युक्लिडीय भूमिती आपल्याला नैसर्गिकरित्या किंवा स्वाभाविकपणे बरोबर आहे असे वाटते, पण या भूमितीची तत्त्वे प्रगत विज्ञानाच्या बर्‍याच क्षेत्रांना लागू होत नाहीत असे वाचले आहे. सहज विकिपिडीया चाळले असता अयुक्लिडीय भूमितीचे हापरबोलिक आणि एलिप्टिकल (यांना मराठी प्रतिशब्द काय?) असे दोन भाग आहेत आणि युक्लिडीय/अयुक्लिडीय यातील मुख्य फरक युक्लिडीय समांतर रेषांच्या सिद्धांतामुळे आहे असे समजले. युक्लिडीय भूमितीनुसार एका रेषेला त्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून जाणारी आणि त्या रेषेला न छेदणारी एक आणि एकच रेषा काढता येते. हापरबोलिक भूमितीनुसार एखाद्या रेषेला, त्या रेषेवर नसलेल्या बिंदूमधून जाणार्‍या आणि त्या रेषेला न छेदणार्‍या अनंत रेषा काढता येतात. (आता सरळ नसलेल्या रेषांना 'रेषा' कसे म्हणायचे?) आणि एलिप्टिकल भूमितीनुसार कोणत्याही दोन रेषा एकमेकांना छेदतातच. असो, ही आपली वाचीव माहिती झाली जाणकारांनी अधिक/योग्य माहिती दिल्यास उत्तम.

माहितीबद्दल आभार.
विकीवरील हा दुवा वाचला. त्यावर बर्‍यापैकी माहिती मिळते. पण लहानपणापासून युक्लीडीय भूमितीची सवय झाल्याने असेल कदाचित, मनाला वेगळा विचार कळत नाही.
सदर दुव्यात 'स्पेस टाइम' च्या भूमितीत अयुक्लीडीय तत्वांचा उपयोग होतो असे म्हटले आहे. जाणकार यावर अधिक प्रकाश टाकू शकतील काय? गणितविषयक उपयुक्त माहिती या चर्चेच्या निमित्ताने मराठीत आली तर आम्हाला हवीच आहे.

अयुक्लिडीय भूमितीचा उपयोग आईन्स्टाईनने 'सापेक्षता सिद्धांतात' केल्याचा उल्लेख येथे वाचला.

"्अयुक्लीडिअन भूमिती" बद्दल इतका उत्साह पाहून खुपच आनंद झाला. याची सुरूवात रिमान नामक गणित्याने केली होती. ही फारच स्वाभावीक कल्पना आहे.

आपण जी साधी भूमिती करतो, त्यामधे एक प्रतल घेउन त्या प्रतलावर रेषा वगैरे काढतो. पण विचार करा की आपले जग मात्र प्रतल नाही... आपण पृथ्वीवर राहतो. आणि ती गोल आहे.
मला पृथ्वीवर रेषा काढायची आहे. कशी काढणार? प्रतलावर रेषा काढताना मी एका ठीकाणी सुरू करतो नि सरळ चालत जातो, फक्त माझ्याच सोबत एक जणाने माझ्या विरुद्ध दिशेला चाले जायचे, म्हणजे दोन्ही बाजूंनी अनंत किरण सुरु होउन, एक रेषा बनेल.
हेच पृथ्वीवर करायचे. एक बिंदू ठरवून दोनजणांनी विरूद्ध दिशेत चालत जायचे! पण असे केले तर (थोडी कल्पना शक्ती लढवा), जे तयार होईल, ते एक वर्तृळ तयार होईल..!! म्हणजेच, पृथ्वीवरील रेषा एक वर्तृळ असते. (एक छोटा चेंडू घेउन हे आपण करू शकता...!!!) आता, समजा, तुमच्याकडे असे एक पृथ्वीवरील रेषा (= वर्तृळ) दिले आहे नि त्याच्यावे नसणारा एक बिंदू दिला आहे. या बिंदूमधून किती रेषा (= वर्तृळ) काढता येतील, ज्या पहिल्या रेषेला छेदणार नाहीत...? एक सोपी आहे, जी पहिल्या रेषेप्रमाणेच(= वर्तृळ) जाइल, तिच्या पासून कायम एकच अंतर ठेउन असेल. पण, अजून एक रेषा(= वर्तृळ) आहे.... ह्या दुसर्या वर्तृळाच्या वरती (पहिल्या वर्तृळाच्या विरुद्ध दिशेला) एक छोटे वर्तृळ काढा..!!! ते सुद्धा पहिल्या वर्तृळास छेदत नाही..!!! आणि असे पाहील्या याच बिंदूतून जाणारी अनंत वर्तृळे काढता येतील, जी पहिल्या वर्तृळास छेदत नाहीत. चेंडू घेउन त्यावर चित्र काढल्यास सोपे होईल. पण, एकमेकांना न छेदणार्या रेषा (=वर्तृळे) म्हणजेच समांतर रेषा..!!!! त्यामुळे, जर भूमिती गोलावर करायची असेल, तर एकाच बिंदूतून जाणार्या अनंत रेषा काढता येतील, ज्या दिलेल्या रेषेस समांतर असतील. हिच ्अयुक्लीडिअन भूमिती भूमिती..!!!
यामधे मजेशीर गोष्टी घडतात. उदा. दोन रेषा परस्परांना एकाहून अधिक बिंदूत छेदतात... विषुववृत्त ही एक रेषा आहे, नि दोन्ही धृवांना जोडणारी एक रेषा घ्या, ती विषुववृतास दोन बिंदूंत छेदते..!!
रिमानने दाखवले की हा सारा खेळ अंतर मोजण्याचा वेगळ्या पद्धतीमुळे होतो.. पृथ्वीची त्रिज्या "य" असेल, तर, दोन धृवांतील अंतर, जर असेच मोजले तर ते २य असेल. पण, आपण मात्र ते मोजताना जमिनीवरून चालत मोजतो, म्हणजेच, पाय*य (पाय= गणिती स्थिरांक)....!! हापरबोलिक आणि एलिप्टिकल भुमिती मधेहेच अंतर वेगळ्या प्रकारे मोजतात. ते फारच क्लिष्ट नि भाषेमधे लिहीण्यास अवघड आहे.
ही भूमितीच आजच्या संशोधनात गणित नि भौतिकामधे वापरतात. त्यामुळे, उलट, युक्लिडीअन भुमिती कुठे आहे असा प्रश्न पडतो.!!! ;-)

