सध्यातरी फक्त क्र. ४ चे उत्तर ठाऊक आहे.
खाली दिलेला आयत बघा.

त्याचा पाया (दोन आडव्या कडा)"प" मानु, आणि उंची (दोन आडव्याकडांमधील अंतर) "उ".
म्हणून त्याचे क्षेत्रफळ होईल
क्ष = प+प+प+प+प+प+प+..................+(उ वेळा) = (प*उ) चौ. एकक
हा आयत असल्यामुळे उंची ही उभ्या कडांईतकीच आहे.

आता या आयताचा समांतरभुज चौकोन करू.

पुन्हा याचा पाया "प" मानु. पण उंची "उ" ही तिरप्या कडांईतकी होणार नाही तर थोडी कमी होईल. (ती किती त्याचा विचार येथे नको करायला.)
याचेही क्षेत्रफळ होइल
क्ष = प+प+प+प+प+प+ ......+(उ वेळा) = (प*उ) चौ. एकक

आता त्रिकोण
वरील आकृती मधील तुटक रेघेच्या कोणत्याही एका बाजूचा भाग विचारात घ्या.
तो होतो त्रिकोण. तो आकाराने दुसर्‍या भागा एवढाच आहे. म्हणून या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ होते
क्ष = (प*उ)/२ = १/२*(प*उ) चौ. एकक
किंवा दुसर्‍या पद्धतीने विचार केल्यास -
पायथ्यापाशी पायाची लांबी आहे "प" तर शिखर बिंदूपाशी आहे ०.
म्हणून "उ"उंची पर्यंतच्या सर्व आडव्या रेघांची बेरीज होते
(प+प+प+प+प+प+प+......+ उ वेळा)/२ = (प*उ)/२ = १/२*(प*उ).

आता समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ किती होईल ते सांगा.

मूळ शब्द लॅटिन आहे. अर्थ = चाकाचा आरा. त्यावरूनच भूमितीत रेडिअस (त्रिज्या => ज्या = sine त्रि= 3 :: sin 3=0.05233 ~ sin pi??) आणि शरीरशास्त्रात रेडिअस (कोपरापासून मनगटापर्यंतचे सांध्याभोवती गोल फिरू शकणारे एक हाड) हे शब्द आले.

पाय् म्हणजे अगदी २२/७ नव्हे. याची किंमत म्हणजे ३ पासून ते ३.१४५९२६५........ अशा अनंतव्या अंशापर्यंत सर्व अंदाज आहेत. (मूळ 'त्रि ज्या' हा शब्द याच ३ वरून आला असावा. जाणकार सांगतीलच.) वर्तुळाकार चाकाला दोराचा एक वेढा घातला तर त्याची लांबी व्यासाच्या लांबीच्या अंदाजे तिप्पट भरते हा पहिला अंदाज असावा.

३६० ह्या संख्येला १, २, ३, ४, ५, ६, ८, ९, १० ह्या सर्व संख्यांनी पूर्ण भाग जातो. म्हणजे ३६० चे १*क्ष, २*क्ष, ३*क्ष, ४*क्ष, ५*क्ष, ६*क्ष, ८*क्ष, ९*क्ष, १०*क्ष इतके समान भाग सहजपणे करता येतात. म्हणून ३६० ही संख्या घेतली आहे. (क्ष हा एक धन पूर्णांक आहे.)

(३६०, ७, १३ यांचा ल. सा. वि. काढल्यास ३६० पेक्षा आणखी "चांगली" संख्या मिळू शकते पण ती बरीच मोठी असल्याने (३२७६०) तितकीशी "सोयिस्कर" मात्र नसेल.)

परंतु कलनामध्ये (calculus) मात्र अंशांचा वापर न करता रेडियन ह्या परिमाणाचा वापर होतो - कारण ते अधिक सोयिस्कर असते.

