज नाही. १९च्या पाढ्यात एकम्‌चे अंक ९-८-७-६-५-.. असे येणार. त्यातले ६ आणि १ आपल्या उपयोगाचे . म्हणजे १९चोक की १९ नव्वे? त्यातले १९ नव्वे १७१ जुळते. १७१-६=१६५, १५ची पट. १६५/१५=११, ही मुलींची संख्या.)
ह्या रीतीपेक्षा मी सुचवलेली शुद्ध अंकगणिती अधिक सोपी रीत श्री. यनावालांनी इथे द्यायला हरकत नव्हती. त्या रीतीतला 'मांडा आणि खोडा' भाग असा:- १२मध्ये १९ची एक (लहानात लहान) पट मिळवली की ११ची कोणती पट येते? १९, ३८, ५७, ७६, इ.इ. पैकी ७६ जुळते, कारण ७६+१२=८८. (.) म्हणून ८८/११=८(मुलांची संख्या). म्ह. मुली ११. [(१०००-८८)/१९)*१०]=४८०(मुलींच्या पारितोषिकाची रक्कम). सविस्तर रीत श्री. यनावालांना व्य.नि.ने पाठवली होती. --वाचक्नवी
कुट्टक
ही पद्धत आर्यभट्टाने प्रथम सांगितली, आणि भास्कराने विशद केली. (पाश्चिमात्त्यांत हा शोध खूप उशीरा स्वतंत्रपणे लागला. बेझूचे नित्यसमीकरण [Bézout's identity], युक्लिडची विस्तारित प्रणाली [extended Euclidean algorithm] म्हणून हे गणित इंग्रजीतून शिकताना प्रसिद्ध आहे. यात आर्यभट्टाचा मुद्दामून तिरस्कार नाही - त्या पद्धतींमध्ये आणि थियरममध्ये कुट्टकापेक्षा विस्तारित गणित येते.)
मांडा आणि खोडा (याचा अर्थ ट्रायल आणि एरर असा आहे का?) पद्धत वापरण्यासाठी आकडे कमीतकमी करावेत म्हणून कुट्टक वापरतात.
पाढ्याला प्रत्येक आकडा डायोफंटीन समीकरणाचे उत्तर असावे म्हणून कुट्टक शेवटपर्यंत सोडवायचे. एकदा की पाढ्यातला प्रत्येक आकडा समीकरणाचे उत्तर झाला, की त्यात फक्त "मांडा" हेच शिल्लक राहाते, काही "खोडा"वे लागतच नाही. शिवाय पाढ्यातल्या एका कुठल्या ठिकाणी पूर्णांक ऋण होतात, तिथे मांडणे थांबवायचे हे कळते. किंवा ऋणपूर्णांक चालत असतील, तर अगणित पूर्णांक उत्तरे सर्व मिळतात.
डायोफंटीन समीकरणांना कधीकधी एकपेक्षा अधिक धनपूर्णांक उत्तरे असतात. (या ठिकाणी एकच उत्तर आहे, हे छानच.) अशा वेळी मांडा आणि खोडा पद्धतीत "मांडा"यचे कधी बस्स करायचे याच्याविषयी सहज मार्गदर्शन लागते.
वाचक्नवी यांनी कुट्टकाची पहिली पायरी सोडवली, आणि पुढे पाढे मांडले, काही उत्तरे खोडली. (मीसुद्धा तोच प्रकार केला - १९च्या पाढ्यापर्यंत गेलो, आणि कंटाळा येऊन मांडा-खोडा प्रकार केला. कंटाळा येण्याचे कारण की मला कुट्टकाची पद्धत आणि सिद्धांत माहीत नव्हते - समीकरण कुटून-कुटून काय मिळणार? काहीतरी मिळणारच हा सिद्धांत असल्याचे माहीत नव्हते.)
कुट्टकाचा हा उपयोग की ही प्रणाली (आल्गोरिदम) सर्व परिस्थितींत वापरण्यासारखा आहे. पाढा न येणारे आकडे असतील तरीही.
