केला आहे

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
सर्वप्रथम उत्तर श्री.प्रमोद सहस्रबुद्धे यांनी पाठविले. त्यांचे उत्तर आणि गणिती युक्तिवाद दोन्ही अचूक आहेत.त्यांना बीजगणिती समीकरण लिहावे लागले नाही.धन्यवाद!

अनेक बाबी दिलेल्या नाहीत, अर्थातच त्यामुळे त्या गृहीत धरायला गणित सोडविणार्‍यास स्वातंत्र्य दिलेले आहे असे मानतो.

१. बनगाव रेल्वेस्थानकापासून राम शाम बंधूंचे घर किती अंतरावर आहे ते दिलेले नाहीये.
२. बनगाव रेल्वेस्थानकापासून कदंबाचा वृक्ष किती अंतरावर आहे ते दिलेले नाहीये.

अर्थातच त्यामुळे
रामच्या पदयात्रेचा वेग ताशी किती किलोमिटर?
या प्रश्नाची एकाहून अधिक उत्तरे येत आहेत. नमुन्यादाखल दोन उत्तरे देत आहे.

उत्तर क्रमांक १. रामच्या पदयात्रेचा वेग ताशी ११.२५ किलोमिटर असून कदंबाचा वृक्ष बनगाव रेल्वेस्थानकापासून ७.५ किलोमीटर अंतरावर आहे.

उत्तर क्रमांक २. रामच्या पदयात्रेचा वेग ताशी १५ किलोमिटर असून कदंबाचा वृक्ष बनगाव रेल्वेस्थानकापासून १२.५ किलोमीटर अंतरावर आहे.

याप्रमाणे अनेक उत्तरे येऊ शकतात. मी त्यातल्या त्यात मानवी क्षमतेच्या रेंज मधली उत्तरे घ्यायचा प्रयत्न केला आहे. शिवाय ही उत्तरे बनगाव रेल्वेस्थानकापासून राम शाम बंधूंचे घर किती अंतरावर आहे या राशीसोबत सापेक्ष ही नाहीत. म्हणजेच ही राशी ३० किमी असेल तरी ही दोन्ही उत्तरे बरोबर आहेत हे सिद्ध करता येते. त्याचप्रमाणे ही राशी ६० किमी असेल तरीही ही दोन्ही उत्तरे बरोबर आहेत हे सिद्ध करता येते.

उत्तर क्रमांक १. रामच्या पदयात्रेचा वेग ताशी ११.२५ किलोमिटर असून कदंबाचा वृक्ष बनगाव रेल्वेस्थानकापासून ७.५ किलोमीटर अंतरावर आहे.

सिद्धता :-

शक्यता क्रमांक १ - बनगाव रेल्वेस्थानकापासून राम शाम बंधूंचे घर ३० किमी अंतरावर आहे.
पूर्ण अंतर स्कूटरने बनगाव स्थानकापासून घरी जाण्यास १ तास (६० मिनीटे) लागेल. ताशी ११.२५ किमी वेगाने पायी गेल्यास कदंबाच्या वृक्षापर्यंत जाण्यास रामला ४० मिनीटे लागतील (कारण त्याचा मिनीटाचा वेग ०.१८७५ किमी आहे व या वेगाने ७.५ किमी अंतर कापण्यास इतका वेळ लागणारच). आता उरलेले अंतर जर त्याने स्कूटरने कापले तर हे उरलेले ३०-७.५=२२.५ किमी अंतर कापण्यास ४५ मिनीटे लागणार. म्हणजे स्कुटर व पायी अशा एकूण प्रवासास ८५ मिनीटे लागणार. म्हणजेच संपूर्ण प्रवास स्कुटरने केल्यापेक्षा २५ मिनीटे अधिक लागणार. हे दिलेल्या उदाहरणातील माहितीशी जुळते आहे. कारण स्कुटरने गेल्यास १८:२० ला तर स्कुटर + पायी गेल्यास १८:४५ ला रामशाम बंधू घरी पोचले आहेत.