क्षेत्रफळे व घनफळांची सूत्रे integration ने काढता येतात. (त्रिकोण, चौकोन आणि अर्थातच चौरस यांच्यासाठी महेश हतोळकरांनी दिलेल्या सोप्या पद्धतीने ठरवता येतात)

काटकोन त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ हे तेवढ्याच लांबी व रुंदीच्या आयताच्या क्षेत्रफळाच्या निम्मे असते हे निरीक्षणाने समजेल.
याचाच उपयोग करून लघुकोन त्रिकोण व विशालकोन त्रिकोणाच्या तसेच समांतरभुज/ समलंब / पतंग वगैरे चौकोनांच्या
क्षेत्रफळांची सूत्रे काढता येतात.

पाय ची किंमत कशी काढली याची मीरा फाटकांच्या "एक पाय नाचव रे" या लेखात माहिती मिळू शकते.
(tan^-१(१) ह्याची किंमत Maclaurin series ने काढल्यास पाय / ४ ही किंमत मिळते. पण ह्यापेक्षा लवकर converge होणारी दुसरी series वापरली जाते असे वाचले होते)
------------------------------------------
तुम्ही सध्या हे वाचत आहात.

३६० अंशासाठी ३६५ दिवस असाही विचार केलेला असावा. ( अंदाज, अदमास).

अगणिती(कलंत्री)

२) वर्तुळाचे क्षेत्रफळ काढण्यासाठी लागणार्‍या स्थिरांकाचे अर्थात पाय चे मूल्य २२/७ आहे हे सर्वश्रुत आहे. पण ते कसे शोधून काढले ?

वर्तुळाच्या सर्कंफरन्स (मराठी प्रतिशब्द आता विसरलो) चे त्याच्या व्यासाशी असलेले गुणोत्तर (रेशो) म्हणजे पाय, जो सर्व वर्तुळासाठी सारखाच असतो.

आर्किमिडीज ह्या ग्रीक संशोधकाने हे प्रथम शोधले असे मानले जाते. त्यापूर्वीधेखील भारतीयांना त्याची माहिती होती असेही वाचले होते.

वरील एका प्रतिसादात मीरा फाटक यांच्या "एक पाय नाचव" या लेखाचा उल्लेख आला आहे. या लेखाचा दुवा मिळू शकेल? वाचण्याची उत्कंठा आहे.

Doing what you like is freedom. Liking what you do is happiness.

जगातील कोणतीही प्रत्यक्ष द्विमित वस्तू वर्तूळ (सर्कल) आणि प्रत्यक्ष त्रिमित वस्तू घनगोल (स्फिअर) असू शकणार नाही.अत्यंत सूक्ष्म पातळीवर त्या ओबडधोबड असणारच. कारण द्रव्य हे मुळातच गुठळ्या असलेले असते.(लंपी).
तसेच पाय् ची किंमत नक्की किती हे सांगता येणार नाही.

दिवसाचे तास २४ का? विपळे,पळे-घटका, सेकंद, मिनिट-तास, पै, आणे-रुपया, पेन्स, शिलिंग-पौन्ड यांच्या कोष्टकात १२, १६, ६०, ६४, ३६०० का य़ेतात? त्याच कारणाकरिता वर्तुळाचे अंश ३६०. अनेक आकड्याने भाग जातो हेच एकमेव कारण.
लीलावतीमध्ये त्रिज्या शब्द पाहिल्याचे आठवत नाही. व्यास हा शब्द आहे. ज्या म्हणजे धनुष्याची दोरी अर्थात वर्तुळासंबंधात कॉर्ड. -कंसाची दोन टोके जोडणारी सरळ रेषा. दुसरा अर्थ त्रिकोणमितीतली साइन. त्यामुळे 'त्रिज्या' केव्हापासून वापरात आहे ते बघून त्यावरून 'त्रिज्या'ची व्युत्पती शोधायला पाहिजे. पायच्या किमतीचा संबंध असू शकतो.--वाचक्‍नवी

