उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
कोडं - चार खांब
राजेशघासकडवी
April 26, 2011 - 7:56 pm
एका मोकळ्या, सपाट मैदानात तीन खांब रोवलेले आहेत. ते वेगवेगळ्या रंगाचे आहेत - लाल, पिवळा व निळा. तीनही खांबांचं एकमेकांपासून अंतर सारखंच आहे. चौथा काळा खांब असा रोवला आहे की तो पिवळ्या खांबापासून ३०० फूट अंतरावर आहे, व निळ्या खांबापासून ४०० फूट अंतरावर आहे. तर काळ्या खाबाचं लाल खांबापासून जास्तीत जास्त अंतर किती असू शकेल?
(खांबांची जाडी नगण्य, मैदान सपाट, अंतरं सरळ रेषेत मोजणं, अंतरं मोजताना नेहेमी खांबाच्या पायापासून ते दुसऱ्या खांबाच्या पायापर्यंत मोजणं गृहित आहे)
उत्तर व्यनिने पाठवा अथवा इथेच पण पांढऱ्यात लिहा.
दुवे:
Comments
उत्तर
११००
एकमेकांपासून समदूर
तीनही खांब एकमेकांपासून समदूर आहेत - याचा अर्थ ते एका समभुज त्रिकोणाच्या तीन टोकांवर रोवलेले आहेत. हे स्पष्ट झालं नसल्यास क्षमस्व.
कुठच्याही उत्तराची सिद्धता किंवा कारणमीमांसा द्यावी अशी अपेक्षा आहे.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
ह्म्म्म्
खरच की.. प्रश्न नीट वाचलाच नाही. क्षमस्व.
उत्तर अजून काढलं नाही. पण असं काहीतरी सुचतंय.
समभुज त्रिकोणाच्या बाजूची लांबी कमीतकमी १ आणि जास्तीतजास्त ७. त्यामुळे हवा असलेला बिंदू त्रिकोणाची बाजू ४ असताना मिळेल. आता काळा खांब धरून जो चौकोन तयार होइल त्याच्या चार बाजू ४,४,४ आणि ३ अश्या असतील. चौकोनाचा एक कर्ण ४ असेल. दुसर्‍या कर्णाची लांबी क्ष धरून आणि त्रिकोण व चौकोनाच्या क्षेत्रफळांची सूत्रे (बाजू आणि कोनावरून) वापरून कदाचित क्ष मिळवता येईल.
हे कदाचित चुकीचं असू शकेल. नीट आकडेमोड करून बघावी लागेल.
उत्तर
समभुज त्रिकोणाच्या एका बिंदूला मधे ठेवुन ३ सेमीचे वर्तुळ काढावे. दुसर्‍या बिंदूला मधे ठेऊन ४ सेमीचे वर्तुळ काढावे. दोन्ही वर्तुळे एकमेकाला छेदतील त्या भागाचा अंत्यबिंदू त्रिकोणाच्या तिसर्‍या बिंदूपासून किती दूर आहे ते मोजावे. ती लांबी इंचात कन्वर्ट करुन तीला शंभरने गुणावे आणि १२ ने भागावे म्हणजे फुट किती ते कळेल. सध्या ही सामग्री हाताशी नसल्याने उत्तर दिलेले नाही पण सिद्धता दिली आहे.
थोडा प्रॉब्लेम
समभुज त्रिकोणाची बाजू किती हे सांगितलेलं नाही. ती व्हेरिएबल आहे. म्हणजे त्या बाजूनुसार तुमचं उत्तर बदलेल. कुठच्यातरी एका लांबीसाठी तुमचं लाल व काळ्या खांबातलं अंतर जास्तीत जास्त असेल. ते किती हे विचारलंय.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
दुरुस्ती
बरोबर! घोटाळा झाला. वरची प्रक्रिया उलटी करावी. ३ सेमीचे एक वर्तुळ आणि त्याच्या परिघाला एकाच बिंदुत छेदणारे दुसरे ४ सेमीचे वर्तुळ अशी दोन वर्तुळे आधी काढावीत. दोहोंच्या मध्यबिंदुनां जोडणारी रेषा म्हणजे समभुज त्रिकोणाची एक् बाजू. तितकेच अंतर मोजुन (६० अंशावर) तिसरा बिंदू ठरवुन त्रिकोण पूर्ण करावा. आता समभुज त्रिकोणाचा तिसरा बिंदू आणि वर्तुळे जिथे स्पर्श करतात तो बिंदू जोडावे, म्हणजे योग्य उत्तर मिळेल.
