तर्कक्रीडा:६९:भाळीं रंग असे धरिला|
रंगीत टोप्यांची केवळ तर्काधिष्ठित कुट्टके ( शुद्ध तार्किक कोडी)अनेकांना ज्ञात असतील. "गणित आणि तर्क’ यांवर आधारित एक कोडे आपल्या २००८ च्या दिवाळी अंकात आहे. खालील कोडे केवळ तर्क लढवून सोडवायचे आहे.
अ,ब आणि क हे तिघे तर्कशास्त्रनिपुण आहेत.दिलेल्या प्रश्नावर सांगोपांग त्रिमितीय विचार करून ते क्षणार्धात तर्कशुद्ध निष्कर्षाप्रत येऊ शकतात.
या तिघांना एकदा सात चिकट चकत्या (व्यास २०मीमी.) दाखवल्या. त्यांतील दोन निळ्या रंगाच्या,दोन लालरंगी तर तीन पिवळ्या होत्या.त्या तिघांना उद्देशून म्हटले:"तुमच्या प्रत्येकाच्या कपाळावर एक चकती चिकटवणार. ती या सात चकत्यांतील कोणतीही एक असेल."
नंतर त्या तिघांचे डोळे कापडी पट्टीने बांधले. प्रत्येकाच्या भाळावर एक चकती लावली.उर्वरित चार दडवून ठेवल्या.डोळ्यांवरील पट्ट्य़ा काढल्या.प्रत्येकाला अन्य दोघांच्या भाळावरील चकत्या दिसत होत्या.
अ ला प्रश्न केला:" तुझ्या कपाळावर लाल,निळ्या, पिवळ्या या तीन रंगांपैकी कोणत्या रंगाची चकती निश्चितपणे नाही?"
"ते सांगता येणे शक्य नाही."अ उत्तरला.
नंतर हाच प्रश्न ब ला विचारला.त्यानेही किंचित विचारान्ती अ प्रमाणेच उत्तर दिले.
प्रत्येकाचे उत्तर अन्य दोघांना ऐकू आले.
तर या तिघांतील कोणाकोणाच्या भाळावरील चकतीचा रंग तुम्ही निश्चितपणे सांगू शकाल? कोणता?
{कृपया उत्तर व्य.नि.ने. युक्तिवाद अपेक्षित.}
Comments
अपुरी माहीती
माहिती अपुरी आहे. क काय म्हंटला ते सांगा. मग मी उत्तर पाठवते.
- गौरी
पर्याप्त माहिती
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
गौरी लिहितातः"माहिती अपुरी आहे..."
.....
तर तसे नव्हे. उत्तर शोधण्यासाठी दिलेला विदा पर्याप्त आहे. कृपया पुनर्विचार करावा.
तर्क.६९:व्यनि. उत्तरे
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
*श्री.धनंजय यांनी युक्तिवादासह कोड्याचे अचूक उत्तर पाठविले आहे.
*श्री.कर्क हे सुद्धा कोड्याचे योग्य उत्तर शोधण्यात यशस्वी झाले आहेत. त्यांनी आवश्यक तो युक्तिवादही लिहिला आहे.
धन्यवाद!
तर्कक्रिडा......
यनासर, तर्कक्रिडा सुरु केल्याबद्दल प्रथम आभार.
फक्त एक विनंती आहे की, उत्तरे किंवा तर्क त्याच धाग्यात दिले तर आम्हा वाचकांनाही
त्याचा आनंद घेता येईल.
-दिलीप बिरुटे
(तर्कक्रिडा वाचक)
तर्कः६९:व्यनि उत्तर्
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.अमित कुलकर्णी यांनी उत्तर कळविले आहे. ते अचूक आहे. युक्तिवादही लिहिला आहे. अभिनंदन!!
(मात्र कपाळांवरील चकत्या ऐवजी त्यांना अ,ब,क च्या डोक्यांवर टोप्या दिसत आहेत.)
व्य. नि. उत्तर
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.आनंद घारे यांनी कोड्याचे उत्तर पाठविले आहे.ते अचूक आहे. त्यांचा युक्तिवाद जरी तर्कशास्त्राच्या पुस्तकी पठडीतील नसला तरी अगदी योग्य आणि पटण्यासारखा आहे.
...सर्वांच्या कपाळावरील चकत्यांचे रंग ओळखायचे आहेत असा श्री.घारे यांचा समज झाला. पण हे शक्य नाही. कारण ब हा परिपूर्ण तर्कनिपुण असूनही आपल्या भाळावरील चकतीचा रंग ओळखू शकला नाही. बला आहे त्यापेक्षा अधिक अशी कोणतीच माहिती आपल्याला नाही.(किंबहुना अ आणि क च्या चकत्यांचे रंग बने पाहिले आहेत आपण नाही.)