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
ज्या या संस्कृत शब्दाचा अर्थ " धनुष्याची दोरी "(प्रत्यंचा) असा आहे.' जीवा ' या शब्दाचा अर्थही असाच आहे. जीवा म्हणजे वर्तुळावरील दोन बिंदूंना जोडणारा रेषाखंड हे सर्वविदित आहे.
धनुष्याला जोडलेली दोरी आणि वर्तुळाच्या चापाला जोडणारी जीवा यांतील साम्य स्पष्ट आहे. धनुष्याला 'चाप' असाही प्रतिशब्द आहे. (..चापबाण धरो युवा |...रामरक्षा).
आता बाण लावून आकर्ण ओढलेल्या धनुष्याचे चित्र डोळ्यापुढे आणा. प्रत्यंचा जिथपर्यंत ताणली तो बिंदू वर्तूळकेंद्र मानल्यास तिथून परिघापर्यंत जाणार्‍या तीन सरळ रेषा दिसतील. 'ज्या'चे दोनभाग आणि मधे बाण. यावरून 'त्रिज्या' शब्द आला असावा असे वाटते.

१ यनावालांचे पटते.
ज्या, कोज्या हे R*साईन्, R*कोसाईन् म्हणून वापरतात.
२ कसे आणि कोणी हे सांगितले तर कदाचित विश्वास बसणार नाही.
बाप दाखवतो, श्राद्ध करायला लावू नका ( बचावात्मक पवित्र्याचे कारण : बुद्धीभ्रष्ट करणारे समज आणि त्यांना मिळालेली मान्यता)(उदा. एक पाय नाचव रे या अभ्यासपूर्ण लेखातही 'परंतु pची किंमत काढण्याचा पहिला पद्धतशीर प्रयत्न करण्याचे श्रेय आर्किमिडीजला आहे.'
असा उल्लेख आहे. हा गैरसमज आहे (पण सर्वत्र पसरलेला)

व्यासे वारिधि निहते रूपहृते व्याससागराभिहते
त्रिशरादि विषमसंख्याभक्तं ऋणं स्वं पृथक् क्रमात् कुर्यात् ।
(मात्रा मोजुन घ्या कदाचित 'क्रमात' असे आहे, बाय द वे, वृत्त आहे का हे, फर्स्ट् ऑफ् ऑल)
-माधव (ई स चे १४ वे शतक)

म्हणजे व्यासास वारिधिने (म्हणजे ४, पहा: भूतसंख्या) गुणून, रूपहृते म्हणजे १ ला भाग द्या (रूप = १, पुन्हा पहा: भूतसंख्या)
कशाने भाग द्यायचा आहे? - त्रिशरादि विषमसंख्याभक्तं . ३,५,७, ईत्यादी.
ऋणं स्वं म्हणजे +,- .
म्हणजे
परिघ = ४*व्यास ((१/१)-(१/३)+(१/५)-(१/७)+(१/९)-(१/११)+.... ) असे क्रमात् कुर्यात् - करत रहा.
हे अगदी अचुक आहे.
सिंपल बट् नॉट् ईझी.
'लुडोल्फ व्हॅन सिलेन ह्या जर्मन गणितज्ञाने केला. त्याने आपले जवळजवळ सर्व आयुष्य यासाठी खर्च केले आणि १५९६ मध्ये pची किंमत त्याने ३५ दशांशस्थळांपर्यंत काढली. इतकेच नव्हे तर आपल्या थडग्यावर "हा माणूस अमुक तारखेला जन्माला आला, अमुक तारखेला मरण पावला" अशा प्रकारचे काही न लिहिता हे ३५ अंक लिहिले जावेत अशी इच्छा व्यक्त केली आणि ती पूर्णही केली गेली.' - उगाच नाही. एका दशांशस्थळापर्यंत अचुक मूल्य काढण्यासाठी ५०एक टर्म्स् घ्याव्या लागतील.