उत्तर
लाल खांबापासून सर्वात अधिक अंतरावर असण्याकरता काळा खांब हा पिवळ्या व निळ्या खांबाच्या रेषेत असला पाहिजे. कारण तसा तो नसेल तर लाल खांबापासून दूर जाण्याकरता पिवळा व निळा अधिकाधिक जवळ यावे लागतील. ते एकमेकांपेक्षा १०० फूटापेक्षा अधिक जवळ असू शकणार नाहीत. (त्रिकोणाच्या दोन बाजूची बेरीज तिसर्‍यापेक्षा नेहमी अधिक असते. ) ते १०० फूटच जवळ असले तर लाल खांब काळ्या खांबापासून ५०० फूटाहून जास्त दूर असू शकत नाही. (कारण पुन्हा , त्रिकोणाच्या दोन बाजूची बेरीज तिसर्‍यापेक्षा नेहमी अधिक असते. ) तर मग तीन खांबाचा त्रिकोण ७०० फूटांचा आहे. यातल्या एका बाजूवरच काळा खांब आहे . तो पिवळ्या खांबापासून ३०० फूट अंतरावर आहे, व निळ्या खांबापासून ४०० फूट अंतरावर आहे. या न्यायाने लाल खांबापासून त्याचे अंतर पायथागोरस वापरून सोडवले की ते ६०८.२७ असे येते.
सॉरी...
काळा, पिवळा व निळा एकाच रेषेत असले पाहिजेत हे उघड नाही. काळा हा पिवळा व निळा यांच्या पलिकडे असेल - म्हणजे त्रिकोणाची बाजू सातशेपेक्षा कमी असेल - तर लाल हा पि-नि रेषेच्या जवळ येईल, पण कदाचित त्यापेक्षा अधिक काळा लांब जाऊ शकेल... बाजू सातशेपेक्षा क्ष ने कमी केली तर काळा क्ष ने दूर जाईल का? कारण लाल सुमारे ०.८६५*क्ष ने जवळ येईल.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
यांत्रिक उत्तर
√((((१/२)-(३/७))क)२+(√(९-(९/४९)क२)+(√३क/२))२)
ची क सापेक्ष महत्तम किंमत शोधा.
थोडं पुढे जा...
हे सूत्र बरोबर आहे की नाही माहीत नाही, पण निदान डेरिव्हेटीव्ह शून्य करून किंवा प्लॉट काढून साधारण उत्तर काय येतं ते सांगा...
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
दुरुस्ती
वरील सूत्र चुकले आहे.
तेथे क चा वापर करून सूत्र बनविण्याचा प्रयत्न होता, क हे पिवळ्या-निळ्या खांबांतील अंतर (१०० फुटांच्या पटीत) होते.
त्याऐवजी मी आता ख या आकड्याच्या मदतीने सूत्र बनविण्याचा प्रयत्न करतो (१०० ने गुणण्याचा हिशोब पुन्हा सर्वात शेवटीच ठेवू):
माहिती: का-नि अंतर ४ असून का-पि अंतर ३ आहे.
पि-नि रेषेला क्ष अक्ष मानू, पि बिंदू ओरिजिन (मराठी: संदर्भबिंदू/शून्यबिंदू?) आहे. ख हे काळ्या खांबाचे पि-नि रेषेपासूनचे लंबांतर आहे. तो लंब पि-नि रेषाखंडाला जेथे मिळतो त्या बिंदूला ग म्हणू. पि-ग अंतर √(९-ख२) आहे आणि ग-नि अंतर √(१६-ख२) आहे. लाल खांबाचे पि-नि रेषेपासूनचे लंबांतर -√३*(√(९-ख२)+√(१६-ख२))/२ असून य अक्षापासूनचे अंतर (√(९-ख२)+√(१६-ख२))/२ आहे.
म्हणून, का-ला रेषाखंडाचा क्ष दिशेतील आवाका (√(१६-ख२)-√(९-ख२))/२ असून य दिशेतील आवाका ख+√३*(√(९-ख२)+√(१६-ख२))/२ आहे.
