उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
तर्कक्रीडा:४२: तीन भावंडे
यनावाला
August 15, 2007 - 8:57 am
.......प्रा.राकाविधु यांना तीन अपत्ये आहेत. मधली कन्या संपुनीता, तिच्यापेक्षा दोन वर्षांनी मोठा भाऊ सर्वोत्तम, आणि तिच्यापेक्षा दोन वर्षांनी लहान भाऊ सद्वर्तन. या भावंडांत दोन दोन वर्षांचे अंतर आहे. गंमत अशी की सर्वांचा जन्मदिन १५ ऑगस्ट हाच आहे. त्यामुळे प्रत्येक स्वातंत्र्यदिनी या तिघांचा वाढदिवस थाटात साजरा होतो.
.......यावर्षी वाढदिवसाला मुलांचे एक दूरचे मामा डॉ. शंकुक आले होते. त्यांनी मुलांना विचारले,
"तुमची आई तुम्हाला वाढदिवसाची काय भेट देते?"
"आमची आई आहे गणिताची प्राध्यापिका. ती आम्हा तिघांतील प्रत्येकाला इतर दोघांच्या वयाच्या गुणाकारा इतके रुपये देते. प्रत्येक वर्षी हेच." मुलगी म्हणाली.
"म्हणजे सदू जेव्हा दोन वर्षांचा होता तेव्हा मला आठ रुपये आणि नीताला बारा रुपये मिळाले." थोरला म्हणाला.
"या वर्षीं तुम्हा तिघांची मिळून एकूण प्राप्ती किती झाली?"
" ते मी सांगणार नाही. पण मागे तुम्ही एकदा आला होता ना? त्या वेळे पेक्षा यावेळी आम्हा तिघांना एकूण चारशे पाच (४०५) रुपये अधिक मिळाले." मुलगी म्हणाली.
" मागच्या वेळी म्हणजे.... मी कधी बरं आलो होतो?"
"तेव्हा नाही का, तुम्ही मला हे घाड्याळ दिलंत ? ताईला सुद्धा त्याच वर्षी तिच्या शाळेच्या संमेलनात नाच केल्याबद्दल घड्याळ मिळालं होतं .तिचं बंद पडलं. माझं बघा अजून कसं अचूक चालू आहे." धाकटा आपले मनगट नाचवत म्हणाला.
"आमची आई आहे गणिताची प्राध्यापिका. ती आम्हा तिघांतील प्रत्येकाला इतर दोघांच्या वयाच्या गुणाकारा इतके रुपये देते. प्रत्येक वर्षी हेच." मुलगी म्हणाली.
"म्हणजे सदू जेव्हा दोन वर्षांचा होता तेव्हा मला आठ रुपये आणि नीताला बारा रुपये मिळाले." थोरला म्हणाला.
"या वर्षीं तुम्हा तिघांची मिळून एकूण प्राप्ती किती झाली?"
" ते मी सांगणार नाही. पण मागे तुम्ही एकदा आला होता ना? त्या वेळे पेक्षा यावेळी आम्हा तिघांना एकूण चारशे पाच (४०५) रुपये अधिक मिळाले." मुलगी म्हणाली.
" मागच्या वेळी म्हणजे.... मी कधी बरं आलो होतो?"
"तेव्हा नाही का, तुम्ही मला हे घाड्याळ दिलंत ? ताईला सुद्धा त्याच वर्षी तिच्या शाळेच्या संमेलनात नाच केल्याबद्दल घड्याळ मिळालं होतं .तिचं बंद पडलं. माझं बघा अजून कसं अचूक चालू आहे." धाकटा आपले मनगट नाचवत म्हणाला.
तर आज त्या तीन भावंडांची वये किती? मनगटी घड्याळ मिळाले त्यावर्षी धाकट्याचे वय किती ?
******************************************************************
उत्तर कृपया व्यनि. ने
दुवे:
Comments
४०५?
===========================
मराठी भाषा हा माझा प्राणवायु आहे.
===========================
ही संख्या बरोबर आहे ना?की टंकलेखनातील चूक आहे?
४०५
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
४०५ (चारशे पाच) ही संख्या पुन्हा तपासली. ती बरोबर आहे.
