उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
कोडं २ : शून्य बनवा
राजेशघासकडवी
May 2, 2011 - 11:13 pm
खेळ:
कॅरमच्या चार पांढऱया सोंगट्या, चार काळ्या सोंगट्या व एक राणी घ्यायची. राणीवर शून्य हा आकडा लिहायचा. चार पांढऱ्या सोंगट्यांवर १ ते ४ आकडे लिहायचे. तसेच काळ्या सोंगट्यावर १ ते ४ आकडे लिहायचे. सोंगट्यांच्या (अॅब्सोल्यूट) किमती त्यांच्यावर लिहिलेल्या संख्येइतक्या असल्या तरी पांढऱ्या व काळ्या रंगांच्या किमती एकमेकांच्या विरुद्ध आहेत. म्हणजे
पांढरी १ + काळी १ = शून्य.
पांढरी ४ + काळी १ + काळी ३ = शून्य.
पांढरी २+ काळी २ + राणी = शून्य. वगैरे वगैरे.
दोन खेळाडूंनी हा खेळ खेळायचा आहे. पहिल्याने त्याला हवी ती सोंगटी उचलायची व आपल्याकडे ठेवायची. मग दुसऱ्याची पाळी. त्याने उरलेल्या सोंगट्यांपैकी त्याला हवी ती सोंगटी उचलायची. असं आळीपाळीने करत रहायचं. दोघांनाही सोंगट्यांवरचे आकडे दिसतात, एकमेकांच्या खेळ्या दिसतात, व दुसऱ्याकडे कुठच्या आकड्यांच्या सोंगट्या आहेत हे दिसत रहातं. या खेळात जो कोणी प्रथम आपल्याकडे कुठच्याही शून्य बेरीज असणाऱ्या तीन सोंगट्या निवडेल तो जिंकला.
हा खेळ जिंकण्यासाठी काय रीत वापरावी? जिंकण्याची शक्यता पहिली खेळी करणाऱ्यासाठी अधिक आहे की दुसरी खेळी करणाऱ्यासाठी?
उत्तरे पांढऱ्यात द्यावीत.
दुवे:
Comments
तीन किंवा अधिक की ठीक तीन सोंगट्या?
एक शंका :
ठीक तीनच की तीन-किंवा-अधिक?
ठीक तीनच
तीनपेक्षा अधिक नाही. कुठच्यातरी बरोब्बर तीनच. म्हणजे पांढरी२, काळी २ व राणी किंवा पांढरी१, पांढरी ३, व काळी४ या स्वरूपात. पांढरी २ व काळी २ पुरेशा नाहीत (कारण फक्त दोन सोंगट्या आहेत). काळी१, काळी२, काळी ३, पांढरी ४, पांढरी २ हे चालणार नाही (कारण पाच सोंगट्या झाल्या).
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
शंका
विचारू की नको असे वाटते पण ...समोरचा गडी फक्त जिंकण्यासाठी खेळेल हे गृहीतक चालेल काय? म्हणजेच तो मुद्दाम हरविण्यासाठी सोंगट्या निवडणार नाही असे असू शकेल काय?
:)
गेट रिअल! असे काही गृहीतक घेऊन मराठी संस्थळावर येता?
माफी
:) माफी असावी गणितज्ञ. मज पामरास गणित फारसे येत नाही.
(माझी शंका खरी ठरू नये अशी आशा करतो :))
स्ट्रॅटेजी
तुम्हाला 'मुद्दाम हरण्यासाठी' असं म्हणायचं असावं. थोडक्यात उत्तर - मुद्दाम हरण्यासाठी समोरचा खेळाडू खेळेल या गृहितकावर तुमच्या खेळाची स्ट्रॅटेजी उभारता येणार नाही.
पण हा प्रश्न अगदीच असंबद्ध नाही. या खेळात तीन पर्याय आहेत - जिंकणं, हरणं, व खेळ अनिर्णित राखणं. कारण सगळ्या सोंगट्या संपल्यावर कोणाकडेच शून्य बेरीज होणाऱ्या तीन सोंगट्या नाहीत अशी परिस्थिती होऊ शकते. त्यामुळे त्या दोनपैकी एका खेळाडूची स्ट्रॅटेजी 'मी जिंकणं शक्य नाही, तेव्हा मी खेळ अनिर्णित ठेवण्यासाठी खेळेन' अशी असू शकेल. पहिल्या काही खेळींनंतर ही बदलू देखील शकेल.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
धन्यवाद
माझा प्रश्न नीट मांडल्या बद्दल धन्यवाद, पण उत्तर थोडे संदिग्ध आहे, पण ते बहुदा तसेच राहावे म्हणजे कोड्याची मजा राहील.
ह्याच क्रमवारीत ते येणार का हा माझा प्रश्न होता...हि एक स्ट्रॅटेजी आहे, दुसरी स्ट्रॅटेजी आहे हरणं, अनिर्णित राखणं, जमल्यास जिंकणं. हरण्याची तयारी ठेऊन मुद्दाम समोरच्याची अडवणूक केल्यास जिंकणे अवघड होईल, असे मला वाटते.