म्हणून, का-ला रेषाखंडाची लांबी √(((√(१६-ख२)-√(९-ख२))/२)^२+(ख+√३*(√(९-ख२)+√(१६-ख२))/२)^२) इतकी आहे. या सूत्राला ख सापेक्ष महत्तम केल्यास ख १.७१ मिळतो. तेव्हा पि-नि रेषाखंडाची लांबी ६.०८ असते आणि का-ला रेषाखंडाची लांबी ७ असते.
कोड्याचे उत्तरः ७०० फूट (डोंगर पोखरून उंदीर!)
अभिनंदन
रिकामटेकडा यांचे अभिनंदन. त्यांचं उत्तर अचूक आहे. पद्धतही बरोबर आहे. मीदेखील तशाच पद्धतीने धडपड केली होती. मात्र मी जे उत्तर वाचलं आहे ते खूपच वेगळ्या स्वरूपाचं, आणि अधिक एलिगंट आहे.
डोंगर पोखरून उंदीर काढल्याबद्दल... मीसुद्धा अशाच पद्धतीने सोडवायला सुरूवात केली, खरं तर मी थोडी चीटींग केली आणि सोपी सिच्युएशन आधी घेतली - ३०० आणि ४०० ऐवजी दोन्ही ४०० असल्याची. त्यावरून एकंदरीत उत्तराचा अंदाज आल्यावर ३०० आणि ४०० चंही तसंच असेल असं काहीतरी करून स्वतःला सिद्ध केलं...
पण खूप एलिगंट उत्तर आहे. लवकरच देतो.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
होय
माझी पद्धत एलेगंट वाटली नाही म्हणूनच मी तिला यांत्रिक असे संबोधिले. मीही त्या सूत्राचा डेरिवेटिव काढला नाही, ख ची किंमत थोडीथोडी बदलून ६.९९९९ असे उत्तर शोधले. ज्याअर्थी असे उत्तर मिळाले त्याअर्थी ते ७ असेच असावे असा अंदाज केला. ज्याअर्थी ७ असे सोपे उत्तर आहे त्याअर्थी एलेगंट पद्धतही असेलच अशी आशा निर्माण झाली.
"If you are out to describe the truth, leave elegance to the tailor." असे आईनस्टाईनचे मत होते असे ऐकले होते, त्या मताचे आश्चर्य वाटते.
उत्तर : एक मेथॉड
उत्तराचा आकडा नाही आहे माझ्याकडे पण एक लॉगिक सुचले आहे.
काळया पोल पासून ४०० मी त्रिजा आणि ३०० मी त्रिजा असलेली २ वर्तूळं काढा (व-४०० आणि व-३०० म्हणुयात त्यांना आणि केंद्रबिंदू हा काळा पोल असेल).
निळा खांब हा व-४०० वरच असला पाहिजे आणि पिवळा खांब हा व-३०० वरच असला पहिजे.
आता आपल्याला पिवळ्या आणि निळ्या पोलची अशी पोजीशन काढायची आहे(रेषा-१) जेणेकरून जेंव्हा आपण समभूज त्रिकोण काढू (रेषा-१ ही एक बाजू असलेला आणि लाल पोल हा ३रे टोक असलेला) तेंव्हा काळा पोल हा लाल पासून सर्वात दूर असेल.
त्यासाठी मी व-४०० वर एक बिन्दू घेतला(जो की निळा पोल असेल)आणी व-३००वर एक-एक बिन्दू घेत गेलो. व्-३०० च्या प्रत्येक बिंदू घेतल्यावर
एक समभोज त्रिकोंण काढायचा (बाहेरच्या बाजूने ) आणी काळ्या पोल पासून लाल पोल पर्यन्त एक रेषा काढायची (आणि लाल पोलचा एक बिन्दू हायलाईट करायचा). अशे लाल पोलचे बिन्दू काढत जायचे.
एक लाल बिन्दू अस सपडेल जो की काळ्या पोल पासून सर्वात दूर असेल.
मी हे कागदावर् केले असल्यामुळे मला एक्झ्याक्ट उत्तर नाही सापडले अजून पण साधारण पणे ६००-७०० च्या आसपास तो आकडा असावा
लवकरच सांगतो.
हम्म्म...
