चार गुणिले चार असा भद्र चौरस हजारो वेगवेगळ्या पद्धतीने लिहिता येतो. परंतु आयत्या वेळी त्यातली एकही पद्धत आठवत नाही. श्री. यनावाल्यांनी दिलेल्या श्लोकामुळे एकतरी पद्धत विनासायास आणि विनाप्रयोग लक्षात ठेवता येईल. तीन गुणिले तीन किंवा ५ बाय ५ वगैरे चौरस लिहिणे इतके सोपे आहे की त्यासाठी श्लोकाची गरज नाही. कुठलाही लिहिलेला चौरस चारी बाजूने फिरवून चार, आणि त्याच्या आरशातल्या प्रतिमा धरून आणखी चार अशा आठ पद्धतीने मांडता येतो. याचाच फायदा घेऊन पूर्वी वर्तमानपत्रात असा सोडवलेला चौरस प्रवेशमूल्यासहित पाठवल्यास बक्षिसाचे आमिष दिलेले असे.--वाचक्‍नवी

श्री. य. ना. वालावलकर हे थोर गणिती इतिहाससंशोधक आहेत यात वादच नाही.
भारतीय तसेच इतरही संस्कृतींनी शोधलेल्या गणिती पद्धतींची माहिती त्यांनी करून द्यावी.
विशेषतः ग्रीक, रोमन आणि इजिप्त या तीन संस्कृतींमधील खगोलशास्त्रीय गणिताबद्दल कुतुहल आहे.
प्राचीन बीजगणित ते आर्वाचीन कॅल्क्युलस या प्रवासाबद्दल वाचणे आवडेल.

या लेखाबद्दल अभिनंदन आणि आभार.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्लोक पद्धतीने सोळा घरांचा चौरस रचता येतो. पण त्यासाठी श्लोक पाठकरणे आले. ते नको असेल तर दुसरी सोपी रीत म्हणजे "त्रुटित कर्ण पद्धति "
**चार गुणिले चार चा चौरस आखून त्यात सोळा घरे पाडा.चौरसाला अ,ब,क,ड असे नाव द्या.अब्,डक आडव्या बाजू.अड,बक उभ्या (व्हर्टिकल ) . अक,बड हे कर्ण त्रुटित रेषांनी काढा.
**आता अ पासून प्रारंभ करून घरांचे क्रमांक मोजा.ज्या घरातून कर्ण जातो ती सोडून अन्य् घरांत त्यांचे क्रमांक लिहा.चार कोपरे आणि मधली चार अशी आठ घरे रिकामी राहातील. (त्यांतून कर्ण जातात) इतर घरांत (२, ३ , ५, ८, ९,१२,१४,१५) या संख्या येतील.अ पासून मोजल्यास या संख्या म्हणजे त्या त्या घराचा क्रमांक होय.
** आता क पासून प्रारंभ करून डावी कडे जात घरांचे क्रमांक मोजायचे. ज्या घरातून कर्ण जातो त्या घरात त्याचा क्रमांक लिहा. क घरात १ ड घरात ४ ब जवळ १३ तर अ जवळ १६ अशा संख्या येतील .मधल्या चार घरांत ६,७,१०,११ येतील.
**सर्व घरे भरली. भद्र चौरस सिद्ध झाला.

...........................................................
ज्या घरांतून कर्ण जात नाही त्या घरांत भरलेल्या संख्या

--, २ , ३ ,--
५, --, --, ८
९, --, -- १२
--, १४, १५,--
..........................................................................
पूर्ण भद्र चौरस
१६, २, ३, १३
५, ११, १०, ८
९,..७, ६,. १२
४, १४, १५, १
ज्या घरांतून कर्ण जातो त्यांचे क्रमांक लाल रंगात दाखवले आहेत्. ते क पासून आरंभ करून डावीकडे जात मोजले आहेत.

इतकी सोपी रीत ! आजपर्य़ंत कुठेच वाचायला मिळाली नाही. हा चौरस श्लोकाच्या चौरसापेक्षा वेगळा आला. अशा अजून किती युक्त्या असतील कोण जाणे ! --वाचक्‍नवी

