उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
कोडं ३ : पृथ्वीचा सैल पट्टा
राजेशघासकडवी
May 12, 2011 - 3:15 am
पृथ्वी हा ६४०० किलोमीटर त्रिज्येचा आदर्श गोल आहे असं गृहित धरू. विषुववृत्ताभोवती एक बरोबर बसणारा, पट्टा तयार केला. पण तो तयार होईपर्यंत बराच काळ गेला. तोपर्यंत पृथ्वी थोडी थंड झाल्यामुळे की काय किंवा इतर काही कारणामुळे थोडीशी आकुंचन पावली. फार नाही, परीघ एक मीटरने कमी झाला. आता तो पट्टा अर्थातच थोडा सैल होईल. तो बहुतेक ठिकाणी बरोबर बसावा यासाठी एक छोटीशी काठी उभी केली की झालं. प्रश्न असा आहे, की पट्टा न ताणता बरोब्बर बसवायचा असेल, तर या काठीची उंची किती होईल? ९९.९९% अचूक उत्तर चालेल.
 |
गणित करून उत्तर काढण्याआधी/ऐवजी मी सर्वांना अंदाजपंचे उत्तर सांगण्याची विनंती करतो. अंदाजपंचे उत्तर काळ्यात व गणिती उत्तर पांढऱ्यात द्या.
दुवे:
Comments
एक अंदाज.
0.000158510300025227 मीटर?
गणिती उत्तर
पृथ्वीची नवी त्रिज्या त समजू. काठीच्या टोकाला क म्हणू. ताणलेला पट्टा पृथ्वीला स्पर्शिका (टँजंट) असेल. त्या बिंदूंना च आणि ट म्हणू. पृथ्वीच्या केंद्राला प म्हणू. कटप आणि कचप हे काटकोन आहेत. टपच कोनाला २θ समजू. काठीची उंची य मानू.
पायथॅगोरसच्या प्रमेयाने समजते की कच=कट=√२*त*य+य२
पृथ्वीला चिकटलेल्या (टपच या कोनाचा उरलेला पॅकमॅन/pie) पट्ट्याची लांबी २*(π-θ)*त आहे.
θ=tan-१(√२*त*य+य२/त) हे त्रिकोणमितीच्या व्याख्यांनी समजते.
म्हणून, एकूण पट्ट्याची लांबी √२*त*य+य२+२*( २*(π-θ)*त-θ)*त इतकी आहे. परंतु, मूळ पट्ट्याची लांबी २*π*त+१ इतकी होती!
--
√२*त*य+य२=π+त*tan-१(√२*त*य+य२/त) या समीकरणात त=६३९९.९९९ आहे. या समीकरणाचे बंदिस्त स्वरूप मला शोधता आले नाही आणि त्यामुळे य ची किंमत शोधण्याचे नेमके सूत्र मला बनविता आले नाही. एक्सेलमध्ये वेगवेगळ्या किमती भरून सापडले की य≈१२१ मीटर आहे.
अभिनंदन
रिकामटेकडा यांचं उत्तर ९९.५% बरोबर आहे. मूळ प्रश्नात ९९.९९% अचूकतेची मागणी होती, पण ती अचूकता मिळवण्यासाठी त्यांनी दिलेलं सूत्र केवळ अधिक कष्ट करून सोडवावं लागेल इतकंच. त्यामुळे उत्तर स्वीकारार्ह आहे.
सर्वसाधारण अंदाज आणि प्रत्यक्ष उत्तर यामधली तफावत हीच या कोड्याची खरी गंमत आहे. त्यामुळे आपला अंदाज नोंदवावा (गणिती उत्तर काढणार नसाल तरी) अशी पुन्हा विनंती करतो.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
धन्यवाद
अशा एक्सेल ओळी वापरून पुढेपुढे उत्तर शोधले: नेमके उत्तर १२१.६६ आणि १२१.६७ यांच्या दरम्यान आहे.
दुरुस्ती: वरील प्रतिसादातील "एकूण पट्ट्याची लांबी √२*त*य+य२+२*( २*(π-θ)*त-θ)*त इतकी आहे" हे वाक्य कृपया "एकूण पट्ट्याची लांबी २*√२*त*य+य२+ २*(π-θ)*त इतकी आहे" असे वाचावे.