बहुतेक सगळे प्रयत्न करणारे लाल पोल हलवतात, तुम्ही तो फिक्स केला हा थोडा वेगळा अॅप्रोच आहे. पण तरीही याने उत्तर काढणं सोपं कसं होतंय ते कळत नाही. तुम्ही कागदावर काढलेलंच चित्र स्कॅन करून टाकू शकाल का? कदाचित त्या चित्रातून काही पॅटर्न दिसतील.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
उत्तर्
पिवळा खांब प येथे, निळा खांब न येथे आणि लाल खांब ल येथे आहेत. काळा खांब क या ठिकाणी रोवायचा आहे.
प पासून ३०० फूट आणि न पासून ४०० फूट असलेली क ही जागा सर्वात मोठ्या त्रिकोणात तसेच सर्वात लहान त्रिकोणात प-न या सरळरेषेवर (त्रिकोणाच्या आत किंवा बाहेर) येते. सर्वात मोठा त्रिकोण ७०० फूट भुजांचा आणि सर्वात लहान त्रिकोण १०० फूट भुजांचा असेल. या दोन्ही वेळा ल ते न हे अंतर १२५००० चे वर्गमूळ म्हणजे ३५३.५५ एवढे येईल. इतर कोणत्याही जागी ते याहून कमी असेल.
उत्तर चूक आहे काढून टाकावे
एक तृतीयांश उत्तर
---
* सर्वाधिक अंतर असताना काळा खांब (बिंदू 'का') हा पि-नि रेषेने पाडलेल्या पण 'ला' बिंदू नसलेल्या अर्ध-प्रतलात आहे. (स्वयंस्पष्ट)
* पि^का^नि हा कोन ० ते π या दरम्यान आहे.
* म्हणजेच ला^पि^का हा कोन ४π/३ ते π/३यांच्या दरम्यान आहे.
* ला^पि^का हा कोन ४π/३ ते π या दिशेने बदलत नेला तर (अ) समभुजत्रिकोणाची भुजा वाढत जाते, आणि (आ) ला^पि^का कोन अधिक ऑब्ट्यूस होत जातो. दोन्ही प्रकारे ला-का या रेषाखंडाची लांबी वाढतच जाते. त्या अर्थी ला^पि^का हा कोन ४π/३ ते π या दरम्यान असता ला-का रेषाखंडाची महत्तम लांबी असू शकत नाही.
.
यापुढे माझे विचार फारच ढोबळ आहेत. ला^पि^का हा कोन π ते π/३ या दिशेने बदलत नेला, म्हणजे पि^का^नि हा कोन 'अमुक' ते π या दरम्यान वाढत जाणार, तर (अ) समभुजत्रिकोणाची भुजा२ वाढत जाते -> २४*cos(पि^का^नि) या टर्मच्या प्रमाणे (आ) ला-का रेषाखंडाची लांबी२ बदलत जाते : समभुजत्रिकोणाची भुजा२ प्रमाणे वाढत जाते, पण ६*समभुजत्रिकोणाची भुजा*cos(ला^पि^का) प्रमाणे कमी होत जाते. या दोहोंचा एकत्रित परिणाम कुठल्या दिशेने आहे, हे ठाऊक नाही.
.
रूल ऑफ साइन्स (rule of sines) वापरून काहीतरी सोपे उत्तर मिळायला हवे. पण मी अडकलेलो आहे. महत्तम किंमत बाउंडरी कंडिशनवरती आहे, हे दाखवण्याकरिता फक्त इतकेच दाखवावे लागते, की फलन एकदिक् [मोनोटॉनिक] आहे. डेरिव्हेटिव्ह काढण्याची गरज नाही.
---
समभूज त्रिकोणाची बाजू ६३० किंवा ५७०
लापिकानि चौकोनाचे कोन ~ ६०,९०, १२८, ८२
लाका कर्णाची लांबी ~७००
पिनी कर्णाची लांबी = समभूज त्रिकोणाचा पाया ~६३०
-किंवा-
लापिकानि चौकोनाचे कोन ~ ६०,१०२, १०८,९०
लाका कर्णाची लांबी ~७००
पिनी कर्णाची लांबी = समभूज त्रिकोणाचा पाया ~५७०
उत्तर बरोबर आहे.
पायऱ्या समजावून सांगाव्यात. तुम्ही क वरून ४०० व ३०० त्रिज्येची दोन वर्तुळं काढली हे लक्षात आलं. पण एक कुठचातरी प घेतल्यावर न हा बिंदू कसा निश्चित केला हे कळलं नाही.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
शंका
समभुज त्रिकोणाची बाजू ६०८ असल्याचा माझा निष्कर्ष होता. तुमच्या किंवा माझ्या उत्तरातील पायर्‍या चुकल्या असाव्यात आणि योगायोगानेच ७०० हे योग्य उत्तर मिळाले असावे. पि किंवा नि यांपैकी एक कोन काटकोनच असावा हे तुम्ही कसे सिद्ध केले?