ट्रायल आणि एरर
ट्रायल आणि एररला छान मराठी पर्याय श्री. यनावालांनी एकदा वापरला होता. तो काही आत्ता आठवला नाही. 'चुका आणि दुरुस्त करा' किंवा 'चुका आणि मार्गी लागा(माका?)' यांपेक्षा आकडेमोडीच्या संदर्भात मला 'मांडा आणि खोडा' जास्त सुसंगत वाटला, म्हणून ही जोडी वापरली.--वाचक्नवी
माझी पद्धत
उत्तर पाठवायच्या बेतात असताना ते जाहीर झालेले दिसले. :-(
मी अवघड वाटणारे ११० घ्यायच्या ऐवजी सोपे ३०० घेतले.
मक्ष+(१९-म)(क्ष+३००)=१००००
१९क्ष - ३००म = ४३००
क्ष दहाने भाग जाणारा, १०प = क्ष
३०म = १९प - ४३०
३०म = १९प - १० - ४२०
(१९प - १०) ला ३० ने भाग जायला हवा. उत्तर (१९ - ४२०/३०) = ५ पेक्षा जास्त हवे. म्हणजे किमान १८०.
म्ह. प = १०.
म्ह. क्ष = १००
म्ह. म = ८ इ इ.
१९चा अवघड पाढे येत नसताना तिसाचा पाढा बरा पडला. :-)
मी तर...
मी अवघड वाटणारे ११० घ्यायच्या ऐवजी सोपे ३०० घेतले. ..
माझ्या अंकगणिती सोडवणुकीसाठी मी तर १०००० ऐवजी १००० आणि ११० ऐवजी ११ घेऊन उत्तर काढले आणि मग उत्तराला १०ने गुणले.
आर्यभटाने(जन्म इ.स.४७६) शोधलेली कुट्टकपद्धती (अ ब्रॅन्च ऑव्ह्‌ ऍरिथमॅटिक्स्‌ डीलिंग विद मल्टिप्लायर्स) आधी ब्रह्मगुप्ताने इ.स.६२८मध्ये ब्रह्मस्फुटसिद्धान्तात विशद केली आणि नंतर भास्कराचार्यांनी सन १११४ मध्ये. त्या पद्धतीने गणिते सोडवणे अजूनही सोपे वाटते. आम्ही शाळेत असताना, ज्यांचे अवयव सहजी पाडता येत नाहीत अशा दोन मोठ्या संख्यांचा महत्तम साधारण विभाजक कुट्टक वापरून काढीत असू. आता ही रीत शिकवत नसावेत, कारण कुठल्याच शालेय पुस्तकात ही आढळली नाही.
मला अजूनही वाटते की , "२११ ला कुठल्या कुठल्या गुणकांनी गुणून, गुणाकारांत ६५ मिळवले की त्या बेरजांना १९५ ने नि:शेष भाग जाईल" अशी गणिते सोडवायला कुट्टकाशिवाय दुसरी सोपी रीत नसेल.--वाचक्नवी
कुट्टक
कुट्टक कसे वापरायचे ते जमल्यास सविस्तर सांगावे.
म्हणजे
हे कसे सोडवायचे?
कुट्टकव्यवहार
भास्कराचार्यांचे लीलावती, बीजगणित आणि गोलाध्याय या नावांचे तीन ग्रंथ आहेत. त्यातल्या लीलावतीमधील 'कुट्टकव्यवहार: 'नावाच्या अध्यायातील ६६ ते ७० क्रमांकाच्या श्लोकांद्वारे भास्कराचार्यांनी धन संख्यांकरता कुट्टक कसे वापरायचे ते सांगितले आहे. शिवाय ऋण राशींसाठी आणि कुट्टकाच्या इतर पद्धतींविषयी आणखी श्लोक आहेत. मूळ शब्दबंबाळ श्लोकांचे आणि त्यावर टीकाकाराने केलेल्या भाष्याचे मराठीत टंकलेखन करणे अत्यंत जिकिरीचे आहे. खालील एका श्लोकावरून त्याची थोडीशी कल्पना येईल.