उत्तर शोधण्याची खुबीदार पद्धत किंवा सूत्राचा क्लोज्ड फॉर्म माहिती असतील तर कृपया उपलब्ध करून द्यावेत. मुळात, अंदाजे पद्धत म्हणजे तुम्हाला नेमके काय अपेक्षित होते? मी तर, समीकरण बनविण्याची यांत्रिक पद्धतच वापरली आहे.
--
उत्तर लपविण्यासाठी पांढर्‍या रंगाच्या स्पॅनांना id="colorchange०१", id="colorchange०२" अशी नावे दिली आणि शेवटी <input value="उत्तर वाचा" onclick="document.getElementById('colorchange०१').style.color='#000000';document.getElementById('colorchange०२').style.color='#000000';" type="button"> असे लिहिले तर त्यामुळे असे बटन तयार होईल आणि त्या बटनामुळे उत्तर वाचण्यास सोपे ठरेल.
सैल मेखला
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
तीनशे अठरा मिमी
.....
<span style="background: #FFFFFF;">२(गुणिले)पाय(त्रिज्या१-त्रिज्या२) = १००० मिमी
.
म्ह. त्रि२-त्रि१=५००/पाय=१५९.१५ मिमी.
.
पृथ्वी आकुंचन पावल्यावर पट्टा आणि पृथ्वी यांत सर्वत्र १५९ मिमी ची फट राहील. पट्टा काठीने उचलल्यावर खालची फट जाईल. वरची साधारण दुप्पट होईल असे वाटते.
म्हणून उत्तर:-काठीची उंची= ३१८.३ मिमी
फक्त अंदाजपंचे
या आकड्याहून अधिक असणार : १/(२पाय) = ०.१५९१५ मीटर ( ६.२८... मीटरपेक्षा कमी असणार.)
अनुमानधपक्याने खालच्या लिमिटच्या दुप्पट = ०.३१८३ मीटर
उलट अनुमानधपक्याने वरच्या लिमिटच्या अर्धे ३.१४... मीटर
शंका : "परीघ" म्हणजे "सर्कमफरन्स" ना?
उत्तर
१५.९० से.मी.
उत्तर
१५.९० से.मी.
सध्याची त्रीज्या र१ = ६४०० की.मी.= ६४००००० मी.
सध्याचा परीघ = प१= (२* (२२/७) * र१) = ४०२२८५७१.४२८५७
नवीन परीघ प२ = प१-१= ४०२२८५७१.४२८५७
-१= ४०२२८५७०.४२८५७
त्यानुसार नवीन त्रिज्या र२= प२/ (२*(२२/७))= ६३९९९९९.८४०९०९०९
र१-र२= ०.१५९०९० मी. = १५.९० से.मी.
माझ्या दृष्टीने तफावतीचे/अनुमान-प्रमादाचे स्पष्टीकरण
d(साइनx)/d(कॉसx) = कॉसx/(-साइनx) = -कॉटx
x शून्याजवळ जाता -कॉटx अगणितकडे जातो (एक्स्पोड होतो, स्फोट पावतो)
जर x म्हणजे रिकामटेकडा यांच्या उत्तरातील कोन असला, तर वरील गणिताच्या उत्तरातील प्रमाद (एरर) d(साइनx)/d(कॉसx) प्रमाणे जातो. हा जोवर स्फोट पावत नाही, तोवर आपण म्हणू शकतो : बदलणारा परिघ (कॉसx पमाणे जाणारा) हा जर थोडाच बदलला, तर खांबाची उंची (साइनx प्रमाणे जाणारी) साधारणपणे तितक्याच पटीने बदलेल. या आंतरिक अनुमानधपक्यामुळे मी वरील उत्तर दिले. ("कमाल मर्यादा" सांगण्यासाठी.)
मात्र कोन ०जवळ जाता अनुमानधपक्यातील प्रमाद स्फोट पावला. अर्थात "-कॉटx*dx" च्या ऋणचिह्नावरून कळते की स्फोट कुठल्या दिशेने पावला आहे. माझ्या वरील उत्तरापेक्षा खरे उत्तर खूपच जास्त असू शकते आहे.
