उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
तर्कक्रीदः५२:भट्टतोता यांची ठाणवई
यनावाला
November 25, 2007 - 4:30 pm
देवघरात नंदादीप ठेवण्यासाठी श्री.भट्टतोता यांना एक नक्षीदार लाकडी स्तंभ करून घ्यायचा होता.त्यासाठी त्यांनी
15 सेमी x 15 सेमी चौरस छेदाचा आणि 80 सेमी लांबीचा व्यवस्थित कापलेला लाकडी तुकडा आणला.तो सुताराकडे देऊन ते म्हणाले,
"या लाकडातून तू एक स्तंभ कोरून काढ.त्यासाठी जेवढे लाकुड कोरावे लागेल त्यातील प्रत्येक घनसेमीला सहा पैसे या भावाने पारिश्रमिक देईन. मात्र हे लाकुड विशिष्ट प्रकारचे आहे. ते पाण्याच्या संपर्कात येणार नाही याची दक्षता घे."
सुताराने होकार दिला.स्वतः काढलेले स्तंभाचे मानचित्र (ड्रॉइंग) सुताराकडे देऊन तोताजी निघून गेले.
....कोरलेल्या लाकडाचे घनफळ कसे काढायचे यावर सुताराने विचार केला. त्याने लाकडाचे वजन केले ते बारा किलो भरलें नंतर काही दिवसांतच त्या कुशल सुताराने मानचित्रानुरूप एक सुंदर स्तंभ निर्माण केला.काम पूर्ण झाल्यावर त्याने ठाणवईचे (स्तंभ) वजन केले. ते आठ किलो भरले.
सुताराने भट्टतोतांना हे सर्व सांगितले. "एकूण 18000 घनसेमी लाकडातून 6000 घनसेमी लाकुड कोरले. (वजनांच्या प्रमाणात). त्याची करणावळ रु.360/. ती मिळावी."
त्यावर तोताजी म्हणाले,
"तू छान काम केले आहेस. तुझे गणिताचे ज्ञानही उत्तम आहे.पण कोरलेल्या ला़कडाचे घनफळ तू वजनांच्या प्रमाणात काढलेस.सगळे लाकुड सारखेच जड असेल (युनिफॉर्म डेन्सिटी) कशावरून? समजा बाहेरचे लाकुड हलके आणि आतले जड असले तर? अथवा त्याच्या उलट असले तर? म्हणून तुझे गृहीतक योग्य नाही. तेव्हा किती लाकुड कोरलेस त्याचे प्रत्यक्ष घनफळ काढून दाखव. तुझे पारिश्रमिक मिळेल. त्याविषयी निश्चिंत रहा."
"तोताजी, मला मुळीच संशय नाही. तुमचे आव्हान मी स्वीकारतो."
कोरलेल्या लाकडाचे नेमके घनफळ किती ते त्याने काढून दाखविले. ते 7200 घनसेमी भरले.भट्टतोतांनी रु.432/ पारिश्रमिक दिले.
तर घनफळ काढण्यासाठी त्या बुद्धिमान सुताराने कोणती पद्धत वापरली
........................................................................................................................
कृपया उत्तर व्यनि. ने पाठवावे.
......................................................................................................................
........................................................................................................................
कृपया उत्तर व्यनि. ने पाठवावे.
......................................................................................................................
दुवे:
Comments
तर्कक्रीडा ५२: पहिले उत्तर
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
हे कोडे वेगळ्या प्रकारचे आहे. तरीसुद्धा एक अचूक उत्तर आलेच. " ते पाठवणारे कोण असतील ओळखा पाहू?" असा प्रश्न जर मी विचारला तर बहुतेक जण एक मुखाने म्हणतील "धनंजय." हो. तुम्ही बरोब्बर ओळखलेत. तेच ते.
ठाणवई..अवघड कोडे?
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
वस्तुतः हे कोडे तसे अवघड नाही. केवळ ठाणवईचे घनफळ (व्हॉल्यूम) काढावयाचे आहे. त्यात गणित काहीच नाही. कोणतीही घन (सॉलिड) वस्तू द्रवात पूर्ण बुडविली असता ती आपल्या आकारमाना एवढ्या आकारमानाचा द्रव बाजूला सारते., हे आपल्याला ज्ञात आहेच. इथे द्रव वापरायचा नाही एवढेच.श्री. धनंजय लिहितात त्याप्रमाणे द्रवसदृश पदार्थ वापरता येईल.कोड्यात दिलेल्या संख्यांना काही महत्त्व नाही.
द्रवसदृश पदार्थ?