फर्स्ट शॉट
सविस्तर विचार न करता (झोपण्याआधी पाहीले) प्रयत्न करत आहे.
कुठलीही रीत वापरली तरी खेळात पहिला किंवा दुसरा कुठलाही खेळाडू (ससाबा दोघांपैकी एक असला तरी) जिंकू शकत नाही.
समजा पहिल्या खेळाडूच्या कुठल्याही कवडीला दुसर्‍या खेळाडूने काहीही कवडी उचलून पहिली चाल खेळली. पहिल्या खेळाडूच्या दुसर्‍या चालीवरून दुसर्‍या खेळाडूला पहिल्या खेळाडूच्या तिसर्‍या चालीला ट्रंप करता येते कारण शून्य बेरीज होऊ शकणार्‍या प्रत्येक तिळ्यात एक अंक एकदाच येतो. म्हणजेच दोन अंक समजल्यावर तिसरा अंक समजू शकतो. पहिल्या खेळाडूच्या तिसर्‍या चालीत स्वत: हरल्याचे लक्षात आल्यानंतर दूसर्‍या खेळाडूच्या तिळ्याची बेरीज शून्य होणार नाही अशी चाल पहिला खेळू शकतो. म्हणून कुठलाही खेळाडू जिंकू शकत नाही.
कदाचीत ..
>>या खेळात जो कोणी प्रथम आपल्याकडे कुठच्याही शून्य बेरीज असणाऱ्या तीन सोंगट्या निवडेल तो जिंकला.
ह्या वाक्यामुळे काही फरक पडेल काय ? . म्हणजे पहिल्या तीन सोंगट्या झाल्यानंतर सुद्धा खेळ चालू राहू शकतो.
"कुठच्याही ३ " असं म्हणलं आहे.
राजेश , कृ. शंका समाधान करा , मी किंवा "का" कुणीतरी चूकत आहे.
---------------------
-धनंजय कुलकर्णी
खुलासा
एका खेळाडूकडे पहिल्या तीन सोंगट्या जमल्या की खेळ संपतो. म्हणजे पहिला खेळाडू प१, प३ आणि क४ च्या मागे असेल व दुसरा खेळाडू क१, क३ व प४ च्या मागे असेल तर पहिला खेळाडू जिंकणार. त्याची पहिली खेळी असल्यामुळे तो जेव्हा तीन सोंगट्या उचलेल तोपर्यंत दुसऱ्या खेळाडूने दोनच उचलल्या असतील. मला वाटतं का यांनीदेखील हेच गृहित धरलं असावं.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
@ का - पुरेसं नाही.
प्रत्येक तिळ्यात एक अंक एकदाच येत असला तरी एखादा अंक दोन तिळ्यांत येऊ शकतो. राणी तर चार तिळ्यांत येते. त्यामुळे पहिल्याने राणी निवडली, दुसऱ्याने प४ निवडली, पहिल्याने प२ निवडली, दुसऱ्याला क२ निवडणं भाग आहे. नंतर पहिल्याने क१ निवडली. आता परिस्थिती अशी आहे की पहिल्याने क३ किंवा प१ काहीही निवडलं तरी पहिला जिंकू शकतो. दुसऱ्याकडे प४ आणि क२ आहेत, त्यामुळे त्याला अजून एक क२ निवडणं शक्य नाही. त्याला पहिल्याला जिंकण्यापासून थांबवता येत नाही.
खेळ असाच होईल असं सांगता येत नाही, पण मला म्हणायचं आहे की जिंकण्यासाठी काही स्ट्रॅटेजी आहेत, प्रतिस्पर्ध्याच्या खेळींमुळे काही खेळी फोर्स्ड आहेत. मात्र पहिल्या खेळाडूच्या खेळीनंतर दुसऱ्या खेळाडूने 'काहीही' निवडून चालणार नाही.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
प्रश्न :
>>त्यामुळे पहिल्याने राणी निवडली, दुसऱ्याने प४ निवडली, पहिल्याने प२ निवडली, दुसऱ्याला क२ निवडणं भाग आहे. नंतर पहिल्याने क१ निवडली. आता परिस्थिती अशी आहे की पहिल्याने क३ किंवा प१ काहीही निवडलं तरी पहिला जिंकू शकतो.
पहिला : राणी (०) + प२(२) + क१ (१)
इथे "पहिल्याने क३" हे निवडल्यावर तो कसा काय जिंकतो ?
तुम्हाला क२ म्हणायच आहे काय् ? पण क२ तर आधीच निवडली आहे.
हे कसे ????
---------------------
-धनंजय कुलकर्णी
सुधारणा
त्यामुळे पहिल्याने राणी निवडली, दुसऱ्याने प४ निवडली, पहिल्याने प२ निवडली, दुसऱ्याला क२ निवडणं भाग आहे. नंतर पहिल्याने प१ निवडली. आता परिस्थिती अशी आहे की पहिल्याने क३ किंवा क१ काहीही निवडलं तरी पहिला जिंकू शकतो.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
बरोब्बर तीनच
तुम्ही धनंजय यांना दिलेल्या उत्तरामुळे खेळ पाच किंवा सहा एकूण चालीत संपतो असे वाटते. सहा चालींपेक्षा जास्त चाली असू शकत नाहीत. तसे असल्यास माझे उत्तर बरोबर आहे. पण या प्रतिसादामुळे सहापेक्षा अधिक चाली असू शकतात असे तुम्हाला म्हणायचे असावे, असे वाटते. तसे असल्यास 'बरोब्बर तीनच' ऐवजी 'कुठल्याही खेळाडूच्या क्रमाने तीन चालींची बेरीज शून्य झाली तर तो/ती जिंकली/जिंकला' असे असायला हवे होते का?
