उपक्रम वाचनमात्र उपलब्ध आहे.
तर्कक्रीडा :३ अंतरज्ञान
यनावाला
April 26, 2007 - 4:36 pm
तर्कक्रीडा २ चे उत्तर एकलव्य आणि तो यांनी अचूक दिले. वरदा यांनी बीजगणिती समीकरणे लिहून उत्तर काढले.परंतु त्यांना उत्तराचे अनेक पर्याय आहेत असे वाटले. वस्तुतः उत्तर एकमेव आहे.
तर्कक्रीडा :३ अंतरज्ञान
म आणि न या दोन स्थानांना जोडणारा मार्ग एकमेव असून तो अगदी सरळ आणि सपाट आहे. अ ने ठरविले की म पासून निघायचे ,न पर्यंत जायचे ,तिथे ५ मिनिटे विश्रांती घ्यायची आणि न पासून म ला परत यायचे.जाता येता तोच वेग नियमित ठेवायचा.(uniform velocity)
ब ने ठरविले की न पासून निघायचे,म पर्यंत जायचे, ५ मिनिटे विश्रांती घ्यायची, म पासून परतायचे न ला परत यायचे
जाता येता तोच वेग नियमित ठेवायचा.(अर्थात अ आणि ब यांचे वेग भिन्न असू शकतात).
एके दिवशी सकाळी ६ वाजता अ ने आपला संकल्पित प्रवास सुरू केला .त्याच दिवशी त्याच वेळी
ब ने आपलाही संकल्पित प्रवास न पासून सुरू केला.
त्या दोघांची वाटेत प्रथम गाठ पडली तेव्हा अ हा म पासून ९००(नऊशे) मीटर अंतरावर होता.
परतीच्या प्रवासात त्यांची गाठ पडली तेव्हा अ न पासून ६००(सहाशे) मी.अंतरावर होता. तर 'म 'पासून 'न 'पर्यंतचे अंतर किती मीटर?
***कोडे तोंडी सोडवावे. बीज गणितीय समीकरणांची आवश्यकता नाही.
...........यनावाला.
दुवे:
Comments
वाटते.
अंतर १५०० मीटर असावे वाटते.
(कारणाच्या शोधात) तो
माझ्या मते
२१०० मी.
असेच
माझ्याही मते
२१०० मीटर्स
सोपे आहे.
म आणि न मधले अंतर क्ष मानूया
सुरुवातीला जेव्हा अ आणि ब एकमेकांना भेटले, त्यावेळी अ ने म पासून पार केलेले अंतर = ९०० मी. आणि ब ने न पासून पार केलेले अंतर = क्ष - ९००.
अ चा वेग वेग अ प्रतितास आणि ब चा वेग वेग ब प्रतितास मानल्यास दोघांना लागलेला वेळ अनुक्रमे ९००/वेग अ आणि (क्ष - ९००)/वेग ब असेल जो सारखा आहे.
म्हणून ९००/वेग अ = (क्ष - ९००)/वेग ब
किंवा वेग अ / वेग ब = ९००/(क्ष - ९००)................................................समीकरण (१)
आता न पर्यंत जाण्यासाठी उरलेले (क्ष - ९००) अंतर पार करण्यासाठी अ ला लागलेला वेळ = (क्ष - ९००)/वेग अ आणि म पर्यंत जाण्यासाठी उरलेले ९०० मी. पार करण्यासाठी ब ला लागलेला वेळ = ९००/वेग ब. अ आणि ब आता अनुक्रमे न आणि म येथे पोचतील. दोघे ५ मिनिटे = १/१२ तास विश्रांती घेतील आणि परतीच्या प्रवासाला निघतील.
परतीच्या प्रवासात जेव्हा ते एकमेकांना भेटतात, तेव्हा अ ला न पासूनचे ६०० मी. कापायला लागलेला वेळ = ६००/वेग अ आणि ब ला म पासूनचे (क्ष - ६००) कापायला लागलेला वेळ = (क्ष - ६००)/वेग ब.
पहिल्या भेटीनंतर प्रवासाला सुरुवात केल्यापासून आताची भेट होईस्तोवरचा अ च्या प्रवासाचा एकूण वेळ = (क्ष - ९००)/ वेग अ + १/१२ + ६००/वेग अ.
त्याचप्रमाणे पहिल्या भेटीनंतर प्रवासाला सुरुवात केल्यापासून आताची भेट होईस्तोवर ब च्या प्रवासाचा एकूण वेळ = ९००/वेग ब + १/१२ + (क्ष - ६००)/ वेग ब.
हे दोन्ही वेळ समान आहेत (म्हणूनच तर दोघे पुन्हा भेटले!!!)