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
चार गुणिले चार च्या भद्रचौरसाआठी असलेल्या या रीतीचा थोडा विस्तार (एक्ष्टेन्शन) करून ४ च्या पटीतील (८ बाय ८,१२ बाय १२ इ.) कोणत्याही श्रेणीचा भद्रचौरस सहज लिहिता येतो. समजा ८ व्या श्रेणीचा चौरस लिहायचा आहे. तरः
**८ गुणिले ८ चा चौरस (अबकड) आखा. त्यात ६४ घरे पाडा. चुका टाळण्यासाठी मोजून मापून आकृती काढणे आवश्यक आहे.यात १६/१६ घरांचे चार चौरस वेगळे दिसतील असे करा.म्हणजे मधे दोन ठळक रेषा काढा. आता त्या चारही चौरसांचे तुटक कर्ण काढा. म्हणजे आकृतीत सहा कर्ण दिसतील. दोन मोठे आणि चार लहान.
*अ पासून प्रारंभ करून उजवी कडे पार ब पर्यंत जात घरे मोजा. ज्या घरातून कर्ण जात नाही (लहान अथवा मोठा) त्याच घरात त्याचा क्रमांक लिहा.अशी सर्व ६४ घरे मोजा. ६३ ही संख्या लिहिली जाईल. ६४ नाही. कारण त्याघरात कर्ण आहे.
** आता क पासून आरंभ करून डवीकडे जात सर्व घरांचे क्रमांक मोजा. ज्या घरात कर्ण आहे त्यात संख्या लिहा. ('क घरात १ ,'ड' त ८, 'ब' घ्ररात ५७ 'अ' त ६४ ).
** सर्व ६४ संख्या भरून झाल्या की भद्रचौरस सिद्ध.
...................................................................
त्रुटित कर्ण पद्धति केवळ ४ च्या पटीतील चौरसांसाठीच आहे. अन्य श्रेणीच्या चौरसांकरिता नाही.

विषम चौकटी असलेल्या जादूच्या चौरसासाठी नियम अगदी सोपा आहे. उदाहरण म्हणून ५ x५ चा चौरस तयार करु.

१. वरच्या ओळीतील मधल्या चौकोनात १ लिहावा.

२. पुढील अंक नेहमी ईशान्येच्या ( North-East) चौकटीत लिहावा.

३. ती चौकट आधीच भरली असेल तर पुढील अंक आधीच्या अंकाच्या खालच्या चौकटीत लिहावा.

४. 'ईशान्य' चौरसाच्या बाहेर जात असेल तर चौरसाची पहिली ओळ सहावी/ पहिला स्तंभ सहावा अशी कल्पना करून ईशान्येची चौकट मिळवावी.

अशा रीतीने ५ x५ चा चौरस पुढीलप्रमाणे तयार होईल.

१७.. २४.. १.. ८.. १५ ..

२३.. ५.. ७.. १४.. १६..

४.. ६.. १३.. २०.. २२..

१०.. १२.. १९.. २१.. ३..

११.. १८.. २५.. २.. ९ ..
==================================

(टेबल करायचा कंटाळा आला आहे. जरा समजून घ्या(वे))

सहा गुणिले सहा हा भद्र चौरस करण्याची सोपी रीत आपल्याला हवी होती. आवडाबाईंनी केली तशी आकड्यांची अदलाबदल करून हवे तेवढे चौरस करता येतील. उदाहरणार्थ:
१७ २८ ६ २६ १० २४
२१ ३२ ७ ३ २३ २५
३१ ९ २ २२ २७ २०
८ १ ३३ ३५ १९ १५
३० ५ ३४ १२ १४ १६
४ ३६ २९ १३ १८ ११
--वाचक्‍नवी