आपेक्ष आहे की हे भापले असेल. अन्यथा, वर म्हटले तसे, चेंडू घ्या वा संत्रे नि त्याचर हे करून पहा..!!! ;-) ते जास्त सोपे नि मजेशीर आहे...!!!!

- आपला चिंटू

प्रती श्री. सतीश रावले,

गणितामध्ये एकमितीय वास्तव अवकाश म्हणजे वास्तव संख्यांचा संच, द्विमित वास्तव अवकाश म्हणजे वास्तव संख्यांच्या संचाचा दोन वेळा कार्टेशिअन पद्धतीने केलेला गुणाकार नि त्रिमित वास्तव अवकाश (Real Three Space or Three Dimensional Real Space) म्हणजे वास्तव संख्यांच्या संचाचा तीन वेळा कार्टेशिअन पद्धतीने केलेला गुणाकार होय.
वरीलपैकी कोणत्याही संचामधील रेषेची व्याख्या नि त्यांच्या उपसंचातील रेषेची व्याख्या अनु. खालील प्रमाणे आहे:
१. कोणत्याही एक (दोन/तीन) चल वास्तव रेषीय समीकरणाचा उकल संच म्हणजे (अनु.) एक (दोन/तीन) मितीय वास्तव अवकाशातील रेषा होय.
(Solution space of a linear equation is 'n' variables with real coefficiants is called 'n' dimesional line, for n=1,2,3,...)

२. दिलेल्या वास्तव अवकाशाच्या उपसंचातील रेषा म्हणजे वरील रेषा नि त्या संचाचा छेद संच होय.

हि गणिती तांत्रिक व्याख्या किचकट असल्याने मला द्यावयाची नव्हती. म्हणून मी लिहिली नाही. परंतू ह्या व्याख्याने गोलावर रेषा काढली असतात ती कशी दिसते ते मला सामान्य आयुष्यातील भाषा वापरून सांगायचे होते. तर वरील व्याख्येने मिळालेली रेषा ही मी मागे लिहिल्याप्रमाणे एकाबिंदुपासून विरुद्ध दिशांना सरळ चालत गेल्यावर जो रस्ता मिळतो त्याच्याच सारखी असते. म्हणून मी तसे वर्णन केले. यापुढे त्याचा काही हेतू नव्हता. आपण वरील व्याख्या मनात ठेवून जर परत तो लेख वाचला तर काही गोंधळ राहणार नाही असे वाटते. (शिवाय, ह्या दोन्ही व्याख्या वापरून आपण गोलाशिवाय इतरही उपसंचांवरील रेषांचा विचार करू शकता!)

- चिंटू

श्री. चिंटू तुम्ही लिहीले होते,

रेशा कशी तयार होते? असा प्रश्न पडतो तेंव्हा उत्तर मिळते..बिंदूपासून. बिंदूला शक्ती मिळत गेली की त्या बिंदूंचे रेशेत रुपांतर होईल. परंतु हे झाले एका रेशेबद्दल. एका पेक्शा जास्त रेशा काढायच्या असतील तर आधी सुरवातीचे बिंदू नेमके एकमेकांपासून कुठे-कुठे असतील? हे विचारात घ्यावे लागेल. तुम्ही सांगितलेल्या उदाहरणात ते कुठे-कुठे घ्यायचे हे कळले कि मग अवकाश, प्रतल म्हणजे काय? ते कळू शकते.
दोन बिंदू एकमेकांपासून समांतर अंतरावर राहतील, व समान अंतर राखतच त्या बिंदूंपासून रेशा आखली जाईल, असे पाहील्या नंतर 'रेशे' पासून आधी एक कोन जन्माला येईल, कोनातून त्रीकोण जन्माला येईल, जन्माला आलेले दोन त्रीकोण एकमेकांमध्ये गुंफलेले असतील. परंतु एकमेकांपासून समांतर रहातील ही अट असल्यामुळे त्या असंख्य त्रीकोणातून वर्तुळ तयार होईल.
ते वर्तुळ असे असेल. (वेदिक तंत्रविद्येतून जे त्रिकोण दर्शविणारे चिन्ह निर्माण झाले ते आज सर्वदूर पसरले आहे.)

दोन समांतर त्रिकोणांचा अर्थ हाच होतो....

रिपीट झाला. काढला.

हे असले नको ते अध्यात्म घालूनच भारतीयानी सगळी शास्त्रे बाद करून टाकली.