मी केले तेव्हा
कानिला किंवा कापिला यापैकी एक कोन हा ९६.३७ आला (विसरले कोणता तो). हा कोन ९० पेक्षा जास्त असू शकतो असे वाटते. (९० अंश हा कानि आणि कापि मधील कोन धरल्यास. कोन ९० पेक्षा जास्त, १८० पर्यत झाल्यास समभुज त्रिकोणाची बाजू ल वाढेल. कोसाईन रूल). कापि आणि कानि मधील कोन ९० धरून माझी समभुज त्रिकोणाची बाजू फक्त ५०० आली :(. आणि लाका अंतर (कर्णाची लांबी)६७६.६४ आले. पण हे बरोबर नाही असे वाटते. समभुज त्रिकोणाच्या बाजूच्या लांबीप्रमाणे तसेच कानि पिनि मधील कोन किती आहे त्यावर महत्तम अंतर ठरेल असे वाटते. हे अंतर अ धरले कोसाईन रूलप्रमाणेच तर अ^२ = ल^२+ कानि^२ -२(कानि)(ल)*cos(ल आणि कानिमधील कोन).
अ ची महत्तम किंमत अशा प्रकारे ल आणि हा कोन यावर अवलंबून असेल असे वाटते.
चक्रीय चौकोनःटॉलेमी सिद्धान्त
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
लेखनसुलभतेसाठी लापिनि समभुज त्रिकोणाला अबक म्हणू. ड हा काळा खांब...
बड=३०० ,कड=४००
अड (अधिकतम)=क्ष. अबक च्या प्रत्येक भुजेची लांबी=ल. सर्व मापे मीटरात.
ड बिंदू त्रि. अबकच्या परिवर्तुळावर(सर्कम सर्कल) पडतो. म्हणून अबडक चक्रीय चौकोन.
म्हणून समोरासमोरील बाजूंच्या मापांच्या गुणाकारांची बेरीज= कर्णाच्या मापांचा गुणाकार.(टॉलेमी)
म्ह. ४००*ल+३००*ल=क्ष*ल . ...यावरून क्ष=बड=७०० मीटर.हे झाले काळ्या खांबाचे लाल खांबापासून अधिकतम अंतर.
आता ल ची किंमत काढणे
त्रि.बडक मध्ये कोन ड चे माप (६०+६०)=१२० अंश....(अबडक चक्रीय)
कोज्या नियमानुसार (ल)वर्ग=(३००)वर्ग+(४००)वर्ग -२*३००*४००*कॉस (१२०)
यावरून ,ल=१००*वर्गमूळ(३७) ही झाली समभुज त्रि अबकच्या भुजेची लांबी.
यनावालांचं अभिनंदन व उत्तर
यनावालांचं उत्तर अचूक आहे. शिवाय त्यांनी उल्लेखलेली पद्धत देखील (टॉलेमीची असमानता) उत्तम आहे. त्यांच्या उत्तरात ड बिंदू त्रि. अबकच्या परिवर्तुळावर(सर्कम सर्कल) पडतो.
हे विधान पुरेसं पाठबळ न देता आलेलं आहे, ही छोटीशी त्रुटी आहे. पण टॉलेमीच्या असमानतेचा गुणधर्म माहीत असेल तर त्या विधानापर्यंत पोचणं सोपं आहे.
प्रथम उत्तराचा विचार करताना वरील आकृतीतल्या वर्तुळाकडे दुर्लक्ष करा.
C = लाल, B = निळा, A = पिवळा, P = काळा (चित्रात आकडे शंभरने भागून दिलेले आहेत)
P हा बिंदू AB रेषेने केलेल्या अर्धप्रतलांपैकी C च्या विरुद्ध दिशेला असणार हे उघड आहे. (तो AB रेषेवर असेल तर ज्या दोन शक्यता येतात त्या अंतर मोजून स्वतंत्रपणे निकालात काढता येतील) ABCP या चौकोनासाठी टॉलेमीची असमानता वापरता येते.