भाज्योहार: क्षेपकश्चापवर्त्य: केनाप्यादौ संभवेकुट्टकार्थम्‌ ।
येनच्छिनौ भाज्यहारौ न तेन क्षेपश्चैतद्दुष्टमुद्दिष्टमेव । । ६६। ।
त्यामुळे कुट्टक कसे वापरायचे ते सविस्तर सांगणे थोडे अवघड आहे. पण, "२२१ ला कुठल्या कुठल्या गुणकांनी गुणून, गुणाकारांत ६५ मिळवले की त्या बेरजांना १९५ ने नि:शेष भाग जाईल" हे उदाहरण सोडवताना कुट्टकपद्धतीची झलक पहाता येईल. २२१ला १९५ने भागून २६ बाकी उरली. ६५मध्ये २६ची कोणती पट मिळवली की येणारी संख्या १९५ने नि:शेषपणे भाजनीय असेल? उत्तर ५, २०, ३५, ५० वगैरे. अस्सल भास्कराचार्यप्रणीत रीत लीलावतीमध्येच पाहणे उत्तम. त्या पद्धतीत डोक्याला ताण द्यायला व अंदाजाला किंवा कल्पनेला वाव नाही.--वाचक्नवी
लीलावती!
एकंदरित जवळची वाट नाही असे दिसते. ;-)
असो. सविस्तर प्रतिसादाबद्दल आभार.
''सौ.सालंकृता साने...''मूळ स्रोत
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचा मूळ स्रोत सापडला. कोडे ह्यूबर्ट फिलिप्स् तथा 'कालीबान' यांचे आहे. मी केवळ मराठीत आणले.(वाचनीयतेसाठी काही बदल केले असतील.)
.....उत्तर असे:
पारितोषिके १०रु.च्या पटीत.म्ह. १० रु.च्या १००० नोटा वाटायच्या. (श्री.वाचक्नवी यांनी ही कल्पना वापरली आहे.)
समजा, विद्यार्थिनी क्ष , प्रत्येकी पारितोषिक य नोटा.....(विरोधापूर्वी)
म्ह......क्षय+(१९-क्ष)(य+३०)=१०००....(नोटा)
म्ह....क्ष=(१९य-४३०)/३०..ही पूर्णांकी संख्या. ...म्ह.य ची किंमत १० च्या पटीत.समजा य=१०न.
म्ह....क्ष=(१९न-४३)/३=६न+(न/३) -१४-(१/३) =(६न-१४)+(१/३)(न-१)...
म्ह....(न-१)/३ ही पूर्णांकी संख्या हवी. म्ह.. न=४ किंवा ७ किंवा १०.. परंतु क्ष<१९ म्ह. न=४, य=४०, क्ष=११.
म्ह. विरोधापूर्वी ,
.....विद्यार्थिनी ११, प्रत्येकी दहारु.च्या ४० नोटा=४००रु.; विद्यार्थी ८, प्रत्येकी ५९०रु.
म्ह. अंततः विद्यार्थिनी ११, प्रत्येकी ४८०रु.
*******************************************
वर मृदुला यांनी दिलेली रीतही साधारणपणे अशीच आहे. प्रत्येक व्यक्तीची विचारपद्धती भिन्न असते.
अंकगणिती रीत
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री. वाचक्नवी यांनी कळविलेली दुसरी रीत अशी:
..."पारितोषिकाची रक्कम १०च्या पटीत. म्हणून आपण एकूण रक्कम १०००, आणि मुलामुलीमधील फरक ११ रुपये धरू. समजा जेवढे मुलींइतकेच मुलांना दिले तर १००० रुपयांतून पैसे वाचतील. हे वाचणारे पैसे ११च्या पटीत असतील. थोड्या विचारान्ती ही रक्कम ८८ रुपये असल्याचे जाणवेल.(१०००-८८=९१२=१९*४८.) म्हणून मुलांची संख्या ८८/११=८, अर्थात मुली ११, मुलींच्या बक्षिसाची रक्कम ४८*१०=४८०. ----संपूर्ण अंकगणिती रीत.--वाचक्नवी"
......