क्रम महत्त्वाचा नाही
सहा चालींत खेळ संपतो असं नाही. जर पांढऱ्याने चार सोंगट्या निवडल्या, त्यातल्या कुठल्यातरी तीनची बेरीज शून्य असेल तरी चालेल. त्या क्रमाने निवडलेल्या असण्याची गरज नाही.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
एक प्रयत्न
या खेळाचे 'फुली- गोळा' या खेळाशी बरेच साम्य आहे .
जसे . . .
सोंगट्या ९ - घरे ९
३ सोंगट्यांची बेरीज - ३ सरळ घरात फुली किंवा गोळा
एका आड एकाची चाल
'३ सोंगट्यांची बेरीज शून्य = एका सरळ रेषेतील ३ फुली किंवा गोळा ' असे मानले तर खालीलप्रमाणे आदर्श रचना मिळेल .
ज्याप्रमाणे फुली- गोळयात खेळाडू मधल्या चौकोनावर कब्जा करतॊ व त्याला जिंकायची अधिक संधी असते, त्याप्रमाणे इथे जो खेळाडू राणी घेईल त्याला जिंकायची अधिक संधी असेल.
साहजिकच पहिली चाल राणीची.
फुली- गोळयात जर चाल कोपर्यातील घरात केली नाही , तर तो खेळाडू हरण्याची शक्यता असते . तसेच इथेही २ किंवा ४ ची खेळी केली तर हरण्याची शक्यता आहे .
कारण नंतर पहीला खेळाडू ३ आणि १ ची चाल् करून डाव जिंकू शकतो .
अनिर्णीत डाव उदाहरण
0 - का ३
पा ३ - का१
पा ४ - का ४
पा २ - का २
प्रथम खेळणारा विजयी उदाहरण
0 - का ३
पा ३ - का २
पा १ - ??? कारण आता 'का ४' व 'का १' या दोन शक्यता रोखायच्या आहेत .
इतर शक्यता फुली- गोळयातील डावाप्रमाणेच
माफ करा, आकृती पांढर्या रंगात लपवता आली नाही.
मस्त!
सामंतर्य खूपच आवडले.
दोन्ही खेळाडू बुद्धिमान असल्यास फुलीगोळा हा खेळ अनिर्णित राहतो हे ब्रूट फोर्सने माहिती आहे (मला सिद्धता माहिती नाही) त्यामुळे या कोड्याचे उत्तरही 'अनिर्णित' हेच म्हणावे लागेल.
ब्रूट फोर्सने येथेच पोचलो
ब्रूट फोर्सने येथेच पोचलो.
---
०, ३ : डाव अनिर्णित
---
फार छान
एका खेळाचे दुसर्‍या खेळात छान परिवर्तन केले आहे. आवडले.
फुली गोळा हा सुटलेला प्रश्न आहे.
प्रमोद
अभिनंदन
बोका यांचे अभिनंदन. हा प्रश्न वेगळ्या स्पेसमध्ये नेला की विचार करायला स्पष्ट होतो. हा खेळ म्हणजे जादूई चौरसावर फुल्ली गोळा असं म्हटल्यावर सगळंच सोपं होतं.
का यांनीदेखील आपल्या दुसऱ्या प्रयत्नात असाच थोडा विचार केलेला आहे. उदाहरणार्थ, त्यांनी कोपऱ्यातले आकडे, मधली राणी व इतर आकडे यांचा तिळ्यांमध्ये समावेश किती प्रमाणात होतो यावरून केलेला युक्तीवाद हा अंतिम उत्तराच्या जवळ जाणारा आहे. त्यांचं उत्तर हे परिपूर्ण आहे की नाही याबद्दल संभ्रम आहे. कदाचित फुल्ली-गोळा हा खेळ अनिर्णितच राहाणार हे सिद्ध करणं कठीण असल्यामुळे शेवटच्या क्युइडी पर्यंत पोचायला (किंवा ते पोचले हे मला कळायला) त्रास झाला.
हे कोडं वाचलं तेव्हा पहिल्यांदा थोडासा विचार करून काहीच हाती लागलं नाही. जेव्हा दुसऱ्यांदा वाचलं तेव्हा अचानक ९ क्रमवार आकडे, ३ च्या बेरजा म्हटल्यावर जादूचा चौकोन आठवला. पुढचं अर्थातच सोपं आहे. त्यामुळे हे कोडं मांडताना ९ क्रमवार आकडे उघड दिसू नयेत म्हणून विरुद्ध किमतीच्या सोंगट्या घेतल्या. वजा व अधिक हे शब्द वापरण्यापासून दूर राहिलो.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
तत्त्व एकच । स्पष्टीकरण
बोका यांचे नऊ चौकोन आणि आठ तीळे यात तत्त्वत: काहीच फरक नाही. नऊ चौरस (आठ रांगा) हे एक प्रकारचे रेप्रेजेंटेशन आहे तर आठ तीळे हे दुसर्‍या प्रकारचे. दोन्हींमुळे वरकरणी अवाढव्य वाटणारी स्ट्रॅटजी स्पेस मर्यादीत होते.