दोन कर्णांचा गुणाकार हा समोरासमोरच्या बाजूंच्या बेरजेपेक्षा जास्त असत नाही.
AB * CP < OR= AP * BC + BP * AC
पण इथे AB, BC व AC या समभुज त्रिकोणाच्या बाजू आहेत. त्यामुळे
CP < OR = AP + BP
CP < OR = ३०० + ४००
त्यामुळे कर्ण CP ची किंमत जास्तीत जास्त ७०० असू शकते. ती केव्हा, तर तो चौकोन जेव्हा चक्रीय असेल तेव्हा. त्यामुळे तो चौकोन चक्रीय असू शकेल एवढंच सिद्ध करणं बाकी रहातं. आपण समजा एक ABC समभुज त्रिकोण घेतला, त्याचं परिवर्तुळ काढलं आणि P बिंदू B पासून ४०० इतक्या अंतरावर वर्तुळावर ठेवला. आता जर त्रिकोणाची बाजू ४०० पासून वाढवत नेली, तर AP हे अंतर वाढत जाणार - तेव्हा कधीतरी ते ३०० होईलच. त्यावेळी CP ची लांबी बरोब्बर ७०० असेल.
राजेश
द्रौपदीचे सत्त्व माझ्या लाभु दे भाषा-शरीरा
भावनेला येउं दे गा शास्त्र-काट्याची कसोटी
प्रश्न
रिटेंनी दिलेली पद्धत मी अनुसरली असती. पण ती निश्चित यांत्रिक आहे हे पटते.
तुम्ही (हा भाग यनांनी दिलेल्या उत्तरासंबंधी आहे) दिलेली पद्धत खूपच सोपी आहे. फक्त ड बिंदू त्रि. अबकच्या परिवर्तुळावर(सर्कम सर्कल) पडतो. म्हणून अबडक चक्रीय चौकोन. हे कसे आले हे समजले नाही.
या कोड्यावरून यांत्रिक उपकरणांची आठवण झाली. एके काळी अशी यांत्रिक उपकरणे सर्रास वापरली जायची. (जसे उपकरण फिरवले की क्षेत्रफळ मिळणार). आता संगणकीय युगात हे वेगळ्या पद्धतीने होते.
सरळ रेष कशी काढावी
हे पुस्तक आठवले. माझ्या मनात एका बाजूला ३००-४०० बाजू असलेले रॉडस आणि त्यावर फिरणारे समभूज त्रिकोण करणारे स्लाईडिंग पट्या डोळ्यासमोर आल्या.
कोड्याच्या प्रश्नात तीनशे आणि चारशे संख्या असल्याने ५०० ही कर्णाची संख्या साहजिक मनात आली. (पण ती चुकीची ठरली).
कोडे आवडले. उत्तर द्यायला जमले नाही म्हणून देखिल.
प्रमोद
चक्रीय त्रिकोण मलाही कळला नाही
मलासुद्धा चतुष्कोण चक्रीय कसा ते कळलेले नाही. पुढील आकृती बघावी :
कोड्यातल्या अटी :
(१) लाल, पिवळा व निळा : तीनही खांबांचं एकमेकांपासून अंतर सारखंच आहे. अट पाळलेली आहे.
(२) चौथा काळा खांब असा रोवला आहे की तो पिवळ्या खांबापासून ३०० फूट अंतरावर आहे, (अट पाळलेली आहे.) व निळ्या खांबापासून ४०० फूट अंतरावर आहे (अट पाळलेली आहे.)
यावेगळ्या अटी कोड्यात दिलेल्या नाहीत. (मैदान सपाट, खांब नगण्य जाडीचे, वगैरे, सगळे पाळलेलेच आहे.)
पण कापिलानि हे एका वर्तुळावर नाहीत. कुठलीतरी अट पाळायची राहिली आहे काय?
तसेच पुढील आकृती बघावी :
कोड्यातल्या अटी :
(१) लाल, पिवळा व निळा : तीनही खांबांचं एकमेकांपासून अंतर सारखंच आहे. अट पाळलेली आहे.
(२) चौथा काळा खांब असा रोवला आहे की तो पिवळ्या खांबापासून ३०० फूट अंतरावर आहे, (अट पाळलेली आहे.) व निळ्या खांबापासून ४०० फूट अंतरावर आहे (अट पाळलेली आहे.)