शक्यता क्रमांक २ - बनगाव रेल्वेस्थानकापासून राम शाम बंधूंचे घर ६० किमी अंतरावर आहे.
पूर्ण अंतर स्कूटरने बनगाव स्थानकापासून घरी जाण्यास २ तास (१२० मिनीटे) लागतील. ताशी ११.२५ किमी वेगाने पायी गेल्यास कदंबाच्या वृक्षापर्यंत जाण्यास रामला ४० मिनीटे लागतील (कारण त्याचा मिनीटाचा वेग ०.१८७५ किमी आहे व या वेगाने ७.५ किमी अंतर कापण्यास इतका वेळ लागणारच). आता उरलेले अंतर जर त्याने स्कूटरने कापले तर हे उरलेले ६०-७.५=५२.५ किमी अंतर कापण्यास १०५ मिनीटे लागणार. म्हणजे स्कुटर व पायी अशा एकूण प्रवासास १४५ मिनीटे लागणार. म्हणजेच संपूर्ण प्रवास स्कुटरने केल्यापेक्षा २५ मिनीटे अधिक लागणार. हे दिलेल्या उदाहरणातील माहितीशी जुळते आहे. कारण स्कुटरने गेल्यास १८:२० ला तर स्कुटर + पायी गेल्यास १८:४५ ला रामशाम बंधू घरी पोचले आहेत.

उत्तर क्रमांक २. रामच्या पदयात्रेचा वेग ताशी १५ किलोमिटर असून कदंबाचा वृक्ष बनगाव रेल्वेस्थानकापासून १२.५ किलोमीटर अंतरावर आहे.

शक्यता क्रमांक १ - बनगाव रेल्वेस्थानकापासून राम शाम बंधूंचे घर ३० किमी अंतरावर आहे.
पूर्ण अंतर स्कूटरने बनगाव स्थानकापासून घरी जाण्यास १ तास (६० मिनीटे) लागेल. ताशी १५ किमी वेगाने पायी गेल्यास कदंबाच्या वृक्षापर्यंत जाण्यास रामला ५० मिनीटे लागतील (कारण त्याचा मिनीटाचा वेग ०.२५ किमी आहे व या वेगाने १२.५ किमी अंतर कापण्यास इतका वेळ लागणारच). आता उरलेले अंतर जर त्याने स्कूटरने कापले तर हे उरलेले ३०-१२.५=१७.५ किमी अंतर कापण्यास ३५ मिनीटे लागणार. म्हणजे स्कुटर व पायी अशा एकूण प्रवासास ८५ मिनीटे लागणार. म्हणजेच संपूर्ण प्रवास स्कुटरने केल्यापेक्षा २५ मिनीटे अधिक लागणार. हे दिलेल्या उदाहरणातील माहितीशी जुळते आहे. कारण स्कुटरने गेल्यास १८:२० ला तर स्कुटर + पायी गेल्यास १८:४५ ला रामशाम बंधू घरी पोचले आहेत.

शक्यता क्रमांक २ - बनगाव रेल्वेस्थानकापासून राम शाम बंधूंचे घर ६० किमी अंतरावर आहे.
पूर्ण अंतर स्कूटरने बनगाव स्थानकापासून घरी जाण्यास २ तास (१२० मिनीटे) लागतील. ताशी १५ किमी वेगाने पायी गेल्यास कदंबाच्या वृक्षापर्यंत जाण्यास रामला ५० मिनीटे लागतील (कारण त्याचा मिनीटाचा वेग ०.२५ किमी आहे व या वेगाने १२.५ किमी अंतर कापण्यास इतका वेळ लागणारच). आता उरलेले अंतर जर त्याने स्कूटरने कापले तर हे उरलेले ६०-१२.५=४७.५ किमी अंतर कापण्यास ९५ मिनीटे लागणार. म्हणजे स्कुटर व पायी अशा एकूण प्रवासास १४५ मिनीटे लागणार. म्हणजेच संपूर्ण प्रवास स्कुटरने केल्यापेक्षा २५ मिनीटे अधिक लागणार. हे दिलेल्या उदाहरणातील माहितीशी जुळते आहे. कारण स्कुटरने गेल्यास १८:२० ला तर स्कुटर + पायी गेल्यास १८:४५ ला रामशाम बंधू घरी पोचले आहेत.

वरील उत्तर काढताना

घरून नेहमीच्या वेळी निघालेला शाम वाटेत कदंबाच्या झाडाजवळ भेटला.