एकदा स्ट्रॅटजी स्पेस मर्यादीत केल्यानंतर कुठल्या स्ट्रॅटजीज डॉमिनंट ठरतील हे ठरवण्यासाठी वारंवारिता वापरावीच लागते. बोका यांच्या चौकोनांत मधला चौरस पकडला तर प्रतिस्पर्ध्याच्या चार (उभी, आडवी व दोन तिरक्या) रेषा एलिमिनेट करता येतात व स्वत:साठी तितक्याच सुरक्षित करता येतात. पहिल्यांदा शून्य खेळण्यासाठी वारंवारिता जास्त अंक असलेला अंक खेळणे ही स्ट्रिक्टली डॉमिनंट स्ट्रॅटजी आहे हे एक बारीकसा लेमा (पेऑफ मेट्रिक्स (समजा जिंकणे १,अनिर्णित ० आणि हरणे -१)) सिद्ध करून दाखवता येते. दोन्ही खेळाडूंच्या पहिल्या चालींमध्ये वारंवारिता हीच डॉमिनंट स्ट्रॅटजी आहे. पहिल्या खेळाडूने दुसर्‍या चालीत सिमेट्रिक अंक न खेळण्याचे कारण म्हणजे तसे केल्यास प्रतिस्पर्ध्याने आधीच एलिमिनेट झालेल्या तिळ्यातला एक एलिमेंट पकडला जातो. ही स्ट्रिक्टली इन्फेरियर स्ट्रॅटजी आहे. दुसर्‍याच्या दुसर्‍या चालीपासून खेळ अगदी सरळ आहे.
क्लोज बट...
उत्तरांमध्ये वापरल्या गेलेल्या रिप्रेझेंटेशनमध्ये तत्वतः काही फरक नसला, तरी त्या मांडणीतून किती सहज उत्तर समजतं याला महत्त्व आहे. फुल्ली गोळ्याचा खेळ अनिर्णित का रहातो हे समजावून सांगणं कठीण असलं, तरी जवळपास प्रत्येकाला तो अनिर्णित रहातो हे अनुभवातून माहिती असतं. त्यामुळे त्या उत्तरावर लॅच व्हायला सोपं जातं.
तुमच्या स्ट्रॅटेजीने खेळणारा नेहेमीच अनिर्णित ठेवू शकेल असं नाही. समजा मी पहिला खेळाडू आहे व तुमच्या स्ट्रॅटेजीने दुसरा खेळाडू खेळतोय. डाव असा होऊ शकेल.
पहिला.. दुसरा
१.........० (वारंवारतेप्रमाणे सर्वोत्तम खेळी. माझी चार तिळी गेली)
-१........३ (२, -२, ४, -४ खेळलं तर माझं एकच तिळं जातं. ३ किंवा -३ खेळल्याने माझी दोन तिळी जातात, इतकंच नाही, तर पुढच्याच खेळीत दुसरा जिंकण्याची शक्यता आहे)
-३ (मी पुढच्या खेळीत जिंकतो - २ किंवा ४ काहीही निवडून चालेल)
नुसती वारंवारता पुरेशी नाही.
असो. पुन्हा एकदा, तुमच्या उत्तरात त्रुटी आहे ती सर्वोत्तम स्ट्रॅटेजी प्रत्यक्ष शोधून काढण्याचा व लिहून काढण्याचा प्रयत्न करत आहात त्यामुळेच आहे. म्हणजे तुम्ही अधिक कठीण प्रश्न सोडवत आहात. 'फुल्ली गोळा या खेळात डाव अनिर्णित रहातो' हा थिअरम जवळपास सर्वांनीच एन्यूमरेशन पद्धतीने स्वतःला सिद्ध केलेला असतो. तो इन्व्होक करणं अपेक्षित होतं. म्हणून अभिनंदनाऐवजी ऑनरेबल मेन्शन.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
समजलेले दिसत नाही
कुठलाही गेम सोडवतांना सोल्युशन संकल्पना वापरावी लागते. मी वापरलेली संकल्पना नॅश एक्विलिब्रियम आहे. तुम्ही पहिल्यांदा शून्य न खेळून डेविऍट केलेले आहे. या गेमच्या एक्सटेन्सिव फॉर्ममध्ये एक आउटकम असे असेल की खेळ तुम्ही दिल्याप्रमाणे सुरू होईल पण दुसरा दुसर्‍या चालीत ३ खेळणार नाही. पण ते आउटकम नॅश एक्विलिब्रियम असणार नाही.