द्रवाखेरीज द्रवसदृश म्हणजे दाबला न जाणारा पदार्थ कोणता? हवा नाही किंवा पीठ-मीठ नाही. प्रकाशकिरण सुद्धा वापरता येणार नाहीत. त्यामुळे कोरलेल्या स्तंभाचे घनफळ काढणे कठीण दिसते आहे.--वाचक्नवी
हे अपेक्षित उत्तर नव्हे, तरीही गंमत म्हणून
सुताराकडे पुढील सामग्री उपलब्ध नसल्यामुळे हे कोड्याचे उत्तर नाही.
एका कोरड्या पात्रात मूळ आकाराचा लाकडाचा तुकडा ठेवावा (मोजमापाने घनफळ माहीत आहे = क्ष). (लाकडासकट ते पात्र पाण्यात तरंगावे. लाकडाला पाणी लागता कामा नये!) एक मेणबत्ती चिकटवलेली बशी घ्यावी, अशी की जी पाण्यात तरंगेल. एका मोठ्या पात्रात चुन्याच्या निवळीचे पाणी घ्यावे. त्यात लाकूड असलेले पात्र आणि मेणबत्ती (ज्योत पेटवून) अलगद तरंगवावी. दोन्ही वस्तूंवर एक मोठे काचपात्र उपडे करावे, जेणेकरून मेणबत्ती, लाकडाचे तरंगते पात्र हवाबंद होईल. काचपात्राला आडव्या रेघा असाव्यात (घनफळ मोजण्यासाठी). हवाबंद भागातला प्राणवायू संपला की मेणबत्ती विझेल. कार्बन डायोक्साईड चुन्याच्या निवळीत विरघळेल आणि काचपात्रात पाणी वर चढेल. जितके चढेल, त्यावरून आतील प्राणवायूची मात्रा समजेल. (=य) {चढलेल्या पाण्याच्या ऋण-दाबाचा परिणाम होणार नाही अशी सोय सहज करता येईल, पण उगाच आणखी गुंतागुंत नको - तो ऋणदाब फारसा नाही असे मानून चलू.)
आता नेमक्या अर्ध्या घनफळाचा लाकडी तुकडा (क्ष/२) त्या पात्रात ठेवून हाच प्रयोग पुहा करावा. पुन्हा आतल्या प्राणवायूची मात्रा समजेल (क).
हे अंक चौकटीच्या कागदावर चितारावे ([क्ष, य], [क्ष/२, क] ), त्यांना जोडणारी तिरकी रेषा काढावी.
आता ठाणवई पात्रात घालून प्रयोग करावा. पुन्हा आतल्या प्राणवायूची मात्रा समजेल (ख).
चौकटीच्या कागदावर (ख) च्या पातळीवर आडवी रेषा काढावी, तिरक्या रेषेला जिथे छेद जाईल, ते ठाणवईचे घनफळ.
(हे बीजगणितानेही सोडवता येते. पण भूमितीने सोडवण्यात एक गंमत आहे.)
"द्रवसदृश पदार्थांनी घनफळ मोजायचे" याचे हे अतिरेकी उदाहरण. येथे आंशिक दाबाचा प्राणवायू हे द्रव वापरले आहे, हे लक्षात यावे.
वरील पद्धत सर्वत्र लागू आहे
म्हणजे नाजूक आणि असामान्य आकाराच्या कुठल्याही वस्तूचे घनफळ मोजण्यास लागू आहे. उदाहरणार्थ पिसे, कापसाचे बोंड, जरी किंवा विणलेली लेस, शेपूच्या भाजीची जुडी, वगैरे.
(आमचा भाजीवाला मात्र शेपूच्या जुड्यांचे मोजमाप करण्यासाठी रेती वापरत असावा. नाहीतर इतकी कचकच का हा प्रश्नच पडतो.)
अशा वस्तूंसाठी रेती वापरता येणार नाही, अणि बहुतेक पाणीही वापरता येणार नाही. या पद्धतीतच बारीकसारीक फेरफार करून (म्हणजे तत्त्व तेच वापरून) पाण्यातच तगू शकणार्‍या नाजूक शेवाळ्याचे घनफळ काढता येईल.
म्हणून थोडी गंमत वाटावी.
हे म्हणणे पडले?
हे म्हणणे पडले? म्हणजे खाली पडले? शब्द(किंवा म्हणणे) खाली पडू न देणे याचा अर्थ (१)म्हणणे ऐकणे (२) उत्तराला तोडीस तोड प्रत्युत्तर देणे; शब्दाने शब्द वाढवणे. यातले काय घडले? म्हणणे ऐकले नाही की प्रत्युत्तर केले नाही? हे म्हणणे पडले याचा अर्थ चुकीचे ठरले असाही होईल.