=> (क्ष - ९००)/ वेग अ + १/१२ + ६००/वेग अ = ९००/वेग ब + १/१२ + (क्ष - ६००)/ वेग ब
=> (क्ष - ३००)/वेग अ = (क्ष + ३००)/वेग अ
=> वेग अ/वेग ब = (क्ष - ३००)/(क्ष + ३००)...........................................समीकरण (२)
समीकरण (१) व (२) वरून
९००/(क्ष - ९००) = (क्ष - ३००)/(क्ष + ३००)
=> क्ष/(क्ष - ९००) = २क्ष/(क्ष + ३००)
=> १/(क्ष - ९००) = २/(क्ष + ३००)
=> २(क्ष - ९००) = क्ष + ३००
=> क्ष = २१००
म्हणून म-न अंतर = २१०० मीटर्स!
बरोबर आहे ना?????
१५००
म............९००...............|....६००......न.
................... अ आणि ब ^इथे भेटले
म्हणून ९००+६००=१५००
आयला मी प्रश्नच वाचला नव्हता नीट
तरी म्हटलं चुकतंय कसं?
तोंडी प्रयत्न
१. अंतर ९०० पेक्षा जास्त आहे. (अन्यथा ब चा वेग = ०.)
२. परतीच्या प्रवासात ब अ ला न पासून ६०० मी. वर गाठतो.
३. दर प्रवासात ब ३०० ची बढत घेतो. (९००-६००)
४. अजून दोन फेर्‍या (एकूण ४) मारल्यास ब अ ला न (तिसर्‍या फेरीच्या शेवटी) वरच गाठेल. (६००-२ * ३०० = ०)
५. ब च्या ४ फेर्‍यांसाठीचा वेळ अ च्या ३ फेर्‍यांच्या समान आहे (४क्ष/ब=३क्ष/अ). वेगाचे गुणोत्तर अ:ब ३:४
६. पहिल्या भेटी साठीचे गुणोत्तर ९००:? = ३:४, => ब चे अंतर '?' (न पासून) १२००
७. एकूण अंतर २१०० (९००+१२००)
अंतरज्ञान
परीवश,तो, एकलव्य आणि मृदुला यांचे उत्तर २१०० मी. हे बरोबर आहे. मृदुला आणि एकलव्य यांनी युक्तिवाद मांडला नाही. परीवश यांनी बीजगणिती समीकरणे मांडून बिनचूक उत्तर काढले. सर्वांना धन्यवाद.
***********************************
माझे उत्तर
समजा ' म' ते 'न' हे अंतर क्ष मी.(लेखनाच्या सोईसाठी क्ष.समीकरणांसाठी नव्हे).
अ आणि ब प्रथम भेटले तेवड्या वेळात दोघांनी मिळून क्ष मी.अंतर तोडले. यावरून जेवढ्या वेळात दोघे मिळून क्ष मी.अंतर तोडतात तेवढ्या वेळात 'अ' ९००मी.जातो.
'अ' न पर्यंत गेला .ब' म पर्यंत गेला.म्ह.दोघे मिळून २क्ष मी. गेले. पुनर्भेटी पर्यंत दोघांनी आणखी क्ष म्हणजे एकूण ३क्ष मी.अंतर कापले.
म्हणजे या वेळात 'अ' ९००गुणिले ३=२७०० मी. चालला असला पाहिजे.तो आता न पासून ६०० मी.वर आहे.
म्हणून म ते न हे अंतर ( २७००-६००) =२१०० मी.
................यनावाला.
सूत्र, मदत
गणित तोंडी करायचे असे सांगितल्याने डोक्यात बराच गोंधळ होत होता. शेवटी असे सूत्र सापडले
एकूण अंतर = पहिल्या भेटीचे अंतर + दुसर्‍या भेटीचे अंतर + २(पहिले अंतर - दुसरे अंतर)
उदा आपल्या गणितात एकूण अंतर = ९०० + ६०० + २(९०० - ६००) = २१००.
समजा पहिली भेट ६०० मी वर व दुसरी भेट ९०० मी वर झाली असती तर एकूण अंतर = ६०० + ९०० + २(६००-९००) = ९००! (म्हणजे अ चा वेग ब च्या वेगाच्या दुप्पट.)
तर काल एव्हढा विचार केला पण आज मला मी हे सूत्र कसे शोधले आठवत नाही आहे. एकदमच घोळ होतो आहे डोक्यात. कोणी मदत करेल काय शोधायला?
सूत्र/प्रयत्न
दोघांचा वेग सारखाच असता तर दोघे अर्ध्यात भेटले असते. जसा एकाचा वेग तुलनेने वाढेल तसा तो अधिक अंतरावर दुसर्‍याला गाठेल. दुसर्‍या भेटीत हीच दरी रुंदावेल अंतर दुप्पट होईल.