पहिल्या खेळाडूची पहिली चाल शून्य असणे ही स्ट्रिक्टली डॉमिनंट स्ट्रऍटजी आहे. जर पहिला तसे खेळला नाही तर दुसर्‍याची स्ट्रिक्टली डॉमिनंट स्ट्रॅटजी बदलेल (कारण सिक्वेन्शियल गेममध्ये स्ट्रॅटजीज कंडिशनल असतात.)
वरच्या उदाहरणावरील माझे स्पष्टीकरण थोड्या वेळाने देतो पण 'स्वतःला सिद्ध', 'अनुभवातून' असे शब्द वाचल्यानंतर हे कोडे खूपच सोपे होते असे लक्षात आले.
कदाचित नाही समजलेलं
नॅश इक्विलिब्रियममध्ये इतरांची स्ट्रॅटेजी माहीत असणं गृहित आहे का? डॉमिनंट स्ट्रॅटेजी ही तांत्रिक संज्ञा आहेसं दिसतंय. त्यापासून डेविएट न होणं बंधनकारक आहे का?
मला या संकल्पना नीटशा माहीत नाहीत म्हणून विचारतो आहे.
एन्यूमरेट करून सिद्धता पूर्ण करता येते. 'स्ट्रॅटेजी फुल्ली गोळाप्रमाणे' हे त्या संपूर्ण एन्यूमरेशनसाठी शॉर्टफॉर्म आहे. मला जर पुरेसा वेळ दिला तर हे एन्यूमरेशन प्रत्यक्षात मांडून दाखवू शकेन अशी खात्री आहे. बहुतेक उपक्रमी ते करू शकतील अशीही खात्री आहे. म्हणूनच ती मोठ्ठी यादी लिहिण्यापेक्षा थोडक्यात लिहिलं. फुल्ली-गोळा खेळात कोणाच्याच लक्षात न आलेली एखादी खेळी आहे किंवा असू शकेल असं तुमचं म्हणणं आहे का?
बे चोक आठ हे सिद्ध करावं लागतं का? ते सगळ्यांना माहीत आहे असं गृहित धरायला काय हरकत आहे?
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
खुलासा । टोमणे । पाठपुरावा
दुसर्‍याने कुठलीही चाल केली तरी जी चाल खेळल्याने माझी जिंकण्याची शक्यता वाढेल त्या चालीला स्ट्रिक्टली डॉमिनन्ट स्ट्रॅटजी म्हणता येते. स्वतः व इतर खेळाडू स्वतःचा अंतिम पेऑफ मॅक्झिमाइज करण्याअसाठी खेळत असतील तर जे आउटकम असेल त्याला नॅश इक्विलिब्रियम म्हणता येते. (रिटे गेम थियरीचे जाणकार असावेत असे वाटते. याबद्दल इतर प्रश्न त्यांना विचारावेत.)
खालच्या प्रतिसादात अनेक अनिर्णित खेळांच्या शक्यता आहेत हे मान्य केलेले आहे. त्यामुळे इतरही खेळ्या डॉमिनन्ट असू शकतात हे सिद्ध होते. माझ्या प्रतिसादात फक्त एकच आहे असे ठामपणे म्हटले आहे, जे चुकीचे आहे. पण मी सर्वच चालींसाठी वारंवारिता हे तत्त्व वापरले आहे हे तुमचे विधान तुम्हाला माझा प्रतिसाद समजला नाही याचे लक्षण वाटले. तुम्ही दिलेल्या उदाहरणावरून ते लक्षातही आले.
नाही. नऊ अंक नऊ चौरसांत मांडून सर्व शक्यता चटकन विचारात घेता येतात. एन्युमरेटच करायचे असल्यास सर्व अंकांमुळे निर्माण होणार्‍या सर्व शक्यताही भव्य ट्री डायग्रॅम काढून कोणी दाखवू शकेल. पण एक काही तत्त्व सापडले तर एन्युमरेट करण्याची गरज पडत नाही. सर्व अनिर्णित ठरू शकणारे खेळ एका संचात मांडता येतील.
नाही. एन्युमरेट करावे लागते हे मला खटकते. ते असो. पण 'अनुभव' व 'स्वतःला सिद्ध' काही पटले नाही बुवा.
गेम थियरी आणि सुटलेले खेळ
काही खेळ पूर्ण पणे सुटलेले असतात. फुली गोळा हा त्यातला प्रकार आहे.
सुटलेले खेळ याचा अर्थ खेळणार्‍यास (सहसा पहिल्या) प्रत्येक खेळीचे विश्लेषण माहित असते. दोन्ही खेळाडूंना हे माहित असल्यास खेळाचा निकाल खेळ सुरु करण्याआधी लागल्यासारखा असतो. पहिली खेळी करणारा (विशिष्ट खेळी केल्यावर) नेहमी जिंकतो (दुसर्‍याने कशाही खेळी खेळल्यातरी) असे असल्यास तो नेहमी तीच खेळी खेळेल. पहिली खेळी खेळल्यावर दुसर्‍यासाठी हाच नियम लागू होतो आणि पुढे पुढे. ह्यालाच
काही खेळ सुटलेले नाहीत पण सुटण्याजोगे आहेत. उदा. बुद्धीबळाचा खेळ. यातील शक्याशक्यतेच्या विविधतेने हे कठीण झाले आहे. हा खेळ एकदा सुटला की त्याचा ऍलगॉरिदम तयार होईल आणि तो वापरल्यावर खेळणे निरर्थक होईल.