हे म्हणणे पडले आणि असे म्हणणे पडले या दोन्ही वाक्यांचा अर्थ भिन्न होतो. (चूभूद्याघ्या).
असो. द्रवसदृश वस्तूंपैकी बोरिक किंवा टाल्कम पावडर, तसेच सिमेन्ट मला वाटते दबनशील आहेत. रेती नसावी. त्यामुळे रेती वापरून घनफळ काढल्यास ते अचूक येईल अशी कल्पना आहे.--वाचक्नवी
तर्कक्रीद
तर्कक्रीद हा शब्द वाचायला, ऐकायला छान वाटला. उर्दू किंवा फ़्रेन्च आहे असा भास होतो. असे गोड, सौम्य शब्द भाषेत आले की एरवी कर्णकटू वाटणारी मराठी अधिक मधुर वाटेल.--वाचक्नवी
टंकनदोष
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
तर्कक्रीद हा माझ्याहातून घडलेला टंकनदोष आहे. योग्य ती सुधारणा करायला हवी होती. पण शीर्षक पुन्हा वाचायचे राहून गेले.तरी क्षम्यताम्. योग्य शब्द 'तर्कक्रीडा' असाच हवा. श्री. वाचक्नवी यांनी ही चूक गोड मानून घेतली हा त्यांच्या मनाचा मोठेपणा आहे.
योग्य कल्पना
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री. वाचक्नवी लिहितात;"रेती वापरून घनफळ काढल्यास ते अचूक येईल अशी कल्पना आहे.--वाचक्नवी" ही कल्पना योग्य आहे. आता सुताराने नेमके काय केले असावे ते लिहिले की उत्तर सिद्ध झाले
»
गोडे तेल, पारा ?
द्रवसदृशच का? पाणी सोडून इतर द्रव पदार्थ का चालणार नाहीत?
(दारू, पेट्रोल, गोडे तेल, पारा वगैरे)
तर्कक्रीडेचा पूर्वानुभव पहाता कोड्यात प्रत्यक्ष मनाई न केलेले काहीही चालले पाहिजे.
- दिगम्भा
उत्तराची व्यवहार्यता
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
**********************************
श्री. दिगम्भा लिहितात,..... "द्रवसदृशच का? पाणी सोडून इतर द्रव पदार्थ का चालणार नाहीत?
(दारू, पेट्रोल, गोडे तेल, पारा वगैरे)
तर्कक्रीडेचा पूर्वानुभव पहाता कोड्यात प्रत्यक्ष मनाई न केलेले काहीही चालले पाहिजे."
....केवळ तार्किक कोडे असेल तर हे ठीक.प्रस्तुत कोडे तसे नाही."...सुताराने कोणती पद्धत वापरली?" असा प्रश्न आहे.... 'वापरावी? असा नाही. तसेच तो बुद्धिमान आहे. त्यामुळे व्यावहारिक उत्तराची अपेक्षा आहे.
**पारा १८ लिटर लागेल. त्याचे वजन २५० किलो.(अंदाजे).मूल्य किती त्याची कल्पना नाही.या वजनाने खोक्याचे सांधे निखळतील. तसेच ठाणवई पार्‍यात बुडवून ठेवण्यासाठी तिच्यावर १५०किलो वजनाचा दाब ठेवावा लागेल.यास्तव पारा अव्यवहार्य.
**अठरा लिटर तेल. त्यातील १०.८ लिटर बाजूला सारलेले.किती बरबराट होईल याची कल्पना करावी.(सैपाक घरातील ओट्यावर अथवा भोजनमेजावर दोन चमचे तेल सांडले तर किती घासपूस करावी लागते!)...नंदादीप ठेवल्यावर कालांतराने ठाणवई तेलकट होईल हे खरे. पण देवघरात ठेवण्या पूर्वीच तिला सतैल स्नान घालायचे?