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
***********************************
चौथ्या श्रेणीचा भद्रचौरस लिहिण्यासाठी जो श्लोक दिला आहे त्यात : ग्रह = ९ , तिथी = १५ , अवतार = १० असे संख्यासंकेत आहेत. पद्यरचनेत संख्येसाठी शब्द् ,तसेच शब्दाकरिता संख्या वापरण्याचा प्रघात आहे. "दुर्गे दुर्घट भारी..." या आरतीत "चारी श्रमले परंतु.. |" चा अर्थ "चारही वेद दमले." . तसेच "साही विवाद करता पडली प्रवाही " यात 'साही' = सहा शास्त्रे म्हणजे षड्दर्शने.
भद्रचौरसाच्या मूळ श्लोकात ५ या संख्येकरिता 'बाण' असा संकेत आहे. पुष्पधन्वा मदनाचे पाच बाण प्रसिद्ध आहेत. म्हणून त्याला 'पंचशर' असेही नाव आहे. पण आपल्याला 'पंच बाणापेक्षा 'पंचप्राण' अधिक परिचित .म्हणून थोडा बदल केला. तसेच १ या संख्येसाठी मूळ श्लोकात 'कु'( पृथ्वी ) आहे.तो 'भू' केला.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
(४ गुणिले ४ ) भद्रचौरस लिहिण्याची तुटक कर्ण पद्धती तुम्हांल अवगत आहे.त्यात थोडे विकसन करून ६,१०,१४...इ. श्रेणींचे चौरस रचता येतात. समजा (६ गुणिले ६) चा चौरस लिहायचा आहे.त्याकरिता पायर्‍या पुढील प्रमाणे:--
(१) सहा बाय् सहाचा ३६ घरांचा चौ. आखा. मधला ४ बाय् ४ चौ ठळक करा. म्हणजे आत ४*४ चौ. आणि बाहेर एक घर रुंदीची चौकट दिसेल.( १० बाय् १० साठी मधे ८*८ चौ. आणि बाहेर एक घर रुंदीची चौकट दिसेल.)
(२) ३६ संख्यां पैकी मधल्या चौरसात १६ तर बाहेरच्या चौकटीत २० संख्या भरायच्या.त्यांचे तीन भाग असे:
.....पहिल्या दहा (२०/२)=[प]= १ ते १०
......मधल्या सोळा(४*४) = [म] = ११ ते २६
......शेवट्च्या दहा (२०/२) =[श] = २७ ते ३६.
(३) मधला चौरस ४ बाय् ४. त्याचे तुटक कर्ण काढा. घरांचे क्रमांक मोजताना अकरा, बारा, तेरा,चौदा.. असे मोजावे. याप्रमाणे त्रुटित कर्ण पद्धतीने मधला चौरस भरा. त्याचा इष्ट योग (बेरीज) ७४ येईल.(३४+१०*४). ६ बाय ६ चौरसाची बेरीज १११ असते. म्ह. प्रत्येक ओळ, स्तंभ,कर्ण यावरील टोकाच्या दोन संख्याम्ची बेरीज ३७ हवी.
(४) एका कर्णाच्या टोकांवर (१, ३६ ) तर दुसर्‍यावरवर (२,३५) लिहा.
१...१०...३४...३३...३१....२
८...२६...१२...१३...२३...२९
७...१५...२१...२०...१८...३०
२८...१९...१७...१६...२२....९
३२...१४...२४...२५...११....५
३५...२७....३....४....६...३६
.....(या संबंधीचे अधिक विवेचन पुढील प्रतिसादात )

पुढे काय करायचे? उरलेले आकडे भरताना काहीही नियमबद्धता दिसत नाही आहे. --वाचक्‍नवी

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
१...१०...३४...३३...३१....२
८...२६...१२...१३...२३...२९
७...१५...२१...२०...१८...३०
२८...१९...१७...१६...२२....९
३२...१४...२४...२५...११....५
३५...२७....३....४....६...३६
**********************************************************************
काही निरीक्षणे :
*मधल्या चौरसात मधल्या सोळा संख्या (११ ते २६) आहेत.
*बाहेरच्या चौकटीत पहिल्या दहा (१ ते १०) आणि शेवटच्या दहा (२७ ते ३६ ) अशा २० संख्या आहेत.
* आतला चौरस "त्रुटित कर्ण पद्धती "ने भरला आहे.
* पहिली आणि शेवटची ( १,३६ ) या संख्या एका कर्णाच्या टोकांवर ,तर (२, ३५) या संख्या दुसर्‍या कर्णावर आहेत्.
*चौकटीच्या पहिल्या पंक्तीत ३ संख्या (१ ते १० )मधील तर ३ संख्या २७ ते ३६ मधील आहेत.
* वरील निरीक्षण दोन्ही ओळी तसेच दोन्ही स्तंभ यांना लागू आहे.
*पहिली पंक्ती (ओळ) पाहा. त्यात मधल्या ४ संख्यांची बेरीज (१११-३७=७४ ) आहे. मात्र या चारांतील कोणत्याही दोन संख्यांची बेरीज ३७ नाही.
* वरील नियमानुसार पहिली ओळ भरून झाली की मधल्या ४ संख्यांतील प्रत्येकीच्या समोरची शेवटच्या ओळीतील संख्या अशी भरली आहे की त्या दोन संख्यांची बेरीज ३७ आहे (१०,२७) ,(३४,३)...इ
* वरील प्रमाणेच दोन स्तंभांविषयी निरीक्षणे आहेत.
*** अशाच पद्धतीने १० चा चौरस भरता येतो. मधे ८ गुणिले ८चा चौरस. भोवती एक घर रुंदीचा चौकट. ..इ
स्वतः करून पाहिल्यास अवघड नाही.

म्हणजे पहिल्या आणि शेवटच्या ओळी/स्तंभात आकडे भरायला बर्‍यापैकी स्वातंत्र्य आहे. अर्थात भद्र चौरसाचे एकमेव बरोबर उत्तर असा काही प्रकार नसल्याने असे असणे साहजिकच आहे. --वाचक्‍नवी