तीन भावंडे
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
हे कोडे तसे अवघड आहे. मीरा फाटक यांनी अचूक उत्तर कळविले आहे. त्यांचे अभिनंदन! त्यांनी रीत लिहिली नाही. ती कळविल्यास उपयुक्त ठरेल. हे कोडे बीजगणिती समीकरणानेच सुटू शकते, असा माझा समज आहे. ( नाहीतर चुकत माकत म्हणजे ट्रायल एरर पद्धतीने.)
तीन भावंडे
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री. धनंजय यांनी कोडे यशस्वीपणे सोडविले आहे. विशेषतः त्यांनी योग्य बैजिक समीकरण शोधले. त्याच्या सोडवणुकीची सोपी पद्धत न घेता ते जरा दूरच्या मार्गाने गेले. सर्व शक्य पर्यायांचे यथायोग्य विवरण त्यांनी दिले आहे. श्री. धनंजय यांचे अभिनंदन!
उत्तर
व्यनिने ....
तीन भावंडे
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री. दिगम्भा आणि आवडाबाई यांची उत्तरे आली. तीं बरोबर आहेतच. श्री. दिगम्भा यांनी पर्याप्त रीत (बैजिक समीकरण ) दिली आहे.
डायोफँटीन इक्वेशन
या असल्या अनेक धनपूर्णांक अज्ञात असलेल्या आणि जितके अज्ञात त्यापेक्षा कमी समीकरणे असलेल्या समीकरणांना "डायोफँटीन इक्वेशन" (Diophantine equation) असे काहीसे म्हणतात वाटते. अज्ञात संख्यांपेक्षा समीकरणे कमी असल्यास उत्तर-गट (solution set) अगणित असतात. धनपूर्णांकाच्या मर्यादेमुळे गण्य उत्तरे निघतात.
Diophantine हा शब्द माझ्या आठवणीत बरोबर राहिला आहे की चूक, ते कोणी मला कळवू शकेल काय?
धनंजय
डायोफंटी समीकरण
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री. धनंजय यांचा "डायोफंटाईन इक्वेशन " हा शब्द आणि त्याविषयीची त्यांची संकल्पना अगदी योग्य आहे. ही समीकरणे सोडविण्याची एक विशिष्ट पद्धत आहे. मागे एका कोड्याच्या संदर्भात मी हे लिहिले आहे.
तीन भावंडे: आणखी दोन उत्तरे
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
१/ श्री. वाचक्नवी यांनी सुलभ रीत वापरून योग्य समीकरण लिहिले. आणि तीन पर्यायी उत्तरे शोधून दिली.
२/ मृदुला यांनी सुद्धा अचूक समीकरण लिहून तीन उत्तरे काढली. त्यानी धाकट्याची (सद्वर्तन) मनगट नाचवत केलेली बडबड लक्षात घेऊन दोन उत्तरांना त्याज्य ठरवले.आणि अंतिम एकमेव अचूक उत्तर शोधले.
तीन भावंडे:प्रमाणभूत उत्तर
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
मृदुला यांनी लिहिलेले पुढील उत्तर प्रमाणभूत मानावे.
तीन भावंडांच्या समस्येत संपुनीताचे आजचे वय प मानले, तर तिघांची एकूण प्राप्ती
प(प-२) + (प-२)(प+२) + प(प+२) = ३प^२-४
मागच्या वेळचे संपुनीताचे वय म मानले तर तेव्हाची त्यांची प्राप्ती = ३म^२-४
दोन्ही प्राप्त्यांमधला फरक = ३प^२-३म^२
३प^२-३म^२ = ४०५
प^२-म^२ = १३५
(प-म)(प+म) = १३५
१३५ = ३x३x३x५
म्हणजे {१, १३५}, {३, ४५}, {९, १५}, {२७, ५} अशी उत्तरे शक्य आहेत. पैकी पहिल्या व दुसर्‍या जोडीने शाळकरी म मिळत नाही. चौथीने म=११ व प=१६ अशी उत्तरे मिळतात.
म्हणून भावंडांची आजची वये १४, १६, १८. व घड्याळाची भेट मिळण्याच्या वेळची वये ९, ११,१३.
मृदुला.
..................
विभाजकांच्या तिसर्‍या जोडीने {९,१५}..म =३ वर्षे हे मधलीचे पूर्वीचे वय. म्हणजे त्यावेळी धाकट्याचे वय केवळ १ वर्ष. एक वर्षाच्या मुलाला दूरचा मामा खरे मनगटी घड्याळ भेट देण्याची शक्यता नाही. म्हणूने ते उत्तर त्याज्य...यनावाला.