तर्कक्रीडा:६९:भाळी रंग असे धरिला|: उत्तर
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
क्र.६९:उत्तर
समजा क च्या कपाळावर निळी चकती आहे. अ आणि ब यांना ती दिसते आहे. आता ब असा विचार करील: " क च्या कपाळावर निळी चकती आहे.माझ्याही भाळावर तोच रंग असता तर अ ला समजले असते की त्याच्या स्वत:च्या कपाळावर निळी चकती नाही. (कारण निळ्या चकत्या दोनच आहेत.)पण अ तर म्हणतो मी सांगू शकत नाही. त्याअर्थी माझ्या कपाळावर निळी नाही." असा विचार करून ब ने "हो,माझी चकती निळी नाही हे निश्चित." असे उत्तर दिले असते. पण तो देऊ शकला नाही. म्हणजे क च्या कपाळावर निळी चकती आहे हे गृहीतक चुकीचे आहे.म्हणून क च्या कपाळी निळी चकती नाही.
आता जो युक्तिवाद निळ्या चकतीसाठी केला तसाच लाल चकती साठीही करता येईलच.म्हणून क च्या चकतीचा रंग लालही नाही.
..यावरून क च्या कपाळावरील चकतीचा रंग पिवळाच असला पाहिजे.
...........................
अ तसेच ब च्या कपाळावर कोणत्या रंगाची चकती आहे हे ते सांगू शकले नाहीत. आपणही ते शोधू शकत नाही.
....................................
युक्तिवाद पटला नाही!
वरच्या युक्तिवादात फक्त निळा रंग आणि फक्त लाल रंग असे दोन स्वतंत्र तर्क धरुन कोडे सोडवले आहे पण निळा आणी लाल रंगाचे तर्क असे वेगवेगळे धरुन चालणार नाहीत.
समजा क च्या कपाळावर निळी चकती आहे. ब च्या कपाळावर लाल चकती आहे. अ ला दोन्ही दिसताहेत त्याला स्वतःची चकती ओळखता येणे शक्य नाही. त्याचवेळी अ च्या कपाळावर लाल किंवा पिवळी चकती असेल तर ब लाही त्याची स्वतःची चकती ओळखता येणार नाहीच. तेव्हा क च्या कपाळावर पिवळीच चकती आहे असे आपण निश्चितपणे सांगू शकत नाही.
कोणाच्याच कपाळावरची चकती सांगता येईल इतकी माहिती कोड्यात नाहीये.
चतुरंग
वेगळ्या शब्दांत माझे उत्तर असे
(मला वाटते वरील प्रतिसाद लिहिताना "बने अचे उत्तर ऐकले होते, तरी तो 'सांगता येत नाही' म्हणाला" ही माहिती वापरलेली नाही. फक्त अच्या उत्तरावरून जे कळते, त्याचे योग्य वर्णन चतुरंग यांनी दिले आहे.)
माझे उत्तर -
- - -
निश्चितपणे फक्त इतके सांगू शकेन, की 'क'च्या कपाळावर पिवळी चकती आहे.
'ब' आणि 'क' यांच्या कपाळावर दोन्ही लाल टिकल्या असत्या, तर 'अ'ने "लाल नाही" म्हटले असते. (फक्त दुहेरी लाल रंगाचा स्वतंत्र तर्क फेटाळला)
'ब' आणि 'क' यांच्या कपाळावर दोन्ही निळ्या टिकल्या असत्या, तर 'अ'ने "निळी नाही" म्हटले असते. (फक्त दुहेरी निळ्या रंगाचा तर्क फेटाळला.)
त्या अर्थी 'ब' आणि 'क'च्या कपाळावर वरील दोन शक्यता सोडून बाकी कुठल्याही चकत्या आहेत. (बाकी सर्व काँबिनेशन/जोडण्या येथे मोजल्या.)
'ब'ने 'क'च्या कपाळावर निळी टिकली पाहिली असती, तर त्याला 'अ'चे उत्तर आठवले असते, आणि "आपली आणि 'क'ची दोन्ही टिकल्या निळ्या" शक्यता फेटाळल्याचे आठवले असते. स्वतःच्या कपाळावर "निळी नाही" म्हटले असते. (पण बाकी सर्व शक्यता म्हणजे लाल किंवा पिवळी जागी राहिली असती.) ज्या अर्थी 'ब'ने "निळी नाही" म्हटले नाही, त्या अर्थी 'क'च्या कपाळावरही निळी नाही.
त्याच प्रमाणे 'ब'ने 'क'च्या कपाळावर लाल टिकली पाहिली असती, तर स्वतःच्या कपाळावर "लाल नाही" म्हटले असते. त्या अर्थी 'क'च्या कपाळावर लाल नाही.