काही खेळ केवळ शक्याशक्यतेत बांधले गेले असतात. (प्रॉबॅबिलीटी) ठाम पणा नसतो. असे असल्यास प्रत्येक खेळीचे सर्व शक्य निकाल मांडायचे (उदा. अ खेळी साठी १०, ५, ७ आणि ब खेळी साठी ३, २, १६). त्यातील प्रत्येक खेळीतील सर्वात वाईट निकाल पाहायचा (म्हणजे अ खेळी साठी ५ तर ब खेळी साठी २) आणि यातील सर्वात मोठा ज्यात येईल तो निवडायचा. (म्हणजे अ खेळी). अशी रणनीति योग्य असते. (कारण आपल्याविरुद्ध जो खेळणारा असेल तो या विरुद्ध खेळून आपले हेतू साध्य करीत असतो.)
तुम्ही जी पद्धत मांडता आहात ती वरील पद्धतीशी मिळती जुळती वाटते पण तशी ती नाही. दुसर्‍याने कुठलीही चाल केली तरी जी चाल खेळल्याने माझी जिंकण्याची शक्यता वाढेल त्या चालीला स्ट्रिक्टली डॉमिनन्ट स्ट्रॅटजी म्हणता येते. स्वतः व इतर खेळाडू स्वतःचा अंतिम पेऑफ मॅक्झिमाइज करण्याअसाठी खेळत असतील तर जे आउटकम असेल त्याला नॅश इक्विलिब्रियम म्हणता येते. (रिटे गेम थियरीचे जाणकार असावेत असे वाटते. याबद्दल इतर प्रश्न त्यांना विचारावेत.) हे त्यासोबत जुळत नाही.
दुसरे असे की सुटलेल्या खेळाला शक्यता मोजण्याची पद्धत वापरणे म्हणजे विरुद्ध खेळाडू अनभिज्ञ आहे असे मानणे. हे प्रत्यक्ष खेळात शक्य असले तरी अशा विचार खेळात ते योग्य नाही.
प्रमोद
थोडक्यात
कदाचित मी स्ट्रिक्टली डॉमिनेटेड स्ट्रॅटजीची खूपच ढिसाळ व्याख्या दिली होती. विशेषतः शक्यता हा शब्द वापरणे योग्य नव्हते.
खेळ सुटलेला आहे हे प्रथमदर्शनी माहीत नाही. खेळ सोडवण्यासाठी प्रतिस्पर्ध्याचा संपूर्ण खेळीसंच (स्ट्रॅटजी स्पेस) विचारात घेऊन त्यातील कुठल्याही खेळीला जर माझी एखादी खेळी सर्वोत्तम प्रतिसाद (बेस्ट रिस्पॉन्स) असेल तर ती खेळी 'नक्की वरचढ' (स्ट्रिक्टली डॉमिनन्ट).
माझे असे मत होते की खेळ सुरू करण्यासाठी शून्य खेळणे ही तशी 'नक्की वरचढ' चाल आहे पण घासकडवींनी १ने सुरूवात केल्यासही चालण्यासारखे आहे हे उदाहरणातून् दाखवून दिले तद्वत शून्य सोडून इतरही खेळ्या योग्य आहेत आणि म्हणून त्या सर्व 'सैल वरचढ' (विकली डॉमिनन्ट) आहेत.
इ.एस.एस.
मला गेम थियरीची जी तुटपुंजी माहिती आहे ती उत्क्रांतीवादात वापरल्या गेलेल्या इव्होल्यूशनरी स्टेबल स्ट्रॅटेजी मधून. थोडक्यात कल्पना अशी आहे की 'समुदायात बहुतांश लोक जी स्ट्रॅटेजी वापरतात, व जिच्यापासून डिव्हिएट झालं तर फायदा होत नाही' ती स्ट्रॅटेजी म्हणजे इएसएस. वर दिलेली स्ट्रॅटेजी 'अशी खेळी करा की ज्यायोगे प्रतिस्पर्ध्याला उपलब्ध असलेली तिळी कमी होतील' ही त्या अर्थाने इएसएस नाही. कारण तिच्यापासून विशिष्ट पद्धतीने डिव्हिएट होणाऱ्याचा प्रचंड फायदा होईल. थोडक्यात, बहुतांश लोक कुठच्या स्ट्रॅटेजी वापरतात याचा विचार करणं महत्त्वाचं आहे.
या इएसएसचा नॅश इक्विलिब्रियम व डॉमिनंट स्ट्रॅटेजीशी काय संबंध आहे?
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
थोडेसे
इएसएसमध्ये ग्रुपच्या डायनॅमिकचा विचार करतांना इन्डिविज्युल पेऑफ्स आहेत. ग्रुपला सोडून काही वेगळे केल्यास फायदा होत नाही. स्ट्रिक्टली डॉमिनन्ट स्ट्रॅटजी आणि इएसएस काही खेळांमध्ये एकसारख्याच असतील पण काही खेळांमध्ये त्या वेगवेगळ्या असू शकतील. (मी तपासून पाहिलेले नाही, निव्वळ अंदाज बांधतोय.)