यांतील.."समजा जेवढे मुलींइतकेच मुलांना दिले तर १००० रुपयांतून पैसे वाचतील. हे वाचणारे पैसे ११च्या पटीत असतील. .." हा कल्पकतापूर्ण अंकगणिती विचार पटण्यासारखा आहे.
मात्र" ११ च्या पूर्णपटीतील अशी संख्या कोणती जी १००० मधून वजा केली असता येणार्‍या वजाबाकीला १९ ने नि:शेष भाग जाईल?'' याचे उत्तर थोड्या विचारान्ती ८८ असे जाणवेल. हा व्यक्तिनिष्ट साक्षात्कार म्हणावा लागेल. ही वस्तुनिष्ठ अंकगणिती रीत आहे असे मला वाटत नाही.
..(हे काल लिहायला वेळ झाला नाही. त्यामुळे श्री.वाचक्नवी रागावले. असो.)
साक्षात्कार!
त्यामुळे श्री.वाचक्नवी रागावले. ... अजिबात नाही. कूटप्रश्नाची आलेली सर्व उत्तरे देण्याची प्रथा नसल्यामुळे रागावण्याचे कारण नव्हते.
हा व्यक्तिनिष्ट साक्षात्कार म्हणावा लागेल.. तसे नाही. हा साक्षात्कार विचारान्ती झालेला असल्याने त्याला साक्षात्कार नाही तर चिंतनाची परिणती म्हणायला पाहिजे. बीजगणितातल्या त्रिपदी चे अवयव पाडताना "पहिल्या आणि शेवटच्या पदांतील गुणकांचा गुणाकार करून त्या उत्तराचे असे गुणक पाडायचे की ज्यांची बेरीज मधल्या पदाचा गुणक असेल" ह्या प्रश्नाचे उत्तर जसे चिंतनाने येते, साक्षात्काराने नाही, तसेच इथे झाले होते. या तथाकथित साक्षात्कारापूर्वीचा विचार असा होता. : १०००ला १९ने तोंडी भागून १२बाकी उरली. १९च्या पटी १९, ३८, ५७, ७६ वगैरे. त्या मनातल्या मनात १२त मिळवून पाहिल्या, ७६+१२=८८(११ची पट) हे क्षणार्धात जाणवले. त्यामुळे १०००मधून ८८ वजा केले की १९ची पट येणार हे उघड होते.
१९च्या पाढ्याची(१९Xन) आपल्या लोकांना एवढी धास्ती का असते? ह्या पाढ्यातल्या संख्यांचा शेवटचा आकडा (१०-न) असतो आणि त्यापूर्वीचा (२न-१).[न ची किंमत ११ते२०या मर्यादेत असेल तर (२न-२)]. २९च्या पाढ्यात पहिला आकडा (३न-१) असतो, शेवटचा १९ च्या पाढ्याप्रमाणेच (१०-न)..त्यामुळे १९ किंवा २९ची पट करायला डोके खाजवायची गरज नाही.--वाचक्नवी
:)
अचुक निरिक्षण. मलाहि १९ ची इतकी नाहि पण २९ च्या पाढ्याची भिती आहेच :) काय बरे कारण असावे?
(१ ते २८ आणि ३० चा उभा पाढा व १ ते २० आडवे पाढे पाठ असणारा) ऋषिकेश
धास्ती
मला एकंदरित पाढे प्रकाराचीच धास्ती आहे. कारण अगदीच उघड, म्हणजे, ते पाठ नाहीत. १९, २९ एव्हढेच नाहीत तर चौदा आठ्ठे वगैरे सुद्धा थेट येत नाहीत. पंधरा आठ्ठे मधून आठ वजा करावे लागतात. आता द्विमान पद्धती वापरून वापरून ८, १६, ३२ वगैरेच्या पटी चटकन येतात पण पक्के येणारे पाढे फक्त १ ते १०च. असो.