आधीच उंचावलेला खांब (किंवा पृथ्वीभोवती फिरणारा उपग्रह म्हणा) याच्या उंचीत पृथ्वीच्या १ मीटर अकुंचनाने फारसा फरक पडणार नाही.
कमरेचा पट्टा
गणितीप्रक्रियेवर फारसा विचार केला नाही.
पण कमरेचा पट्टा बघितला. (कमनशिबाने माझा घेरा गोल नाही!). पट्टा घट्ट बांधून त्यावर दुसरा पट्टा चढविला (नाहीतर आकुंचन प्रसरणाने गोंधळ व्हायचा). मग त्याला बांधले आणि सैलसर सोडले. आता पोटावर किती वर होतोय पाहिला. बराच जास्त होत होता. एक अंदाज आला. की तिपटीच्या वर हा आकडा जाणार.
पण हे काही खरे नाही. उदा. परिघाच्या दुप्पट पट्टा असेल तर तो ०.५ र (र रेडियस) एवढाच जाणार (अंदाजे (४पाय र पट्ट्याची लांबी - पाय र)/२-र). म्हणजे पट्ट्याच्या लांबीतील फरकाचा त्रिज्येशी गुणोत्तराचा संबंध असला पाहिजे. ६४०० किमि आणि १ मि यांचे गुणोत्तर फार व्यस्त आहे. म्हणून तो माझ्या पट्ट्याच्या बराच जास्ती असणार.
यापुढे अंदाज करण्या आधी उत्तर पाहिले. म्हणून अंदाज बाद झाला.
एक गमतीदार प्रश्न विचारल्याबद्दल धन्यवाद. मजा आली.
प्रमोद
:)
हे कोडं वाचलं तेव्हा हाच विचार माझ्या डोक्यात चालला होता. आपण वजन कमी करण्याच्या जाहिरातींत जुन्या ढगळ पॅंटच्या कंबरेला बोट धरून ते बाहेर काढून दाखवताना हसऱ्या मॉडेल्स बघतो. म्हणूनच मी हे कोडं आकुंचनाच्या स्वरूपात मांडलं.
हेच कोडं या स्वरूपात देखील मांडता येईल...
पंधरा इंच व्यास असलेल्या वर्तुळाकार पोटाला एक पॅंट बरोब्बर बसत असे. वजन कमी केल्यानंतर ती घालून, कमरेवर पुढे खेचली की एक इंच पुढे येते. पोटाचा घेर नक्की कितीने कमी झाला?
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
उत्तर
श्री घासकडवी यांनी न-सांगितलेले, पण मी मानलेले एक गृहीतक : मेखलेचे वजन नगण्य आहे. त्यांच्या चित्रावरून हे गृहीतक त्यांना मान्य असेल, असे वाटते.
- - -
मला सापडलेले उत्तर येणेप्रमाणे :
अप्रॉक्सिमेशन पुरे केले तोवरचा आकडा : १२१.६४४३ आणि १२१.६४४८ मीटर यांच्या दरम्यान
.
रिकामटेकडा यांनी केलेल्या वर्णनाप्रमाणे नावे घेतली आहेत :
पृथ्वीची नवी त्रिज्या त समजू. काठीच्या टोकाला क म्हणू. ताणलेला पट्टा पृथ्वीला स्पर्शिका (टँजंट) असेल. त्या बिंदूंना च आणि ट म्हणू. पृथ्वीच्या केंद्राला प म्हणू. कटप आणि कचप हे काटकोन आहेत. टपच कोनाला २θ समजू. काठीची उंची य मानू.
.
त्याच प्रमाणे बदललेल्या परिघाच्या अंतराला 'अ' मानू. म्हणजे सामान्यीकृत उत्तर मिळेल. शेवटच्या उत्तरात अ=१मीटर घालता येईल.
.
सोयीसाठी पृथ्वीची नवी त्रिज्या ही मोजमापाचे एकक "पृ" मानू : १पृ = ६३,९९,९९९ मीटर या गुणोत्तराने शेवटले उत्तर सहज मीटरमध्ये मिळवता येते. (त = १पृ)
.