ही माहिती विचारात घेण्याचे राहून गेल्याने उत्तर चूकलेले आहे. ही माहिती विचारात घेऊन पुन्हा काढलेले नेमके उत्तर व्यनि केले आहे.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचे उत्तर एकमेव आहे.तसेच ते काढण्यासाठी दिलेली माहिती पर्याप्त (पुरेशी) आहे.शेवटच्या दोन शुक्रवारांचा विचार करावा. पहिल्या शुक्रवारी ते नेहमीपेक्षा १० मिनिटे आधी आले. तर दुसर्‍या शुक्रवारी आदल्या शुक्रवारच्या तुलनेत २५ मिनिटे आधी आले. पहिल्या वेळी १० मिनिटे कशी(कोणत्या कारणाने) वाचली(सेव्ड)? आणि दुसर्‍यावेळी आणखी २५ मिनिटे कशी वाचली याचा विचार केल्यास उत्तर येईल.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचे अचूक आणि एकमेव उत्तर शोधण्यात श्री.चेतन गुगळे यशस्वी झाले.अनेक उत्तरे संभवतात असे त्यांना प्रथम वाटले होते.पण त्यांना आपली चूक उमगली. सुसंगत विचार करून त्यांनी बरोबर उत्तर शोधले. त्यांचे अभिनंदन !

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचे श्री.स्वधर्म यांनी पाठविलेले उत्तर अचूक आहे.धन्यवाद!त्यानींही हे कोडे अंकगणिती तर्काने तोंडी सोडविले आहे.
काही कोड्यांच्या सोडवणुकीसाठी अंकगणिती पद्धत ही बीजगणिती रीतीहून वरचढ ठरते.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचे अचूक उत्तर शोधण्यात श्री.दादा कोंडके यांना यश लाभले आहे.त्यांनी मोजक्या शब्दांत प्रभावी गणिती युक्तिवाद केला आहे.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.धनंजय यांनी उत्तर कळवले आहे.ते अचूक आहेच.तसेच उत्तर सहजतेने कसे काढता येते याचा त्यांनी मित शब्दांत मांडलेला विचार परिपूर्ण आहे

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.धनंजय यांनी उत्तर कळवले आहे.ते अचूक आहेच.तसेच उत्तर सहजतेने कसे काढता येते याचा त्यांनी मित शब्दांत मांडलेला विचार परिपूर्ण आहे

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
जे कोडे अंकगणिती रीतीने सोडवता येते ते बीजगणिताने सोडवता येईलच यात शंका नाही.(याचा व्यत्यास मात्र सत्य नाही)
* प्रस्तुत कोडे तोंडी सोडवायचे म्हटले तर अंकगणिती तर्कच वापरावा लागेल. बीजगणिती समीकरणे लेखी ना मांडता डोक्यातल्या डोक्यात सोडवणे अवघड आहे.अंकगणिती पद्धतीत वेळ वाचतो.
* अंकगणिती पद्धतीत तर्काचा विचार अधिक असतो. बीजगणिती समीकरणे लिहिताना विचार करावाच लागतो. पण पुढे बरेचसे समीकरणांवर सोडून देता येते.
* प्रमोदजी म्हणतात,

साधारणतः दोन अननोन्सची/समीकरणांची पर्यंतची गणिते अंकगणिते तर त्यावरची म्हणजे तीन+ अननोन/समीकरणे ही बीजगणिते. अशी काहीशी ती व्याख्या असावी.

...माझ्यामते ज्या गणितात अव्यक्ताच्या वर्गाचा (अथवा अधिक मोठ्या घाताचा) संबंध येत असेल ते अंकगणिती तर्काने सोडवता येत नाही.अंकगणिताची ही मर्यादा आहे. (प्रमोदजींनी डायरेक्ट प्रपोर्शन असा शब्द प्रयोग वापरला आहे.)बीजगणिताचे क्षेत्र विशाल आहे.
* मागे "उडीदपापड आणि मूगपापड" या तर्कक्रीडा कोड्यात अंकगणिती पद्धतीचा प्रभावी वापर केला आहे.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
या कोड्याचे दादा कोंडके यांनी पाठविलेले उत्तर पुढील प्रमाणे:
.....
प्रेषक: दादा कोंडके
प्रति: यनावाला
विषय: कोड्याचं उत्तर
दिनांक: मंगळ, 02/07/2012 - 21:57

नमस्कार,

रामच्या चालण्याचा वेग ताशी ५ किमी होता.