व्यनि उत्तरः क्र ० (सर्वप्रथम)
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचे अचूक उत्तर श्री. अमित कुलकर्णी यांनी सर्वप्रथम पाठविले. माझ्या अनवधानामुळे या उत्तराचा उल्लेख प्रतिसादात करायचे राहून गेले. तरी क्षमस्व.
जवळची वाट.
एकंदरित जवळची वाट नाही असे दिसते. ;-)
असो. सविस्तर प्रतिसादाबद्दल आभार.
पहिल्यांदा आपण भास्कराचार्यांच्या श्लोकाचा अर्थ पाहू या. कुट्टकार्थम्‌ आदौ सम्भवे केन अपि(अंकेन) भाज्य: हार: क्षेप: च अपवर्त्य: । येन भाज्यहारौ छिन्नौ तेन चेत्‌ क्षेप(क): न (छिन्द्यात्‌) । तदा एतत्‌ उद्दिष्टम्‌ दुष्टम्‌ ।
यांतले शब्द: भाज्य:-जिला भागायचे ती संख्या--२२१.
हार: जिने भागायचे ती--१९५
क्षेप:- जी मिळवायची ती--६५.
अपवर्तनम्‌--अपूर्णाकातल्या अंश-छेदांना किंवा दोन किंवा अधिक संख्यांना एका समान भाजकाने भागून लहान करायची प्रक्रिया.
छिन्न करणे --भागणे, लहान करणे.
दुष्टम्‌ उद्दिष्टम्‌--अडचणीत टाकणारा प्रश्न.
आता अर्थ लावूया: कुट्टक करण्यासाठी प्रथम शक्यतो एखाद्या आकड्याने भाज्य, हार आणि क्षेप (या तिघांना भागून) त्यांचे अपवर्तन करू या. ज्याने भाज्य आणि हार यांना भाग जाईल त्या आकड्याने क्षेपाला भाग गेला नाही तर अडचण येईल.(ती अडचण कशी दूर करायची ते नंतर पाहू.) वगैरे वगैरे..
आता दिलेले गणित सोडवू. २२१ भागिले १९५, भाग १, बाकी २६. २६ भागिले १९५, भाग ७, बाकी १३. १३ भागिले २६ भाग २, बाकी शून्य. २२१ आणि १९५ यांचा मसावि १३ मिळाला. १३ने सुदैवाने ६५ या क्षेपाला भाग जातो, म्हणन इथे दुष्ट उद्दिष्ट आडवे आले नाही. १३ने भागून अपवर्तन केल्यावर दृढभाज्य १७, दृढभाजक १५ आणि क्षेप ५ मिळाले..
१७ भागिले १५, लब्धि(=भाग) १, बाकी २.; १५ भागिले २, लब्धि ७, बाकी १. ; २ भागिले १ भाग पूर्ण गेला. या मिळालेल्या लब्धि, क्षेप आणि शून्य यांची एक वल्ली(मॅट्रिक्स) करू या. (मॅट्रिक्स उभा हवा, पण तसे टंकलेखन करणे जमत नसल्याने आडवा केला आहे.)
[१ ७ ५ ०]. वल्ली अशी सोडवा: ५ गुणिले ७, अधिक शून्य=३५.; ७ ऐवजी ३५ लिहा व शून्य पुसा. वल्ली अशी [ १ ३५ ५] झाली. परत, ३५ गुणिले १, अधिक ५=४०. ; १ ऐवजी ४० लिहा आणि ५ पुसा. आता वल्ली अशी आहे [४० ३५]. याहून छोटी होणार नाही. वल्लीतील या आकड्यांना अनुक्रमे १७ व १५ या दृढभाज्यभाजकांनी तष्टा(=भागा). बाक्या उरल्या [६ ५]. यातले ६ म्हणजे लब्धि आणि ५ म्हणजे गुण. हे आपले अपेक्षित उत्तर. २२१ या भाज्याला ला ५ या गुण(का)ने गुणून गुणाकारात ६५ हा क्षेप मिळवला की येणार्‍या संख्येला १९५ या हाराने नि:शेष भाग जातो आणि ६ ही लब्धि मिळते.
