(हा प्रतिसाद तर्कक्रीडेतील प्रश्नाशी सुसंदर्भ आहे.)

समजा एका प्रतलावर 'क' हा बिंदू आहे. 'च', 'ट' आणि 'त' हे तीन बिंदू आहेत, ते 'क' बिंदूपेक्षा वेगळे आहेत. एकमेकांपेक्षा वेगळे असतील किंवा नसतील. कोन(चकट), कोन(टकच), आणि कोन(चकत) हे तीन कोन आहेत.
तर या तीन कोनांच्या मानांची बेरीज-वजाबाकी, वगैरे करून कुठले समीकरण मांडता येते काय?

- - -

सुरुवातीच्या क्रीडेसाठी फक्त बिंदू 'क', 'च', 'ट' हे तीनच घेऊया, आणि त्यातही 'क' बिंदूवर् छेद होणारे कोनच बघू :

"कोनाचे मान" हा प्रकार येथे थोडा संदिग्ध आहे. पुष्कळदा आपण म्हणतो की :
कोन(चकट) = कोन(टकच) ...समीकरण १)
हे एका अर्थाने बरोबर आहे. या प्रकारात कोनांचे मान ऋण असू शकत नाही. सामान्यपणे कोनाचे मान ०<=कोन<=π इतक्या क्षेत्रातच सांगितले जाते. या अर्थाने कोनाचे मोजमाप केले, तर कोनांची बेरीज किंवा वजाबाकी करता येत नाही.

परंतु
कोन(चकट)+कोन(टकच) = २*π (रेडियन) ...समीकरण २अ
कोन(चकट)+कोन(टकच) = ० (रेडियन) ...समीकरण २ब
ही समीकरणे वेगळ्या अर्थाने बरोबर आहेत.

दोन अर्थांमध्ये गोंधळ करून अनर्थ करता येतो :
(२अ) मध्ये (१) मधील समीकरण घालून :
कोन(चकट)+कोन(टकचचकट) = २*π (रेडियन)
२*कोन(चकट) = २*π
कोन(चकट) = π

(चुकीची) सिद्धता संपूर्ण : प्रतलातील कुठल्याही कोनाचे मान π रेडियन इतके असते.
- - -

आता चारही बिंदू घेऊन अनर्थ करूया.

कोन(चकट) + कोन(टकत) = कोन(चकत)
कोन(टकच) + कोन(चकत) = कोन(टकत)
कोन(टकत) + कोन(तकच) = कोन(टकच)
ही तीन्ही समीकरणे फक्त अर्थ क्रमांक २ (त्यातही कोनाला ऋण मान असू शकते, त्याची व्याख्या केली तर) मध्ये सत्य आहेत. अर्थ क्रमांक १ मध्ये ही तीन्ही सत्य असू शकतच नाहीत. पण उगाच गंमत म्हणून अर्थ क्रमांक १ लागू केला, म्हणा. तीन्ही समीकरणांची वेरीज करूया :
डावीकडे :
कोन(चकट) + कोन(टकत) + कोन(टकच) + कोन(चकत) + कोन(टकत) + कोन(तकच)
अर्थ १ प्रमाणे निळे कोन समसमान आहेत, लाल कोन समसमान आहेत, आणि काळे कोन समसमान आहेत.
म्हणून डावीकडे :
२*(कोन(चकट) + कोन(टकत) + कोन(तकच))

उजवीकडे :
(कोन(चकट) + कोन(टकत) + कोन(तकच))

अर्थात (चुकीची सिद्धता)
२=१
- - -

मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
*या कोड्याचे उत्तर मिहिर यांनी व्य.नि.द्वारे पाठविले. दुसर्‍या प्रयत्नात त्यांचे उत्तर अचूक आले.
*अमित यांनीही उत्तर कळविले आहे. त्यांत किंचित सुधारणा आवश्यक आहे.दुसर्‍या प्रयत्नात त्यांचेही उत्तर अचूक असेल अशी अपेक्षा आहे.
.................................................