(पण इथेही आपणच बाजी मारली होती, अन्त्यसंस्कार पद्धतीने, उगाच सिलेनचा टेंभा नको 'सर्वप्रथम ३५ दशांशस्थळांपर्यंत काढणारा' म्हणून. अर्थात त्यांनी जे केले ते वाखाणण्याजोगे आहे. पण शॉर्ट्कट् अन्त्यसंस्कार पद्धतीपुढे ते 'वाखाणण्याजोगी गाढव मेहनत' या प्रकारात मोडेल.)
(पण अन्त्यसंस्कार पद्धती (हा वेगळा लेखच होईल.) किंवा वरिल श्लोक दोन्ही गोष्टी उत्तर देत नाहीत. पद्धत देतात.
उत्तर देणारे अनेक श्लोक आहेत.
आता लक्षात नाहीत. पण एक सुन्दर श्लोक श्लेषाचे अप्रतिम उदाहरण आहे.
एका अर्थाने ती शिवस्तुती आहे, दुसर्‍या अर्थाने विष्णुस्तुती, तिसरा अर्थ पाय् ची अनेक स्थळांपर्यन्त किंमत देतो. (नक्की किती ते आठवत नाही, पण् ८-१० तरी होतेच्) (हा ही भूतसंख्येचा प्रकार होता कि कटपयादि का काहीसा होता.)
आणखिन एक होता (तो वाचून मी मी म्हणणार्‍यांना झीट् यावी).
(कोई मुझको लौटादो वो कागज् की कश्ती वो बारिश का पानी. नाहीतर 'कालाय तस्मै नम: ' व्हायचे.

३ अनेक वेगवेगळी कालमापन पद्धती आहेत. (हा वेगळा लेखच होईल.)
पैकी एकात सूर्याला आकाशात एक चक्कर मारायला ३६० दिवस लागतात, म्हणून.
हा १२*३० असा प्रकार आहे. १२ महिने (१२च का? कारण तेवढ्याच महिन्यात एक चक्कर पूर्ण होते. महिना ३०चाच का? दोन पौर्णिमांमधे/ दोन अमावस्यांमधे तेवढेच अंतर असते. का? चंद्रतर २७ दिवसात एक चक्कर मारतो ना? हो, पृथ्वीसापेक्ष. पण तोवर सुर्य थोडा पुढे निघुन गेला असतो. त्याच्या विरुद्धची बाजू गाठल्याशिवाय अमावस्या, पौर्णिमा होत नाही. म्हणून ३०. )(अनेक आकड्याने भाग जातो हेच एकमेव कारण. असे वाच्नक्वींचे म्हणणे फारसे पटत नाही.)
(पृथ्वीवरून पाहिले असता सूर्यच चक्कर मारत आहे असेच दिसते. आणि हा सारा प्रकार aka ज्योतिषशास्त्र हे पृथ्वीच्या 'फ्रेम् ऑफ् रेफरंन्स्' मधून आहे. )

विबुधनेत्रगजाहिहुताशनत्रिगुणवेदभवारणबाहवः।
नवनिखर्वभिते वृतिविस्तरे परिधिमानमिदं जगुर्बुधा:॥
- क्रियाक्रमकारी
हा भूतसंख्येचा प्रकार आहे.

विबुध = ३३ (=देव, नावे लक्षात नाहीत पण अष्टवसू, १२ आदित्य वगेरे मिळून ३३ नावे होती (मदत करा) )
नेत्र = २,
गज = ८ (दिग्गज ८ आहेत),
अहि = ८ (८ फण्यांचा नाग),
हुताशन = ३ (म्हणजे अग्नि, हे ३ आहेत, गार्हपन्य, आहवनीय, दक्षिणाग्नि. चौरस, अर्धवर्तुळ, आणि वर्तुळातील. अधिक माहिती मधे वेगळा लेखच होईल. असु देत.)
त्रि = ३
गुण =३

वेद = ४
भ = २७ (=नक्षत्रे, न क्षरणारी २७ तारकापुंजे)
वारण = ८ (हत्ती)
बाहव: = २ (हात)
म्हणजे २ ८ २७ ४ ३ ३ ३ ८ ८ २ ३३
=२८२७४३३३८८२३३
नव = ९
निर्खव = १० चा ११ वा घात.
पाय् = २८२७४३३३८८२३३/नव निखर्व
= ३.१४१५९२६५३५९२

फेअर् ईनफ पाय् व्हॅल्यू.

क्यों ? चौंक गये?
त्रिवार दंडवत |