आणखी गुणलब्ध्या मिळवण्यासाठी [६ ५]मध्ये त्यांच्या त्यांच्या तक्षकांच्या(दृढभाज्यभाजकांच्या) पटी मिळवा. ६+१७*१=२३. आणि ५+१५*१=२०. [२३लब्धि २०गुण] हे दुसरे उत्तर. करून पहा: {२२१*२०+६५}/१९५=२३. १७,१५ना २ने गुणून [६ ५]मध्ये मिळवल्यावर मिळेल [४० ३५] हे तिसरे उत्तर. अशी अगणित उत्तरे मिळतील.
मुळात आर्यभटाने शोधलेल्या या कुट्टकाचे गूढ उकलून ब्रह्मगुप्त-भास्कराचार्यांनी ते सोप्या संस्कृतमध्ये लिहिले म्हणून आज आपण ते समजू शकतो.
सरावासाठी दुसरे उदाहरण: भाज्य १००, हार ६३ क्षेप ९०. यांचा मसावि १, म्हणजे अपवर्तन होणार नाही. (१०० आणि ९० यांचे होईल, पण मग उत्तरात येणार्‍या लब्धीला १० ने गुणावे लागेल.) १०० भागिले ६३, लब्धि १ बाकी ३७; ६३ भागिले ३७, लब्धि १, बाकी २६ वगैरे करून मिळालेली वल्ली: [१ १ १ २ २ १ ९० ०]->[१ १ १ २ २ ९० ९०]->[१ १ १ २ २७० ९०]->[१ १ १ ६३० २७०]->->->->
[१ १ ९०० ६३०]->[१ १५३० ९००]->[२४३० १५३०]. यांना आपापल्या १०० व ६३ या तक्षकांनी भागून बाक्या उरल्या [३०लब्धि १८गुण]. हे उत्तर. आणखी उत्तरे [१३० ८१], [२३० १४४] वगैरे. इत्यलम्‌.--वाचक्नवी
वा!
मस्तच!
कागदावर करून बघितले. पद्धत फारच आवडली.
मनःपूर्वक आभार. मला रोजची गणिते करतानाही वापरता येईल. :-)
मजा आली
असेच म्हणतो.. मजा आली बर्‍याच दिवसांनी कागदावर मॅट्रीक्स सोडवताना :)
ऋषिकेश
------------------
जगात १० प्रकारचे लोक असतात द्विमान पद्धती समजणारे आणि न समजणारे
रोजची नसली तरी..
मला रोजची गणिते करतानाही वापरता येईल.
रोजची नाहीत पण ... समजा तुमच्या मोलकरणीला कष्टाची कामे होईनाशी झाली, आणि तिने भाजी विकायचे ठरवले. तुम्ही तिला पहिल्या दिवशी भाजी करेदीसाठी ६५ रुपये दिलेत. ती छान धंदा करते असे समजल्यावर तिच्या वाढत्या व्यवसायासाठी काही दिवस दररोज २२१ रुपये द्यायचे कबूल केलेत आणि दिलेतही. धंदा जोरात चालू लागल्यावर तिने दिवसाला १९५ या हप्त्याने तुमचे सर्व पैसे फेडले. तर प्रश्न असा की तुम्ही किती दिवस तिला रोजी २२१ रुपये दिलेत आणि घेतलेले सर्व उसने पैसे परत करायला तिला किती दिवस लागले?
हे गणित सोडवायची दुसरी रीत असेल तर जरूर लिहावी.--वाचक्नवी