निळीही नाही, लालही नाही, म्हणजे 'क'च्या कपाळावर पिवळी टिकली आहे.
'क'ला माहीत आहे, की स्वतःच्या कपाळावर कुठली टिकली आहे, आणि बाकी दोघांच्या कपाळावरील टिकल्या त्याला दिसत आहेत. पण तो काही बोलायच्या आधीच कोड्यातली कथा संपली आहे. :-) त्यामुळे 'अ' आणि 'ब' यांच्या कपाळावरील टिकल्यांबद्दल आपल्याला काही कळणे शक्य नाही. त्यांच्यापैकी प्रत्येकाच्या कपाळावर लाल-निळी-पिवळी कुठलीही टिकली असू शकते. (याच चतुरंग यांनी सांगितलेल्या सगळ्या शक्यता होत.)
खुलासा
'ब' आणि 'क' यांच्या कपाळावर दोन्ही लाल टिकल्या असत्या, तर 'अ'ने "लाल नाही" म्हटले असते. (फक्त दुहेरी लाल रंगाचा स्वतंत्र तर्क फेटाळला)
'ब' आणि 'क' यांच्या कपाळावर दोन्ही निळ्या टिकल्या असत्या, तर 'अ'ने "निळी नाही" म्हटले असते. (फक्त दुहेरी निळ्या रंगाचा तर्क फेटाळला.)
त्या अर्थी 'ब' आणि 'क'च्या कपाळावर वरील दोन शक्यता सोडून बाकी कुठल्याही चकत्या आहेत. (बाकी सर्व काँबिनेशन/जोडण्या येथे मोजल्या.)
धनंजयचे हे म्हणणे एकदम मान्य.
पुढे -
'ब'ने 'क'च्या कपाळावर निळी टिकली पाहिली असती, तर त्याला 'अ'चे उत्तर आठवले असते, आणि "आपली आणि 'क'ची दोन्ही टिकल्या निळ्या" शक्यता फेटाळल्याचे आठवले असते. स्वतःच्या कपाळावर "निळी नाही" म्हटले असते. (पण बाकी सर्व शक्यता म्हणजे लाल किंवा पिवळी जागी राहिली असती.) ज्या अर्थी 'ब'ने "निळी नाही" म्हटले नाही, त्या अर्थी 'क'च्या कपाळावरही निळी नाही.
त्याच प्रमाणे 'ब'ने 'क'च्या कपाळावर लाल टिकली पाहिली असती, तर स्वतःच्या कपाळावर "लाल नाही" म्हटले असते. त्या अर्थी 'क'च्या कपाळावर लाल नाही.
वरच्या तर्कात फक्त दोनच शक्यता गृहित धरलेल्या आहेत की ब आणी क ह्यांच्या कपाळावर एकाचवेळी निळ्या किंवा लाल टिकल्या असत्या तर काय झाले असते.
ह्या कोड्यातली तर्कदुष्टता फक्त रंगांची शक्यता (लाल, निळी किंवा पिवळी) घेतल्याने येते आहे. रंगांच्या शक्यतांच्या बरोबरच ह्या ठिकाणी लाल, निळी आणि पिवळी टिकल्यांची संख्या देखील विचारात घ्यायला हवी.
एक निळी/लाल टिकली लपवलेली असली तरी दुसरी चिकटवलेली असू शकते ही शक्यता ध्यानात घेतलेली नाही त्यामुळे माहिती अपुरी आहे.
चतुरंग
तर्कदुष्टता?
मराठी असे आमुची मायबोली तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
श्री.चतुरंग लिहितातः "ह्या कोड्यातली तर्कदुष्टता फक्त रंगांची शक्यता (लाल, निळी किंवा पिवळी) घेतल्याने येते आहे. रंगांच्या शक्यतांच्या बरोबरच ह्या ठिकाणी लाल, निळी आणि पिवळी टिकल्यांची संख्या देखील विचारात घ्यायला हवी."
लाल चकत्या दोनच आहेत. निळ्या दोनच आहेत.पिवळ्यांची संख्या दोन पेक्षा अधिक आहे.हे सर्व विचारात घ्यायला हवे हे खरेच. तसे ते घेतलेच आहे.कोड्यात तसेच उत्तरात कोणतीही तर्कदुष्टता नाही. कोड्याचे लेखन निर्दोष असावे.कोणतीही संदिग्धता राहू नये याविषयी मी प्रयत्नशील असतो."प्रत्येकाचे उत्तर अन्य दोघांना ऐकू आले" असेही दिले आहे.