'उपलब्ध तिळी कमी करणे' ही पहिल्या सबगेममध्ये (खेळाच्या अनेक पायर्‍यांपैकी एक किंवा एकापेक्षा अधिक पायर्‍या) विकली डॉमिनन्ट आहे. म्हणजे पहिल्या तीन खेळ्या (पहिल्याच्या दोन आणि दुसर्‍याची एक) या मर्यादीत सबगेमसाठी ते खरे आहे. पण संपूर्ण गेम पाहिला तर काही सबगेम्समध्ये जसे दुसर्‍याची दुसरी चाल आणि त्यानंतरच्या चाली या मध्ये ती कुठल्याच वरचढतेच्या निकषास उतरत नाही. तांत्रिक भाषेत ती 'सबगेम पर्फेक्ट' नाही.
प्रतिटोमणे.
तुमचे टोमणे नक्की कोणाला मारले ते कळलं नाही.
एखाद्या प्रश्नासाठी एलिगंट उत्तर (सुटलेल्या प्रश्नाशी मॅपिंग, एखादं तत्व शोधून काढणं, उत्तम वर्गीकरण, इतर क्रिएटिव्ह पद्धती...) असतं (मूळ संख्या अनंत आहेत याची सिद्धता) किंवा ते कष्टाने मोजमाप करून काढावं लागतं (फोर कलर प्रॉब्लेम). काही बाबतीत या दोनपैकी एकच शक्य असते. तर काही बाबतीत दोन्ही वापरता येऊ शकतील पण कुठची पद्धत चांगली हे सांगता येत नाही. फुल्ली-गोळा च्या बाबतीत दोन्ही पद्धती वापरता येतील. पण मुद्दा असा आहे की बहुतेकांनी कष्टाने का होईना, हा प्रश्न सोडवलेला आहे.
या कोड्याच्या बाबतीत मात्र, एलिगंट पद्धत आहे ती म्हणजे फुल्ली-गोळा प्रॉब्लेमवर मॅपिंग करणं. ते तुमच्या उत्तरात नाही. त्यामुळे 'एलिगंट उत्तर हवं' हा तुमचा अट्टाहास असेल तर तो या कोड्याच्या बाबतीत तुमच्याच उत्तराला लावून का नाही पहात? स्वतःचं उत्तर ज्या निकषांवर उतरत नाही त्यांची मागणी करणं म्हणजे चोराच्या उलट्या बोंबा किंवा दोन डगरींवर पाय ठेवणं झालं. तुमचं ऑनरेबल मेन्शन स्टेटस देखील काढून घ्यावं का असा विचार करतोय.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
टोमणा-टोमणी
एन्युमरेट करणे हाच एकमेव पर्याय असल्यास फुल्ली-गोळा पद्धत तुलनेने चांगली आहे. परंतु एन्युमरेट करणे सोडून इतर पर्याय उपलब्ध असल्यास फुल्ली-गोळा एलिगंट नाही. दुसरे पर्याय नाहीत असे खात्रीलायकरित्या सिद्ध झालेले नाही. जोपर्यंत तसे सिद्ध होत नाही, हे माझे मत कायम आहे.
नाही. बहूतेकांनी फुल्ली-गोळ्यात तीन चार खेळ करून बघितले आणि अनिर्णीत उत्तर असावे असा अंदाज केला. जो चुकीचा आहे असे माझे मत नाही. तेव्हा बहुतेकांनी स्वतःपुरता हा प्रश्न सोडवला आहे.
माझे उत्तर अजिबातच एलिगंट नव्हते. ते तसे आहे असा अट्टाहासही मी केलेला नाही. तेव्हा 'एलिगंट' या निकषाखाली उत्तर मी जोखलेलेच नाही. माझ्या उत्तरात काही असे तत्त्व सापडू शकेला का ज्याने एन्युमरेशनची गरज न पडताही गेम अनिर्णीत राहील असे दाखवता येईल, ते शोधण्याचा प्रयत्न आहे.
वारंवारिता पोपट तुम्हाला खेळतांना आवडलेला दिसतोय. तुम्ही पूर्ण म्हणणे का ऐकत नाही. पुन्हा एकदा: फुल्ली-गोळापेक्षा माझे उत्तर एलिगंट आहे किंवा नाही याबाबत भाष्य नसून एन्युमरेशनपेक्षा एलिगंट पद्धत उपलब्ध आहे का? यासंदर्भात माझी वाक्ये तपासली जावीत.
घ्या काढून. आम्ही 'अल्सो रॅन' असलो म्हणून काय झाले, पळतांना आम्ही भरपूर आनंद घेतला.
दूसरा प्रयत्न
उत्तर अनिर्णित आहे.