** पेट्रोल (व्हलटाईल) उडून जाईल त्याचा हिशोब लावणे अशक्यच.
**देवघरात ठेवायची ठाणवई दारूत आकंठ (नव्हे नखशिखान्त ) बुडवून काढायला श्री. भट्टतोता आक्षेप घेतील असे वाटते.
एच. ई. दुदिनी
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
ठाणवई कोड्याच्या मूळस्रोताविषयी अंधुकशी कल्पना होती. त्या अनुषंगाने पुस्तके चाळली. "दि कॅण्टरबरी पझल्स (ले. हेन्‍री अर्नेस्ट दुदिनी...डि यु डि ई एन ई वाय..प्रथमावृत्ती १९१९) या पुस्तकात मूळ कोडे सापडले. लेखकाविषयी मलपृष्ठावर लिहिले आहे:
..." Henry Dudeney[1847-1930)has been called England's greatest inventor of mathematical puzzles.हिज टॅलेंट फॉर क्रीयेटिंग फॅसिनेटिंग पझल सिच्युएशन्स,हिस नॉलेज ऑफ द अनयूझुअल बायपाथस् of मॅथेमॅटिकस्,and हिज गिफ्ट फॉर फेरेटिंग आऊट सोल्युशन्स टु प्रॉब्लेम्स दॅट सीम्ड इन्सोल्युबल , ऑल एनेबल्ड हिम टु क्रीएट सम ऑफ दे मोस्ट इंजीनियस मॅथेमॅटिकल and लॉजिकल पझल्स एव्हर इन्व्हेंटेड."
मूळ कोडे
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
कारपेंटर्स पझल
दि कार्पेंटर्स पझल
......दि कार्पेण्टर स्पोकः "देअर ड्वेल्वेथ इन द सिटी ऑफ लंडन अ सर्तन स्कॉलर.वन डे हि डिड ब्रिंग अन्टु मी अ पीस ऑफ् वुड दॅट हॅड थ्री फीट इन् लेंग्थ, वन फूट इन् ब्रेड्थ ऍण्ड वन फूट इन डेप्थ, ऍण्ड डिड डिझायर दॅट इट बि इट बि कार्व्ड ऍण्ड मेड इन्टु द पिलर. ऑल्सो डिड ही प्रॉमिस सर्टन पेमेंट फॉर एव्हरी क्युबिक इंच ऑफ् वुड कट अवे बाय द कार्व्हिंग देअरऑफ.
"नाऊ आय डिड ऍट फर्स्ट वे द ब्लॉक ऍण्ड फाऊंड टु कंटेन ३२ पौंडस, व्हेअरऍज द पिलर डथ नाऊ वे बट २० पौंडस.ऑफ अ ट्रुथ दॅट आय देअरफर कट अवे वन क्युबिक फुट. बट धिस स्कॉलर डथ होल्ड दॅट पेमेंट मे नॉट दस बी फेअर्ली मेड बाय वेट,सिन्स द हार्ट ऑफ द ब्लॉक मे बि हेवीयर , ऑर पर्चान्स मे बि लायटर ,दॅन द आऊटसाईड.
"हाऊ देन मे आय विथ ईझ सॅटिस्फाय द स्कॉलर ऍज टु द क्वांटिटी ऑफ वुड दॅट हॅथ बीन कट अवे?"
....धिस ऍट फर्स्ट साईट लुक्स अ डिफिकल्ट क्वेश्चन, बट इट इज सो ऍब्सर्डली सिंपल दॅट द मेथड एंप्लोईड बाय द कारपेंटर शुड बि नोन टु इव्हरिबडी टुडे, फॉर इट इज अ व्हेरी उजफुल "रिंकल".
मूळ कोड्याचे उत्तर
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
दि कारपेंटर मेड अ बॉक्स हॅविंग इंटर्नल डायमेन्शन्स एक्झॅक्टली द सेम ऍज दॅट ऑफ द ओरिजनल ब्लॉक ऑफ वुड.(३',१',१',) ही देन प्लेस्ड द कार्व्हड् पिलर इन द बॉक्स ऍण्ड फिल्ड अप ऑल द व्हेकंट स्पेस विथ अ फाईन ,ड्राय सॅण्ड, व्हिच ही केअरफुली शूक डाऊन अन्टिल ही कुड गेट नो मोअर इन्टु द बॉक्स. देन ही रिमुव्हड् द पिलर ,टेकिंग ग्रेट केअर नॉट टु लूज एनी ऑफ द सॅण्ड., व्हिच ,ऑन बिइंग शेकन डाऊन अलोन इन बॉक्स ,फिल्ड अ स्पेस इक्वल टु १ क्युबिक फूट.धिस वॉज, देअरफर ,द क्वांटिटी ऑफ वुड दॅट हॅड बीन कट अवे.
म्हणजे माझा तर्क खरा होता.
रेतीचा उपयोग करून घनफळ काढता येईल हा माझा अंदाज शंभर टक्के बरोबर निघाला, याबद्दल मी माझीच पाठ का थोपटून घेऊ नये?
मला सुचलेली रीत जवळजवळ सुताराने वापरली तशीच होती. पण श्री. धनंजयांच्या प्रतिसादामुळे रेतीचा केवळ उल्लेख करून मी आवरते घेतले.