.. पिवळ्या तीन,लाल दोन,निळ्या दोन अशा चकत्या दिल्या आहेत. त्यांत आणखी हिरव्या दोन, जांभळ्या दोन, केशरी दोन,काळ्या दोन अशी आठ चकत्यांची भर घातली तरी उत्तर"क च्या कपाळावर पिवळी चकती" हेच राहाते.तसेच उत्तरात दिला आहे तेव्हढाच युक्तिवाद पुरेसा ठरतो. कृपया पुनर्विचार करावा.
धन्यवाद!
अमित कुलकर्णी यांनी खालीलप्रमाणे उत्तर समजावून दिले. धन्यवाद अमित!
-------------------------------------------
चतुरंग,
माझ्या मते दिलेल्या माहितीवरून आपल्याला क च्या कपाळावरची टिकली कोणती इतके सांगता येईल. मी केलेल्या arguments अशा -
"अ" ला उत्तर सांगता आले नाही म्हणजे "ब" आ़णि "क" च्या टिकल्यांचे रंग नन / लल असे नक्कीच नाहीत. (नाहीतर अ ला स्वतःच्या टिकलीचा पिवळा रंग ओळखता आला असता).
म्हणून ब आ़णि क च्या टिकल्यांचे रंग अनुक्रमे नल / लन / पप / नप / पन / लप / पल असे असू शकतील. (सर्व शक्यता विचारात घेतल्या आहेत)
"ब" हुशार असल्याने "अ" चे उत्तर ऐकून त्याने वरील गोष्ट लगेच ताडली. (की आपल्या आणि क च्या टिकल्यांचे रंग वरील ७ पैकी एक जोडी असणार)
आता "ब" ला "क" च्या डोक्यावर लाल टिकली दिसली असती (वरील ७ पैकी पहिली आणि शेवटची जोडी) तर स्वतःच्या डोक्यावर निळी किंवा पिवळी टिकली आहे - म्हणजे लाल नक्की नाही - हे सांगता आले असते - पण असे झाले नाही.
तसेच "ब" ला "क" च्या डोक्यावर निळी टिकली दिसली असती (वरील ७ पैकी दुसरी आणि पाचवी जोडी) तर स्वतःच्या डोक्यावर लाल किंवा पिवळी टिकली आहे - म्हणजे निळी नक्की नाही हे सांगता आले असते - पण असेही झाले नाही.
मात्र "ब" ला "क" च्या डोक्यावर पिवळी टिकली दिसली असती (वरील ७ पैकी तिसरी, चौथी आणि सहावी जोडी) तर स्वतःच्या डोक्यावर कुठली टिकली आहे हे सांगता आले नसते - आणि तसेच झाले.
म्हणून क च्या डोक्यावर पिवळी टोपी आहे इतके तरी निश्चित.
--------------------------------------------------
माझी चूक कुठे होत होती तेही लक्षात आले - कोडे सोडवायला सुरुवात करताना मी कोणत्या रंगाची टिकली नाही हे शोधायचे आहे हे बरोबर मनात धरले परंतु कोडे सोडवण्याच्या नादात कोणत्या रंगाची आहेहे शोधण्यात गर्क झाल्याने ताळा जमेना! कोड्यात तर्कदुष्टता नाही.
चतुरंग
वरील प्रमाणे
>तिघांतील कोणाकोणाच्या भाळावरील चकतीचा रंग तुम्ही निश्चितपणे सांगू शकाल? कोणता?
क = पिवळी टिकली ताडले पण वर अ व ब यांच्या कपाळावरील टिकलीचा रंग यावर उत्तर "सांगता येत नाही" आहे तरी नक्कीच कुठले तरी असले पाहीजे, कारण वर काही जणांना सुटले आहे. म्हणजे मलाच येत नसावे असे वाटून यनावालांना कळवायचे राहून गेले. मला वाटले लोकांना तिघांच्या टिकलीचा रंग कळाला. फक्त मलाच नाही. :-)
असो तर्कक्रीडा पुन्हा सुरू केल्याबद्दल यनावाला यांना अनेक वेळा धन्यु! :-)
निश्चित उत्तर
तिला बैसवूं वैभवाच्या शिरी |
***********************************
.."तिघांतील कोणाकोणाच्या भाळावरील चकतीचा रंग तुम्ही निश्चितपणे सांगू शकाल? कोणता?"
असा प्रश्न आहे. त्याचे उत्तर आहे:
" क च्या भाळावर पिवळ्या रंगाची चकती आहे. अ च्या तसेच ब च्या कपाळांवर कोणत्या रंगाची टिकली हे सांगणे शक्य नाही." हे एकमेव उत्तर आहे.श्री.सहज यांनी असे उत्तर युक्तिवादासह कळविले असते तर ते अर्थातच अचूक ठरले असते. श्री.आनंद घारे यांचाही असाच समज झाला की तिघांच्याही कपळावरचे रंग ओळखायचे आहेत.माझ्या लेखनात काय चूक आहे नकळे.