हे अंतर जितक्याने दुरावले (९००-६००) त्याच्या अर्ध्या अंतरावर ३००/२ =१५०) मध्य असेल. मध्य = ९००+१५० = १०५०, म्हणून अंतर २१००.
सूत्र
अंतर = २ (पहिले अंतर + (अंतरातील फरक)/२) ; आपले सूत्र या सुत्राचीच दुसरी, तुलनेने सोपी माडणी आहे.
आपल्या उदाहरणासाठी
अंतर = २ (६००+(६००-९००)/२) = २ (६००-१५०) = ९००
थोडक्यात पहिल्या अंतराची तिप्पट वजा दुसरे अंतर हे यनावलांचे सूत्र.
गोधळात भर टाकली नाही अशी अपेक्षा आहे.
प्रभावी युक्तिवाद
तर्क.३ च्या संदर्भात तो यांचा युक्तिवाद अतिशय प्रभावी आहे. त्यामुळे अगदी थोड्या विधानांत उत्तर आले. असा आश्चर्यकारक युक्तिवाद मला सुचला नाही. पण
अंतर जितक्याने दुरावले (९००-६००) त्याच्या अर्ध्या अंतरावर ३००/२ =१५०) मध्य असेल.
याची कारणमीमांसा चटकन ध्यानी येत नाही. मी मांडलेले त्रैराशिक त्यामानाने अधिक सोपे वाटते. तो यांचा युक्तिवाद थोड्या उच्च स्तरावरचा आहे.
मात्र मी सूत्रांचा विरोधक आहे. सूत्रे दिली की विद्यार्थी तर्क शक्तीचा वापर करीत नाहीत.सूत्रपाठी होतात.सूत्रात किंमती भरून उत्तरे काढतात.(अर्थात काही वेळ सूत्रांचा वापर अपरिहार्य असतो हे खरे.) असो.
...........यनावाला.
तो चा युक्तिवाद
तो चा युक्तिवाद बरोबर नाही असे माझे मत आहे. (जर मला कळला असेल तर)
अंतर जितक्याने दुरावले (९००-६००) त्याच्या अर्ध्या अंतरावर ३००/२ =१५०) मध्य असेल. हे वाक्य कितपत बरोबर आहे माहित नाही पण आकडेमोड गमतीशीर आहे.
अंतर हे एकतर म पासून नाहीतर न पासून मोजावे लागेल नाहीतर दुरावणे बरोबर निघणार नाही. (९०० हे म पासूनचे आणि ६०० हे न पासूनचे अंतर आहे.)
इथे दुरावणे = [उत्तर माहित झाल्यावर...] ... (२१००-६००) - ९०० = १५०० - ९०० = ६०० म्हणजे तर्क चुकणार.
इथे अजून एक गोष्ट नमूद करावीशी वाटते ती म्हणजे पहिली भेट् मध्याच्या -१५०मी आणि दुसरी +४५०मी वर घडते. यात चिन्ह बदलणे आणि अंतर दुपटीने वाढणे अशा दोन गोष्टी दिसतात. त्यामुळे अजून ३०० मिसळून चिन्ह बदलून पुढची भेट मध्याच्या -७५० अंतरावर होईल असे भाकीत करता येईल. कुणी जमल्यास ताडून बघावे. माझे डोके गरगरते आहे. :D
युक्तीवादाबद्दल
तो चा युक्तिवाद बरोबर नाही असे माझे मत आहे.
आपण एकटेच नाही आहात. :). या आधी ही काही जणांनी युक्तीवाद चुकत असल्याचे कळवले आहे. युक्तीवाद बरोबरच आहे असा त्याचा दावा नाही, पण समर्थनाचा प्रयत्न करता येईल.
अंतर हे एकतर म पासून नाहीतर न पासून मोजावे लागेल नाहीतर दुरावणे बरोबर निघणार नाही.
९०० व ६०० ही दोन्ही अंतरे 'अ' जिथून प्रवास सुरू करतो तिथपासूनची (अनुक्रमे म व न पासूनची) असल्याने एकाच बिंदूपासून आहेत असे मानणे गैर नाही.
अंतर जितक्याने दुरावले (९००-६००) त्याच्या अर्ध्या अंतरावर ३००/२ =१५०) मध्य असेल. बद्दल.
१. दोघांचा वेग समान असता तर दोघे मध्यावर भेटले असते. (१०५०)
२. ब चा वेग जास्त असल्याने त्याने अ ला मध्यापासून काही अंतर (१५०) आधी (९०० वर) गाठले. (दोघे एकाच दिशेने प्रवास करत असते, तर दोघांनी वरील वेळात जितके अंतर पार केले असते (१२०० व ९००) यातील फरकाच्या (३००) निम्मे हे अंतर (१५०) असेल.)
