उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
गणित सोडवा.
रंग माझा वेगळा
March 31, 2007 - 2:05 pm
हे एक एकसामयिक समिकरण आहे.
x2+y=7
x+y2=11
याचे उत्तर आहे:-
x=2 आणि y=3
कुणी हे गणित पायर्‍या-पायर्‍यांनी (stepwise method) सोडवून देईल का?
(x2 म्हणजे x चा वर्ग हे सांगण्याची आवश्यकता नाहीच.)
दुवे:
Comments
न्यूटन पध्दती
एकाच चलातील (variable) समीकरण असेल तर न्यूटन-राफसन या लोकप्रिय पध्दतीने सोडविता येऊ शकतात.या पध्दतीमध्ये टेलर अथवा इतर सारणींचा वापर केलेला नसून फलनावरील एखाद्या प्रथम कल्पित बिंदूपासून ( initial guess) फलनाला एकाच बिंदूत स्पर्श करणारी रेषा (tangent) काढण्यात येते.ती रेषा क्ष अक्षाला छेदेल त्या बिंदूला अनुसरून (corresponding) असलेला फलनावरील बिंदू हा पुढील कल्पित बिंदू म्हणून घेण्यात येतो. अशाप्रकारे ही क्रिया चालू ठेवण्यात येते.दोन पाठोपाठच्या tangent क्ष अक्षाला छेदतील त्या बिंदूंमधील अंतर आपल्या अचूकतेच्या मोजमापापेक्षा कमी असेल तर सर्वात अलिकडल्या कल्पित बिंदूचा क्ष coordinate (मराठी शब्द?) हे उत्तर असते.या न्यूटन-राफसन पध्दतीला काही मर्यादा आहेत. कारण या पध्दतीचा भर tangent क्ष अक्षाला छेदेल तो बिंदू शोधून काढण्यावर असतो.पण tangent क्ष अक्षाला छेदतच नसेल तर?म्हणजे dy/dx जर शून्य असेल तर ही पध्दती वापरता येत नाही.
एकाहून अधिक चलातील अरेषीय समीकरणे सोडवायची असतील तर न्यूटन-राफसन पध्दतीचे अनेक चलातील extension वापरावे लागेल.या पध्दतीत 'न' चलातील 'न'-मितीय पृष्ठावर (surface) बिंदूत स्पर्श करणारे प्रतल काढण्यात येते.त्यासाठी 'न' रेषीय समीकरणे सोडवावी लागतात आणि एका चलातील समीकरणाप्रमाणेच पुढील कल्पित बिंदू शोधून काढण्यात येतो.
अधिक माहिती http://il.water.usgs.gov/proj/feq/feqdoc/chap9html/chap_9_2.html सारख्या अनेक ठिकाणी.
अवांतर-- गणितात वापरता येतील असे योग्य मराठी शब्द कोणी सांगितल्यास बरे होईल.
---विल्यम जेफरसन क्लिंटन (मोनिकाचा पूर्वीचा प्रियकर)
उत्तर १
उत्तर माहिती असल्याने एक सोपे उत्तर इथे सांगतो.
क्ष२ +य = ७ समीकरण १
क्ष + य २ = ११ समीकरण २
य = ७ - क्ष२
समीकरण २ असे बनते
क्ष + (७ - क्ष२)२ = ११
क्ष + ४९ - १४ क्ष२ + क्ष४ = ११
क्ष४ - १४ क्ष२ + क्ष + ३८ = ०
क्ष४- ८क्ष + १६ - (६क्ष२ - क्ष - २२) = ०
(क्ष२ - ४)२ - (६क्ष२ - क्ष - २२) = ०
( क्ष२ - ४)२ - ( ६क्ष२ - १२क्ष + ११ क्ष - २२) = ०
(क्ष२ - ४)२ - { (६क्ष (क्ष - २) + ११ ( क्ष - २)} = ०
(क्ष२ - ४)२ - { ( ६क्ष + ११) (क्ष - २)} = ०
(क्ष + २)२ (क्ष - २)२ - { ( क्ष - २) ( ६क्ष + ११) } = ०
( क्ष - २) { ( क्ष - २) ( क्ष + २) २ - ( ६क्ष + ११)} = ०
(क्ष - २) ( क्ष३ - २क्ष२ - १० क्ष - १९) = ०
म्हणून क्ष- २ = ०, अर्थात् क्ष = २ हे उत्तर मिळते.
हेच उदाहरण य साठी सोडवून दुसरे उत्तर मिळवता येते. ते पुढच्या प्रतिसादात पाहू.
विनायक
दुसरे उत्तर
क्ष२ +य = ७ समीकरण १
क्ष + य २ = ११ समीकरण २
समीकरण २ वरून क्ष = ११ - य२
म्हणून समीकरण १ असे बनते
(११ - य२)२ + य = ७
१२१ - २२ य२ + य४ + य = ७
य४ - २२ य२ + य + ११४ = ०
य४ - १८ य२ + ८१ - ४ य२ + य + ३३ = ०
(य२ - ९ )२ - ( ४ य२ - य - ३३) = ०
( य२ - ९)२ - ( ४ य२ - १२ य + ११ य - ३३) = ०
( य२ - ९)२ - { ४ य ( य - ३) + ११ ( य - ३)} = ०
(य२ - ९)२ - {( य - ३) ( ४ य + ११)}= ०
( य + ३)२ (य - ३)२ - { ( य - ३) ( ४य + ११)} = ०
(य - ३) { ( य +३)२ ( य - ३) - ( ४ य + ११)} = ०
( य - ३) ( य३ + ३ य२ - १३ य - ३८) = ०
म्हणून य - ३ = ०
अर्थात् य = ३ असे उत्तर मिळते.
विनायक
इतर प्रकारच्या फलनांसाठी?
मला वाटते की सर्व प्रकारच्या अरेषीय सामायिक समीकरणांसाठी चालेल अशी analytical method उपलब्ध नाही. कारण क्ष किंवा क्ष वर्ग याऐवजी त्रिकोणमितीय फलने (साईन, कोसाईन इत्यादी) असतील तर टेलर सारणीप्रमाणे त्याप्रकारच्या प्रत्येक फलनाच्या सारणीत अनंत पदे असतील आणि अनंत पदांसाठी अशी पध्दत वापरू शकणार नाही. जर क्ष आणि य ची exponential फलने असतील तर काहीवेळा factorization करून उत्तर मिळवता येईल.पण दरवेळी तसे करता येणार नाही. त्यामुळे in general आपल्याला अरेषीय सामायिक समीकरणांसाठी numerical पध्दती वापरावी लागेल.
माझा गणित हा specialization चा विषय नाही.पण finite elements साठी न्यूटन-राफसन पध्दत मी वापरली आहे आणि त्या निमित्ताने अरेषीय सामायिक समीकरणांचा थोडा अभ्यास केला आहे. तरी जाणकारांनी अधिक माहिती दिल्यास चांगले होईल.
---विल्यम जेफरसन क्लिंटन (मोनिकाचा पूर्वीचा प्रियकर)