आठ तिळी: (-४,०,४), (-४,१,३), (-३,-१,४), (-३,०,३), (-३,१,२), (-२,-१,३), (-२,०,२), (-१,०,१)
(अंक, वारंवारिता): (०,४), (-१,३), (-२,२), (-३,३), (-४,२) (सिमेट्रीमुळे धन संख्यांसाठी सारखेच)
सहजपणे पहिला शून्य का खेळेल ते पडताळून पाहता येते. दुसरा (-४,-२,२,४) पैकी काही खेळल्यास पहिल्याचे फक्त एकच शक्य तीळे कमी होईल व दुसर्‍या चालीत पहिला (-१,१,-३,३) पैकी एक अंक खेळेल. आणि दुसर्‍याला त्याचा सिमेट्रिकल अंक खेळावा लागेल. (म्हणजे १ खेळल्यास दुसर्‍याला हरण्यापासून वाचण्यासाठी -१च खेळता येईल.) म्हणून दुसरा पहिली चाल (-१,१,-३,३) यापैकी खेळेल.
पहिल्याची दुसरी चाल (-१,१,-३,३) या संचातील सिमेट्रिक अंक सोडून उरलेल्या एलिमेंट्सपैकी असेल. उदा. दुसर्‍याची पहिली चाल तीन असल्यास पहिल्याची दुसरी चाल -१ किंवा १ असेल. सिमेट्रिक खेळला तर तिसर्‍या चालीत जिंकण्याची शक्यता मावळेल आणि दुसर्‍याला तिसरी मुव फोर्स करण्याची संधी जाईल. दुसर्‍याची दुसरी चाल अर्थातच सिमेट्रिक अंक असेल.
पहिल्याची तिसरी चाल दुसर्‍याची बेरीज तीन होऊ नये (फक्त एकच अंक) यासाठी असेल. त्याप्रमाणेच दुसर्‍याची तिसरी चाल पहिल्याची बेरीज तीन होऊ नये यासाठी. व पुढच्या चाली त्याप्रमाणेच.
.............
हे अगदी सरळ तर्काने दाखवता यायला हवे आहे पण सध्या मला कोअर आर्ग्युमेंत सूचत नाही.
राजेशघासकडवी विरुद्ध वारंवारिता पोपट व त्याचा मालक
तुमच्या उदाहरणाला थोडेसे रंजक करूया. तुम्ही 'अनुभव' व स्वतःपुरत्या सिद्ध केलेल्या चाली मैदानात घेऊन आले आहात. वारंवारिता पोपट व पोपटाचा मालक तुमचा प्रतिस्पर्धी आहे. काही कामामुळे मालक त्याने पोपटास खेळायला पाठवले. पोपटाने मालकाने शिकवलेले एकच तत्त्व ऐकले होते: 'आठ तिळ्यांमध्ये एलिमेनेट न झालेल्या तिळ्यांमध्ये जो अंक वारंवार येतो तो खेळायचा '.
राजेशघासकडवी चाल १: १
वारंवारिता पोपट चाल १: ०
(-४,०,४), (-४,१,३), (-३,-१,४), (-३,०,३), (-३,१,२), (-२,-१,३), (-२,०,२), (-१,०,१)
पोपटाने पाहिले राजेशघासकडवी यांनी समर्थपणे तीन तिळी उडवून फक्त पाच तिळी शिल्लक ठेवली आहेत आणि त्यात शून्य सर्वात जास्त वेळा येतो.
राजेशघासकडवी चाल २: -१
वारंवारिता पोपट चाल १: २
(-४,०,४), (-३,-१,४), (-३,०,३), (-२,-१,३), (-२,०,२)
पोपटाने पाहिले राजेशघासकडवी यांनी फक्त तीनच तिळी शिल्लक ठेवली आहेत आणि त्यात शून्य सोडून इतर अंक एकेकदाच येतात. पोपट विचारात पडला पण तेवढ्यात त्याचा मालक तेथे पोचला. मालकाने पाहीले की २ खेळल्यास राजेशघासकडवींना -२ खेळावे लागेल. मग स्वत: ३ खेळून स्वत:ला हरण्यापासून वाचवावे लागेल. मग घासकडवी -३ खेळतील त्यानंतर खेळ अनिर्णित राहतो.
.........
वर दिलेल्या खेळात पोपट व त्याचा मालक जिंकले नाहीत पण पोपटाने मालकाने सांगितलेली एक गोष्ट ऐकलीच नव्हती: 'दोन्ही खेळाडूंच्या पहिल्या चालींमध्ये वारंवारिता हीच डॉमिनंट स्ट्रॅटजी आहे.' खेळ संपल्यानंतर वारंवारिता सोडून इतर खेळ्याही अनिर्णितावस्थेपर्यंत नेतात हे लक्षात येते व मालक आपले विधान सुधरवतो. ते असे की वारंवारिता पहिल्या खेळाडूसाठी विकली डॉमिनंट आहे तर दुसर्‍या खेळाडूच्या पहिल्या चालीसाठी स्टिक्टली डॉमिनन्ट आहे. व वारंवारिता पोपट व त्याचा मालक परत जातात.
.........
राजेश घासकडवींनी दिलेले उदाहरण १पासून सुरू होते आणि तरीही अनिर्णितावस्थेपर्यंत पोचते याचा अर्थ ते उदाहरण दुसर्‍याच्या दुसर्‍या चालीपासून बदलल्यास नॅश एक्विलिब्रियम ठरू शकते. थोडक्यात या खेळाला मल्टिपल नॅश ईक्विलिबिया आहेत.