श्री. धनंजयांची रीत वेगळीच असावी. कारण त्यांच्या पद्धतीप्रमाणे पिसासारख्या नाजूक वस्तूचे , किंवा शेपूच्या जुडीचे घनफळ काढता येते. अर्थात या कामांकरिता रेतीचा उपयोग सर्वस्वी त्याज्य! त्यांची रीत समजली तर बरे होईल.
आधुनिक काळातल्या अल्ट्रासॉनिक्स तंत्राने कदाचित ठाणवईचे नाही, पण पिसासारख्या किरण शोषू शकणार्‍या वस्तूचे घनफळ काढता येईल असे वाटते.. --वाचक्नवी
पद्धत वेगळी नाही
रेतीने घनफळ काढायची माझी पद्धत जवळजवळ वर इंग्रज सुताराने सांगितलेली तीच. ती सुतारास अव्यवहार्य, पण प्रयोगशाळेत व्यवहार्य पद्धत मी वर दिली, ती या कोड्याला उत्तर नाही तर केवळ गंमत म्हणून. कारण पिसासारख्या वस्तू (ज्यांच्या सर्व कंगोर्‍यांत, भेगांत, रेती शिरणार नाही) त्यांचे घनफळ काढायला रेती उपयोगाची नाही. पण प्राणवायूची पद्धत उपयोगी पडेल.
त्या इंग्रज सुताराने मूळ ठोकळ्याच्या आकाराचा डबा बनवला, माझ्या मते ठाणवईचा मूळ ठोकळा मावेल असे कुठलेही पात्र चालेल. विशेष पात्र बनवायची गरज नाही. तसे पिंप सुताराकडे असेल असे व्यवहाराला धरून आहे. (ठोकळा मावल्यावर, पिंप जितके लहान तितके सोयीचे, हे सांगणे नलगे.) मूळ आकारमानाचा एक ठोकळा सुताराने तयार ठेवावा. (नसला तरी चालेल, पण असला तर सोयीचे आहे. तयार नसला तर मूळ ठोकळ्याचे घनफळ १८००० घन सेमी असल्याचा विदा हिशोबासाठी वापरावा लागेल, तो हिशोब सोपा आहे.) आधी ठाणवई घालून पात्रात रेती भरावी. मुख्य गोष्ट ही की पात्र अलगद हलवून हलवून रेती पूर्ण नीट बसवावी. शीग काठाशी सपाट कातरावी. मग पात्रातली ती रेती काळजीपूर्वक दुसर्‍या पात्रात किंवा सुपात (सांडलवंड न होऊ देता) काढून घ्यावी. (पूर्ण काढायची गरज नाही. ठाणवई काढून घेऊन मूळ आकाराचा ठोकळा आत घालता येईल, इतपतच रेती सुपात काढून घेतली तरी पुरे.) आता पिंपात मूळ आकाराचा ठोकळा घालून सुपातली रेती पुन्हा पिंपात भरावी. पिंप अलगद हलवून रेती बसवावी. काठापर्यंत सपाट आधीची पूर्ण रेती मावणार नाही. जितकी रेती उरेल, ते कोरलेल्या भागाचे घनफळ.
शेपूच्या जुडीचे घनफळ रेती वापरून काढू नये असे माझे मत आहे (आमच्या भाजीवाल्याचे काही का मत असेना!) तशा नाजूक वस्तूंसाठी मात्र मला आंशिक दाबाच्या द्रवाने मोजण्याची पद्धतच सुचते (वरच्या माझ्या प्रतिसादातील "आंशिक दाबाचा प्राणवायू" हे केवळ एक उदाहरण). "मोजायच्या वस्तूस इजा न करता मानवेल असे आंशिक द्रव" असा शब्दप्रयोग अधिक नेमका होईल. उदाहरणार्थ, जर पाण्यातल्या नाजूक शेवाळ्याचे घनफळ काढायचे असेल तर दुधाचा उपयोग करून ते घनफळ काढता येईल.
ही फार लांबण होते आहे.
एका पात्रात(डब्यात/ बादलीत/पिपात) गच्च रेती भरा. ती रिकाम्या सुपात ओता. आता ठाणवई ठेवून परत पात्र गच्च भरा. उरलेल्या रेतीचे घनफळ १८००० मधून वजा करा. बस्स!
आधुनिक तंत्रज्ञान-सोनोग्राफी किंवा तत्सम विजाण्विक रीत शोधता येणार नाही का? सुतारासाठी नाही पण आपल्यासाठी. -वाचक्नवी