३. दोन्ही प्रवास एकाच दिशेने आहेत असे (वर सांगितल्याकारणाने) समजा. पहिल्या व दुसर्‍या फेरीच्या दरम्यान ब (९००-६००) ३०० ची बढत घेतो. (ज्यात पहिल्या फेरीत लवकर पूर्ण केल्यामुळे असलेली अर्धी व वेग अधिक असल्यामुळे असलेली अर्धी अशा दोन बढती आहेत.)
५. अशीच बढत त्याने पहिल्या फेरीतही घेतली असेल. जी बढत दोन्ही भेटीतील फरकाच्या (३००) अर्ध्या अंतराच्या स्वरूपात (१५०) दिसेल.
थोडक्यात दोन्ही भेटीतील अंतरात जितका फरक पडेल (मध्यापासून १५०-४५० = -१५०, टोकापासून ९००-६००=३००) त्याच्या अर्ध्याअंतरावर (१५०) मध्य होता (पहिल्या भेटीच्या अंतरापासून) असे म्हणता येईल.
वाह
९०० व ६०० ही दोन्ही अंतरे 'अ' जिथून प्रवास सुरू करतो तिथपासूनची (अनुक्रमे म व न पासूनची) असल्याने एकाच बिंदूपासून आहेत असे मानणे गैर नाही.
अ च्या चष्म्यातून बघितल्यावर उलगडले. :)
वाह! क्या बात है!!
धन्यवाद!
अंतर दुप्पट होईल हे विसरत होते. तरीच माझे सूत्र नीट होत नव्हते आज. त्याला मनःपूर्वक धन्यवाद.
२१००
माझा युक्तिवाद
दोघांनी मिळून एकूण चाललेले अंतर 'मन' एवढे भरले की पहिली भेट आणि ३ * 'मन' एवढे भरले की दुसरी. म्हणून अ आणि ब यांना दुसर्‍या भेटीसाठी आधीपेक्षा दुप्पट अंतर चालावे लागणार म्हणजे अ अजून १८०० चालून न पासून परतताना ६०० वर पोहोचला म्हणून मन = ९०० + १२०० = २१००
अजून उत्तरे
इथे आपण गृहीत धरले की दोघेही ५ मिनिटे विश्राम करतात. आता ही शक्यता बघा.
अ हा प्राणी न ला पोहोचायच्या आतच ब ने मागून येऊन त्याला गाठले.
एकूण अंतर ९०० + क्ष + ६०० मानू. म्हणजे ब आणि अ यांचे वेग ९००:६००+क्ष या प्रमाणात आहेत.
आता अ क्ष अंतर जातो आणि ब ९००+९०० + क्ष+र जातो. (र हे अंतर ५ मिनिटांत अ गेला असता आणि वेग कितीही असू शकत असल्याने र साठी कोणतीही धन संख्या घेता येईल) ९००:६००+क्ष = क्ष : १८००+क्ष+र याचे क्ष > ० उत्तर असायला हवे. सोपे करून म्हणजे सगळ्याला ३०० ने भागून,
३*(६+य+ल)=(२+य)*य ....
इथे य, ल = क्ष/३००, र/३०० अनुक्रमे
ल निवडला २/३ (कारण खालचे समीकरण सोपे होते, वेगळा ल निवडूनही चालेल पण मग कदाचित गणकयंत्राची मदत लागेल.)
म्हणून, (-२० - य + य^२) = ०
म्हणून, य = ५ हे धन उत्तर मिळाले. म्हणून क्ष = १५०० आणि एकूण अंतर ३०००.
पडताळा अ - ९००, १५००
ब - २१००, ३३०० (+२०० विश्रांतीत चालता आले असते)
२००/५ = ४० मी/मिनिटे ब चा वेग आणि (१२०/७) मी/मिनिटे अ चा वेग
अशी कितीक उत्तरे मिळतील वेगवेगळे र निवडून.
दुसरी शक्यता ही की ब हा प्राणी म पर्यंत पोहोचण्याच्या आतच अ त्याला गाठतो.
यासाठी,
एकूण अंतर ९०० + क्ष मानू.
अ ९०० चालला तेव्हा ब क्ष चालला.
नंतर अ हा प्राणी क्ष + ६०० + र चालला तेव्हा ब ६०० - क्ष चालला. (र = ५ * अ चा वेग, र हे अंतर प्रत्यक्षात चाललेले नाही, विश्रामाच्या वेळात इतके अंतर चालून झाले असते.)
म्हणून, ९००:क्ष = क्ष + ६०० + र : ६०० - क्ष
सोपे करून,
३:य = य + २ + ल : २ - य
म्हणजे, य^२ + (५+ल)य - ६ = ०,
कुठल्याही धन ल साठी याचे धन 'य' उत्तर शक्य नाही म्हणून ही शक्यता नाही.
यनावाला, हे तोंडी करणे जमले नाही :(