स्पष्टीकरणः

अंतरः शाम नेहमीच्या वेळेला निघून ते १० मिनीटं लवकर पोहोचले. म्हणजे शामची जाण्या येण्याची ५ + ५ मिनीटं वाचली. म्हणजे रामने ५*३०/६० म्हणजे कदंबाचं झाड स्टेशनपासून २.५ किमी वर आहे.

वेळः दुसर्‍यावेळी ते २५ मिनीटं आधी पोहोचले म्हणजे रामला कदंबाच्या झाडापर्यंत यायला (वाचलेला वेळ + स्कूटरवरून स्टेशनपासून कदंबाच्या झाडापर्यंत पोहोचायला लागणारा वेळ) एव्हडा वेळ लागतो. तो २५ + (२.५*६०/३०) = ३० मिनीटं.

गती: म्हणजे त्याच्या चालण्याचा वेग २.५ किमी/३० मिनीटं = ताशी ५ किमी.

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
बनगाव स्थानक ब, कदंब क.शेवटच्या दोन शुक्र. चा विचार.
* शुक्र.१:

"आज सायं. राम-शाम नेहमीपेक्षा १० मि.आधी पोचले त्याचे कारण?"
"रामचे ऑफिस लौकर सुटले."
"शाम तर नेहमीच्या वेळी नियमित वेगाने निघाला होता."
"आले लक्षात.शाम ब ते क गेला नाही. परतला नाही.म्हणून १०मि.वाचली.म्हणजे स्कूटर ब ते क ५ मि जाते"

* शुक्र.२

:"आज मागच्यापेक्षा २५ मि.आधी कसे?"
"राम यावेळी क ते ब चालला नाही. स्कूटरने ५ मि.त आला.त्यात २५ मि.वाचली.म्हणजे गेल्या शुक्रवारी तो
ब ते क ३० मि.चालत होता. वेळ सहापट(३०/५).म्हणून पदयात्रेचा वेग स्कूटरच्या एकषष्ठांश.म्हणजे ताशी
५किमि."
"अरे वा ! आले की तुम्हाला तोंडी उत्तर.तेवढे ते वेग स्कूटरच्या एकषष्ठांश थोडे खटकले"
" अं? बरे बाबा स्कूटरच्या वेगाच्या एकषष्ठांश.झाले समाधान?

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.धनंजय म्हणतात:

शुक्र.१ मध्ये "नेहमीच्याच वेळेला निघाला" हे आवर्जून सांगितले आहे - ते ठीकच आहे. म्हणजे शुक्र.२ ला हे वेगळे होते, हे स्पष्ट करणेसुद्धा तितकेच आवश्यक आहे.

..
शुक्र.१ प्रामुख्याने शामच्या प्रवास विचारात घेतला आहे.तो नेहमीच्या वेळी, नेहमीच्या वेगाने निघूनही आज लौकर कसा आला? यावर लक्ष केंद्रित केल्यावर तो क ते ब गेला नाही,परतला नाही हे ध्यानी येते.त्यामुळे १० मि.वाचली हे लक्षात येते.कोड्याची सोडवणूक थोडी पुढे सरकते.
..
शुक्र.२: रामच्या प्रवासाचा विचार केला आहे.मागच्या शुक्रवारी "कळवले असतेस तर आधी आलो असतो"असे शाम रामला सांगतो. गाडी किती वाजता येते तेही विचारतो. राम सांगतो. आज लौकरच्या गाडीने येतो आहे हेही राम कळवतो.तो ब. ला उतरला तेव्हा शाम तिथे असतो. हे सर्व लिहिले आहे.तेव्हा ब. ला किती वाजता पोचायचे त्या बेताने शाम घरून निघतो हे गृहीत धरावे ही अपेक्षा आहे. लक्ष रामच्या प्रवासावर वेधले आहे. तरीपण शामच्या आजच्या प्रवासाविषयी लिहिले असते तर बरे झाले असते हे पटते.समजावणीच्या आवश्यकतेला धरून लिहिले आहे.अधिक लांबण लावल्यास लक्ष विचलित होऊ शकते.