यावेगळ्या अटी कोड्यात दिलेल्या नाहीत. (मैदान सपाट, खांब नगण्य जाडीचे, वगैरे, सगळे पाळलेलेच आहे.)
पण कापिलानि हे एका वर्तुळावर नाहीत. कुठलीतरी अट पाळायची राहिली आहे काय?
सहमत
हेच उत्तर पुन्हा पुन्हा रुंजी घालत होते पण चौकोन चक्रिय आहे याची सिद्धता देता येत नव्हती. चक्रिय नसल्यास अंतर सातापेक्षा कमी असू शकते. म्हणून चक्रियता सिद्ध करणे गरजेचे आहे. टॉलेमीची असमानता तपासल्यानंतरही चक्रियता सिद्ध होत नाही.
शुद्धिपत्र "चौकोन"
वरील प्रतिसादाच्या शीर्षकात "चक्रिय चौकोन" असे हवे. तसेच मजकुरातल्या पहिल्या वाक्यातही "चतुष्कोण" ऐवजी "चौकोन" शब्द हवा.
पूर्ण सिद्धता
काही व्याख्या :
ला-नि-का हा समभुज त्रिकोण आहे, त्याच्या भुजाची लांबी "त"
कापिलानि हा चौकोन आहे, त्याच्या का-ला कर्णाची लांबी "क्ष"
लांबी(कापि) = ३
लांबी(कानि) = ४
सिद्धता :
कापिलानि हा चौकोन एक तर चक्रीय आहे किंवा चक्रीय नाही.
(शक्यता १) जर चक्रिय असेल तर टॉलेमीच्या सिद्धांताप्रमाणे :
३*त + ४*त = क्ष*त
तस्मात् : क्ष = ७
(शक्यता २) जर चक्रिय नसेल तर टॉलेमीच्या असमानतेप्रमाणे :
३*त + ४*त > क्ष*त
तस्मात् : ७ > क्ष
शक्यता १ आणि २ मिळून, कुठल्याही हालतीत :
७≥ क्ष
सिद्धता पूर्ण.
कुठल्याही हालतीत
कुठल्याही शक्यतेत अंतर जास्तीत जास्त ७ असू शकते. टॉलेमीच्या असमानतेमुळे अंतर सातापेक्षा कमी असू शकेल. कोड्यातील विधाना प्रमाणे ही सिद्धता बरोबर आहे. पण यनावालांनी पांढर्‍या ठशात उत्तर न देऊन कुठली का होईना पण एक अट पाळलेली नाही हे सिद्ध होते, तेव्हा त्यांचे उत्तर अचूक समजले जाऊ नये. :) मी चक्रियता दाखवण्यात का मग्न झालो ते कळत नाही.
अटभंग
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.का लिहितात:- "यनावालांनी पांढर्‍या ठशात उत्तर न देऊन कुठली का होईना पण एक अट पाळलेली नाही हे सिद्ध होते, तेव्हा त्यांचे उत्तर अचूक समजले जाऊ नये. :)
..
श्री.राजेश यांनी घालून दिलेली अट मी पाळली नाही हे मान्य आहे.त्याविषयीं क्षमा मागतो.
मला वाटले कोड्यावर बराच ऊहापोह झाला आहे.आता प्रकट उत्तर दिले तरी चालू शकेल.पण असे समर्थन योग्य नाही. अट म्हणजे अट.ती पाळायलाच हवी होती. उत्तरात अबडक चौकोन चक्रीय आहे एवढेच म्हटले होते.पण श्री. धनंजय यांनी परिपूर्ण सिद्धता अगदी मित शब्दांत पण प्रभावी युक्तिवादात दिली.वा ! वा ! साधु साधु! कमाल केली! अभिनंदन !
नीलकमल
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
चार खांबी कोड्यावर आधारित एक सोपे कोडे
..
एका उपवनात एक वर्तुळाकार विस्तीर्ण पुष्करिणी आहे.पुष्करिणीतील पाण्याच्या पृष्ठभागावर अ,ब आणि क ही तीन कारंजीं आहेत.ती परस्परांपासून समान अंतरावर आहेत. (त्रि.अबक समभुज )
या पुष्करिणीत एक नीलकमल उमलले.ते अ पासून ३ मी.,ब पासून ५मी अणि क पासून ८ मी अंतरावर आहे.
तर सिद्ध करा की ते नीलकमल अबक त्रिकोण क्षेत्राच्या बाहेर आहे.