मेखलेची लांबी उचललेल्या च-क-ट भागास सोडता पृथ्वीच्या नव्या परिघाशी तंतोतंत जुळते.
परिघाच्या न जुळणार्‍या पृथ्वीतलाची लांबी = त*२θ = २θ
मेखलेच्या उचललेल्या भागाची लांबी = त*tanθ + त*tanθ = २*tanθ
अ = २*tanθ - २θ (समीकरण १)
.
पृथ्वीची त्रिज्या आणि काठी दोहोंची मिळून उंची = त*secθ
तस्मात् काठीची उंची = य = त*secθ - त = secθ - १
य = secθ - १ (समीकरण २)
समीकरण १ हे याहून सोपे करता येत नाही. sinθ = θ हे सुलभीकरण तर tanθ = θ या सुलभीकरणापेक्षा ढगळ आहे. आणि समीकरण अ मध्ये आपल्याला (tanθ - θ) = अ =नाही= ० !! म्हणजे नेहमीच्या वापरातले सुलभीकरण वर्ज्य आहे.
.
असे असल्यामुळे प्रयास-प्रमादाने गणित सोडवावे लागले. तरी माझ्या मते वरील दोन समीकरणे डोळ्यांना बरी (डौलदार) दिसतात.
उत्तर वर दिलेलेच आहे : य = १२१.६४४३ आणि १२१.६४४८ मीटर यांच्या दरम्यान
- - -
छान
तुम्ही दिलेली समीकरणे अधिक सुटसुटीत आहेत.
मात्र, "अ = २*tanθ - २θ (समीकरण १)" या समीकरणातून θ=फ(अ) असे क्लोज्ड फॉर्म समीकरण मिळाले असते तर अधिक समाधान वाटले असते.
तुम्ही दिलेल्या सूत्रांवरून मला ओपनऑफिसच्या स्प्रेडशीटमध्ये पुढील ओळ बनविता आली.
०.४ अंशांपेक्षा छोटा कोन असूनही tanθ=θ हे सुलभीकरण या कोड्यात चालत नाही हे गमतीशीर आहे.
क्लोज्ड फॉर्म येतो...
मिळतो, त्यासाठी tanθ एक्स्पांड करून θ + θ^३/३ या पहिल्या दोन टर्म्स वापराव्या लागतात (अधिक वापरूनही चालतील, पण समीकरण क्लिष्ट होतं)
कारण रेडियससारख्या प्रचंड आकड्याने गुणून त्याची तुलना (अ+१)/अ शी करायची आहे. म्हणजे १/अ हा १ टक्क्याच्या आत काढायचा आहे. खूप वेगवेगळ्या प्रकारे वेगवेगळी उत्तरं येऊ शकतात. व चुकीच्या ठिकाणी अॅप्रोक्झिमेशन केलं की गंडायला होतं.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
आणखी गंडणारे अप्रॉक्सिमेशन
हे गणित कुठल्याही खर्‍या परिस्थितीत वापरायला गेले, तर "पट्ट्याची जाडी १मिमि किंवा १सेंमी असेल, तरी पृथ्वीच्या परिघ्यादृष्टीने नगण्य मानूया" हे सुलभीकरण गंडते.
तसेच "पृथ्वी गुळगुळीत आणी समप्रमाणातला गोळा आहे, असे मानूया" हे सुलभीकरण गंडते.
खर्‍या परिस्थितीत हा पट्टा पृथ्वीवरील सूक्ष्मातिसूक्ष्म अशा उंचवट्यांवर जमिनीला टेकेल, आणि काठीची उंची त्यावर अवलंबून असेल.
अभिनंदन
धनंजय यांनी रिकामटेकडांचं उत्तर अधिक सुटसुटीत स्वरूपात दिलेलं आहे, व अचूक उत्तर काढलेलं आहे. सुटसुटीतपणात अजून एक पायरी पुढे जाता येईल.
वजनाचं गृहितक अर्थातच बरोबर. या गणितात न्यूटनचा कॉन्स्टंट शून्य मानलेला आहे. गुरुत्वाकर्षण नाही.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
उत्तर
१ मिटर